石室中学高三10月月考数学（理）试题一、选择题：每题只有唯一正确答案，每小题5分，共50分.1.设全集＜，集合，则等于( )（A） （B） （C） （D）2.复数（为虚数单位）的模是（ ）（A） （B） （C） （D）3.命题“”的否定是 ( )（A）（B）不存在使（C）（D）4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（A） （B） （C） （D）5.右图所示的算法流程图中，正常运行时输出的结果是（ ）（A）6 （B）5 （C）4 （D）36.若两正数，满足，则的最小值为（ ）（A） （B） （C） （D）7.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ）（A）若⊥，⊥，则∥（B）若∥，⊥，则⊥（C）若⊥，⊥，则∥（D）若⊥，⊥，⊥，则⊥（第8题图）8.设偶函数（的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL＝1，则的值为 （ ）（A） （B） （C） （D）9.为参加校园文化节,某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训,培训项目及人数分别为:乐器1人,舞蹈2人,演唱2人,每人只参加一个项目,并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加,則不同的推荐方案的种数为 ( )（A） （B） （C） （D）10．定义在上的函数，当时，，则函数的所有零点之和等于（ ）（A）10 （B）8 （C）6 （D）4二、填空题：每题5分，共25分.11.展开式的常数项为 ▲ ．12.成都市交警部门随机测量了顺河高架桥南下口某一时间段经过的2000辆汽车的时速，时速频率分布直方图如图所示，则该时段时速超过70 km/h的汽车数量为 ▲ .13.在区间上随机取一个数,使的值介于到之间的概率为 ▲ .14.已知，，且，，依次成等差数列，若，则的值为 ▲ .15.设实数是函数的零点，则①②③若，则④若，则，其中正确的结论序号为 ▲ 三、解答题：共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16、（本题满分12分）已知三内角、、所对边的长分别为、、，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的值．▲18、（本题满分12分）已知数列中，，当时，，数列的前项和满足.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．▲19、（本题满分12分）石室中学准备招聘一批优秀大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的师范生素质进行测试。
在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为．（Ⅰ）求该小组中女生的人数；（Ⅱ）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为现对该小组中男生甲,男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量，求的分布列和数学期望.▲20.（满分13分）某健身产品企业第一批产品上市销售，40天内全部售完.该企业对第一批产品上市后的市场销售进行调研，情况反馈大概如图（1）、（2）所示．其中市场的日销售量（单位：万件）与上市时间（天）的关系近似满足图（1）中的抛物线；每件产品的销售利润（元/件）与上市时间（天）的关系近似满足图（2）的折线．（Ⅰ）写出市场的日销售量与第一批产品上市时间t的关系式；（Ⅱ）第一批产品A上市后的第几天，这家企业日销售利润最大，最大利润是多少？(天)y日销售量（单位：万件）O206040000000000000销售利润（单位：元/件）604030O(天)（1）（2）▲21.（本题满分14分）已知函数（Ⅰ）求函数的极值点；（Ⅱ）若函数在上有零点，求的最大值；▲石室中学高高三上期10月月考试题数学（理科）二、填空题：每题5分，共25分.11.展开式的常数项为 20 ．12.成都市交警部门随机测量了顺河高架桥南下口某一时间段经过的2000辆汽车的时速，时速频率分布直方图如图所示，则该时段时速超过70 km/h的汽车数量为 200 .13.在区间上随机取一个数,的值介于0到之间的概率为 .解析：在区间上随机取一个数,即时,要使的值介于0到之间,需使或∴或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.14.已知，，且，，依次成等差数列，若，则的值为15.设实数是函数的零点，则①②③若，则④若，则，其中正确的结论序号为 ① ④ 三、解答题：共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16、（本题满分12分）已知三内角、、所对边的长分别为、、，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的值．解：（Ⅰ）由正弦定理得………3分所以…………6分（Ⅱ），得或…………9分所以或…………12分17、（本题满分12分）如图，正方形边长为2，平面，，，为的中点（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．解：（Ⅰ）建系如图设，则所以可计算得平面的一个法向量为，即，所以平面…………6分所以………11分二面角的余弦值为…………12分18、（本题满分12分）已知数列中，，当时，，数列的前项和满足.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．解：（Ⅰ）；………3分………6分（Ⅱ）两段可以合并，所以……12分19、（本题满分12分）石室中学准备招聘一批优秀大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的师范生素质进行测试。
在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为．（Ⅰ）求该小组中女生的人数；（Ⅱ）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为现对该小组中男生甲,男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量，求的分布列和数学期望20.（本题满分13分）某公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品上市后的市场销售进行调研，结果如图（1）、（2）所示．其中（1）的抛物线表示的是市场的日销售量与上市时间的关系；（2）的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系．（Ⅰ）写出市场的日销售量与第一批产品上市时间t的关系式；20、解：（Ⅰ）设，由可知 即；…………5分 （Ⅱ）设销售利润为万元，则 …………9分 当时，单调递减；且的最大值为…………10分 当时，，易知在单增，单减，而，故比较，经计算，，………12分 故第一批产品A上市后的第27天这家公司日销售利润最大，最大利润是万元．…………13分21.（本题满分14分）已知（Ⅰ）求函数的极值点；（Ⅱ）若函数在上有零点，求的最大值；（III）若，试问数列中是否存在？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由．（为自然对数的底数）．解：（ 1）由题意，的定义域为 ……………1分 ……………………………………………………2分函数的单调递增区间为和，的单调递减区间为，所以为的极大值点， ………………………………………………3分为的极小值点， ………………………………………………4分（2）在上的最小值为且在上没有零点，……………………………………………5分函数在上有零点，并考虑到在单调递增且在单调递减，故只须且即可，……………………………………………6分易验证当时均有所以函数在上有零点，即函数在上有零点， 的最大值为 ……………9分（3）先证明构造函数则所以函数在上是减函数，因而时，因为令，得：，结合得：时，因此，当时，有所以当时，，即 ……………………………12分又通过比较的大小知：，。