谈“三个二次”关系及其综合运用济钢高级中学 杨同才2011年7月17日12:29隋宇为于11-7-17 16:02推荐杨老师的文章从故基木的问题入手，通过数形结合的方法将“三个二次”的问题说的很清 楚很全面，很有参考价值邵丽云于11-7-19 14:28推荐杨老师的“三个二次”关系及其综合运用这篇文章，以二次函数为主线充分论述三个二次 I可的关系，并对相关问题进行了总结归纳，可见杨老师平时教学的用心，值得学习一、”三个二次”的关系”三个二次”指一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，是中学数学的重要内容，具有丰 富的内涵和广泛的应用，在研究二次曲线与直线的位置关系、运用导数解决复杂函数性质等问题时， 常常转化成二次方程、二次函数、二次不等式的问题三个二次”将等与不等、数与形紧密的结合在 一起，对数形结合思想、函数方程思想、等价转化思想有较高的要求因而在高考试题中将近占一半 的试题与“三个二次”问题有关，作为教师进一步澄清三者的内在联系对提高学生数学思维水平有很大 帮助！“三个二次”中，一元二次函数最为重要，在初中学生就专题学习了二次函数，研究了二次函数的 定义、图像、性质和实际问题中的最值，往往作为中考试题的最后一个压轴题。
初中也学习了一元二 次方程及其规范解法，如公式法、配方法、因式分解法等只有一元二次不等式及解法在初中仅是初 步了解初中阶段对函数、方程、不等式的学习都是彼此独立的，对于“三个二次”的横向联系缺乏认 识升入高中才真正揭开三者的内在联系，逐步形成用函数、方程、不等式“三位一体”的思考方式 审视问题、解决问题 k \2 4ac-h2在“三个二次中一元二次函数y=ax2+bx+c是重点，从它的配方形式y二a x+一 + 中V 2a 丿 4a 充分反映了函数值y随自变量x的变化而变化的规律，可以容易的观察出何时取最值，也能考查出自 变量兀取关于对称值时函数值的取值特点从它的因式分解形式y二a(x・xj(x・xj可以考察出，2ci运用实数运算的符号法则，很容易看出函数值y何时等于0、y何时大于0、y何时小于0等特点 总之一元二次函数反映y与x对应关系的全貌：既包括了方程的根、又包括了不等式等式的解一元二次方程ax2+bx+c=0的根,x=x2分别是对应函数y二a^+bx+c图像与横轴交点的横 坐标，也就是对应二次函数函数y-ax2 +bx+c的零点，而方程ax2+bx+c=0无根则对应函数 yua^+bx+c与横轴无交点，即对应二次函数函数y=ax2 +bx+c与横轴相离。
一元二次方程ar2+bx+c=O的根x=x}, x=x2是对应a.t2+bx+c>0(<0)解集的端点，这就说明解不 等式ax2+bx+c>0(<0)中必然需要求出a?+bx+c=O的根，借助方程的根表示a?+bx+c>O(vO)的解 集函数的变号零点o函数图像与横轴交点的横坐标o方程的两个不等的实根函数的不变号零点o函数图像与横轴切点的横坐标o方程的两个相等的实根函数值的正值区间o函数图像在横轴上方各点横坐标的集合o不等式aA-2+bx+c>0的解集两数值的负值区间o函数图像在横轴下方各点横坐标的集合o不等式a^+bx+cvO的解集通过以上论述，可对“三个二次”的关系有一个较为全面的了解，在教学中，我们要不失时机的渗 透“三个二次”三位一体的思维意识，实现“三个二次”之间的相互转换，使学生能自然规范的运用函数 方程思想、数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想，提高学生数学思维水平二、”三个二次”关系应用举例1、函数与方程函数y = /(x)的零点o方程/(%) = 0的根o函数y = f(x)图象与X轴公共点横坐标；函数零 点分为变号零点、不变号零点，当函数y = /(x)图象与X轴相交时，交点的横坐标称为变号零点。
函数夕=/(兀)图象与X轴相切，切点的横坐标即为不变号零点所以函数/(兀)有零点o方程 /(劝=0有实根o y = /(劝图象与X轴有公共点所以吋刻将函数与方程结合在一起来思考问题, 解决问题，体现函数方程思想的运用2例 1、已知函数 /(x)=-x2 + 2ex + m 一 1, g(兀)=x + —(x > 0)x⑴若g(x)二m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的収值范围，使得g(x)-f(x)=O有两个相异实根.分析：(1)法1： g(x)=m有零点O方程g(x) = x + —在(0,+x)内有实根o函数x2 -nvc + e1 =0 x在(0,+oo)有实数根，进而将问题转化为二次方程根的分布问题；2 2法2： g(x) =m有零点o方程x + — = m有根o函数g(x) = x + —,/i(x) = m的图像有公共点，X Xme\y y = x-^-— \ f即可转化为求函数g(x) = x + —的值域问题；[ X J X2(2)方程g(x)-f (x)=0在(O,+8)内有两个相异实根u> x2 一(2-1)乳+ —+ 1-加=0在(0,+s)内 X2有两个相异实根o函数力(兀)=x2 -(2e-l)x-^-—(x > 0),0(兀)=m -1有两个不同的交点。
通过构 x造函数，借助图形思考实现问题的转化例2、求实数加的取值范围，使关于兀的方程工2+2(加一 1)兀+ 2加+ 6 = 0 ：(1) 有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2) 有两个实根，且都比1大；(3) 有两个实根Q,0,且满足0VQV1V0V4分析：二次方程根的分布问题有两个基本解法：法1、构造对应的二次两数把方程根的分布耍求转 化为对二次函数图像位置特征的要求，然后在将图像的特征翻译成数学表达式(或关系组)进而解 决问题采用这种方法注意二次系数的讨论，按照定函数类型、定图像的位置、刻画函数图像，最 后从数角度完成问题的解决，其中运用数形结合、方程与函数的对应关系、分类讨论等方法2、 采用韦达大定理实现转化2、函数与不等式在解不等式、证明不等式、或运用不等式恒成立(能成立)条件中，往往通过构造相应的函数 运用函数理论解决不等式问题其中如何巧妙地构造函数和等价的问题转化是成功解决不等式问题 的关键例3、若不等式2x -1 > m(x2 -1)对满足-20|亘成「\乙』"罚>,/(兀)<0|亘成-\足』"旳<：[/()>0 * [f(n)<0解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，对原不等式变形:2x-l > m(x2 -l)o m(x2 一 1)一(2兀一 1) < 0,令 f(m) = m(x2 -l)-(2x-l), -2 < m<2 ,/(加)vOWU ^f/(-2)<0^ f-2(x2-l)-(2x-l)<0 -l + V7
2 2本题中把关于x的不等式转化为以m为口变量的一次两数，借助线性两数的特点实现问题转化，充分运用了数形结合思想、等价转化思想，又一次体现“三位--体”的思维意识例4、若不等式x2-2mx+2m+l>0对满足05x51的所有实数x都成立，求m的取值范围分析：不等式恒成立问题往往通过构造相应两数，使原来恒成立问题转化为函数最值问题期间注意运用分类讨论思想和数形结合思想解：设 f(x)=x2-2mx+2m+1本题等价于函数f(x)在0Wx51上的最小值大于0,求m的取值范围1)当mvO时,f(x)在［0,1］上是增函数,因此f(0)是最小值,m<0 得—丄水f(0) = 2m + l>0 2(2)当0 0(3)当m>l时，f(x)在［0,1］上是减函数，因此f(l)是最小值m > 1f(l) = 2>0 得 m>1综合⑴⑵⑶得->4注意：在将参二次不等式问题转化为二次函数的问题时，若原问题中限制自变量X在某个指定范圉内収值，最好先采用分离变量，然后构造二次函数，解决起來较为简便，否则运用二次函数理论解决问题时较繁琐。
例5：已知a>0且aH 1,当xg (T, 1)时，不等式x?-3“〈一恒成立，则a的取值范围 2分析：将不等式x2-ax<丄变形为ax> x2--,左右两边分别构造基本函数：yL a\y2= x?-丄，“当2 2 2xg (-1, 1)时，不等式x2-a<-恒成立”在图形上理解是：不管a>l,还是Owl,对自变量x取区间 2例 6、设 /(%) = — + x In x, g(x) = x3 - x2 - 3 x(1) 当a = 2时，求曲线y = /(x)在兀=1处的切线方程；(2) 如果存在x,,x2g［0,2］使得g3)-g(%2)5M成立，求满足上述条件的最大整数(3) 如果对任意的凡虫 丄,2 ,都有/(5)>/(r)成立，求实数q的取值范围22解析:(1)当 a = 2 时，/■ M = 一一 + Inx+1，所以 f (1) = -1 ,/(1) = 2所以曲线),=/(x)在％二1处的切线方程为y二一兀+ 3⑵存在xpx2g ［0,2］使得g(xJ-g(x2)>M等价于［g(兀i)-g(兀2)］最大值AM .因为g (x) = 3兀2 _ 2乂 = 3兀(兀——)X0223中)2g;M0负0正正-3减函数只7 极小-A25增断数12 87由上表可知：g(x)最小值=5(~) = ——， ⑴成立，等价于在［丄,2］上，函数/⑴的最小值不小于g(x)的最大值。
由(2)知道，g(x)最人值=g(2) = l,所以在［丄,2］上，函数/ (x) = - + xln^>l恒成立，2 x等价于a > x- x1 In兀恒成立记力(兀)=兀一兀？ lnx ,则 /? (%) = \-2x\nx-x , /i (1) = 0.当 1 v 兀 v 2 时，/r (x) = 1 — 2xln兀一x v 0 ；1 . ,当—< x< 1 时，h (x) = l-2xlnx-x> 0,9 1即函数h(x) = x-x2 \nx在［一,1］上递增，在［1,2］上递减， 所以/?(%)最小值为/?(1) = 1,2故a n 1对例6延伸思考:本题是2011年济南市高三备考模拟题，该题较好的考察学生的函数、方程、不等式 知识综合运用的能力和数学思想运用能力，意犹未尽请老师在以下给出的角度在进一步体验函数与不 等式关系运用⑴对任意的头虫2 ,都有/(5)>/(/)成立，/Cv)min>g(r)maxu>Vsg —,22,/(5)>g(r)inax恒成立 o\/虫 *,2 ,/(叽询》g(f)恒成立⑵ Vag［^,2］,3zg 存都有/G)ng(f)成立’o/(叽(3)班?2*2 ,都有 成立，/ax>^(r)mar(4) 3sg -,2 -,2，都有 f(s) = g(t)成立，o 令/)值域为A, g(/)值域为B,贝ijBcA;(5) V5G -,2 ,3/g -。