希尔伯特23个问题及解决情况1900年希尔伯特应邀参加巴黎国际数学家大会并在会上作了题为《数学问 题》重要演讲在这具有历史意义的演讲中，首先他提出许多重要的思想： 正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题 正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新观点，达到更为广阔 的自由的境界希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用，他指出：“如果我们想对最近 的将来数学知识可能的发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的，希 望在将来能够解决的问题同时又指出：“某类问题对于一般数学进程的深远 意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的只要一门科 学分支能提出大量的问题，它就充满生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰 亡或中止他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征：清晰性和易懂性；虽困难但又给人以希望；意义深远同时他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法就是在这 次会议上他提出了在新世纪里数学家应努力去解决的23个问题，即著名的“希尔 伯特23个问题”编号问题推动发展的领域解决的情况1连续统假设 公理化集合论1963年，Paul J.Cohen在下述意义下证明了第一 个问题是不可解的。
即连续统假设的真伪不可能在Zermelo_Fraenkel公理系统 内判定2算术公理的相容性数学基础希尔伯特证明算术公理的相容性的设想，后来发 展为系统的Hilbert计划（“元数学”或“证明论”）但1931年歌德尔的“不完备定理” 指出了用“元数学”证明算术公理的相容性之不可能数学的相容性问题至今未解 决3两等高等底的四面体体积之相等几何基础 这问题很快（1900）即由希尔伯 特的学生M.Dehn给出了肯定的解答4直线作为两点间最短距离问题 几何基础 这一问题提得过于一般希尔伯特之 后，许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何，在研究第四问题上取得 很大进展，但问题并未完全解决5不要定义群的函数的可微性假设的李群概念拓扑群论经过漫长的努力，这个 问题于1952年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最后解决，答案是肯定 的6物理公理的数学处理数学物理在量子力学、热力学等领域，公理化方法已获 得很大成功，但一般地说，公理化的物理意味着什么，仍是需要探讨的问题概 率论的公理化已由A.H.Konmoropob等人建立7某些数的无理性与超越性超越数论1934年A.O.temohm和Schneieder各 自独立地解决了这问题的后半部分。
8素数问题 数论一般情况下的Riemann猜想至今仍是猜想包括在第八问题 中的Goldbach问题至今也未解决中国数学家在这方面做了一系列出色的工作9任意数域中最一般的互反律之证明类域论 已由高木贞治(1921 )和 E.Artin(1927)解决.10 Diophantius方程可解性的判别 不定分析1970年由苏、美数学家证明 Hilbert所期望的一般算法是不存在的11系数为任意代数数的二次型二次型理论H.Hasse(1929)和C.L.Siegel(1936,1951)在这问题上获得了重要的结果12 Abel域上kroneker定理推广到任意代数有理域复乘法理论 尚未解决13不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程方程论与实函数论 连续 函数情形于1957年由苏数学家否定解决，如要求是解析函数，则问题仍未解决 14证明某类完全函数系的有限性代数不变式理论1958年永田雅宜给出了否 定解决15 Schubert记数演算的严格基础 代数几何学由于许多数学家的努力， Schubert演算的基础的纯代数处理已有可能，但Schubert演算的合理性仍待解 决至于代数几何的基础，已由 B.L.Vander Waerden(1938-40)与 A.Weil(1950) 建立。
16代数曲线与曲面的拓扑曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论问题 的前半部分，近年来不断有重要结果17正定形式的平方表示式域(实域)论已由Artin于1926年解决18由全等多面体构造空间结品体群理论部分解决19正则变分问题的解是否一定解析 椭圆型偏微分方程理论 这个问题在某种 意义上已获解决20 一般边值问题 椭圆型偏微分方程理论 偏微分方程边值问题的研究正在蓬 勃发展21具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性线性常微分方程大范围理论 已由 Hilbert 本人(1905)年和 H.Rohrl(德，1957)解决22解析关系的单值化Riemann曲面体一个变数的情形已由P.Koebe (德， 1907)解决23变分法的进一步发展变分法Hilbert本人和许多数学家对变分法的发展作 出了重要的贡献百年前的数学家大会与希尔伯特的问题熊卫民21世纪第一次国际数学家大会马上就要在北京召开了，它将给本世纪的数学发 展带来些什么？能像20世纪的第一次国际数学家大会那样左右数学发展的方向 吗？ 一个世纪前的那次数学家大会之所以永载史册，完全是因为一个人，因为 他的一个报告一一希尔伯特(David Hilbert)和他的《数学问题》。
1900年，希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家大会上提出了他著名的23 个数学问题在随后的半个世纪中，许多世界一流的数学头脑都围着它们转其 情形正如另一位非常著名的数学家外尔(H. Weyl)所说：“希尔伯特吹响了他的 魔笛，成群的老鼠纷纷跟着他跃进了那条河这也难怪，他所提出的问题都那 么清晰、那么易懂，其中一些有趣得令许多外行都跃跃欲试，而且解决其中任意 一个，或者在任意一个问题上有重大突破，立即就能名满天下——我国的陈景润 就因为在解决希尔伯特第8个问题(即素数问题，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想 等)上有重大贡献而为世人所侧目人们在总结二十世纪数学的发展，尤其是二 十世纪上半叶数学的发展时，通常都以希尔伯特所提的问题为航标其实这些问题绝大部分业已存在，并不是希尔伯特首先提出来的但他站在更高 的层面，用更尖锐、更简单的方式重新提出了这些问题，并指出了其中许多问题 的解决方向数学领域中的问题是极多的，究竟哪些更重要、更基本？做出这样的选择需要敏 锐的洞察力为什么希尔伯特能如此目光如炬？数学史家、中国科学院数学与系 统科学研究院研究员、《希尔伯特一一数学王国中的亚历山大》一书的译者袁向 东先生(和李文林先生合译)认为，这是因为希尔伯特是数学王国中的亚历山大！ 数学家可分为两类，一类擅长解决数学中的难题，另一类擅长对现有状况做出理 论总结，两大类中又均可细分为一流、二流、三流。
希尔伯特两者兼长，几乎走 遍了现代数学所有前沿阵地，在多个差异很大的数学分支中都留下了他那显赫的 名字，对数学发展的大背景了如指掌，对所提及的许多问题都有深入的研究，是 数学领域中的“王”为什么希尔伯特要在大会上总结数学的基本问题，而不像常人一样宣讲自己的某 项成果？袁向东告诉记者，这和另一位数学巨匠庞加莱(Henri Poincare)有关， 庞加莱在1897年举行的第一届国际数学家大会上做的是应用数学方面的报告 他们两人是当时国际数学界中的双子星座，均为领袖级人物，当然也存在一定的 竞争心理一一既然庞加莱讲述的是自己对物理、数学关系的一般看法，那么希尔 伯特就为纯粹数学做一些辩护庞加莱是法国人，希尔伯特是德国人，法、德两国有世仇，所以他们之间的竞争 还带上了一种国与国竞争的味道虽然他们两人非常尊重对方，这一点在他们身 上体现得不明显，但他们的学生和老师常常这样看希尔伯特的老师克莱茵(Felix Klein)就是一个民族感非常强的人，他非常强调 德意志数学的发展，想让国际数学界变成椭圆——以前是圆形，圆心为巴黎；现 在他想让自己所在的哥廷根市也成为世界数学的中心，使数学世界变成有两个圆 心的椭圆。
在希尔伯特及其亲密朋友闵可夫斯基(Hermann Minkowski )的帮助下，克莱茵实 现了自己的目标一一1900年时，希尔伯特就已经和法国最伟大的数学家庞加莱 齐名，而克莱茵本人和马上就要来到哥廷根的闵可夫斯基也是极有影响的数学 家事实上，他们在德国号称“无敌三教授”从一个例子可以想见他们的魅力某天，在谈及拓扑学著名定理一一四色定理时，闵可夫斯基突然灵机一动，于是 对满堂的学生说：“这条定理还没有得到证明，因为到目前为止还只有一些三流 数学家对它进行过研究现在由我来证明它然后他拿起粉笔当场证明这条定 理这堂课结束后，他还没有证完下堂课他继续证，这样一直持续了几周最 后，在一个阴雨的早晨，他一走上讲台天空就出现了一道霹雳老天也被我的 傲慢激怒了，”他说，“我的证明也是不完全的该定理直到1994年才用计算 机证明出来1912年，庞加莱逝世世界数学的中心进一步向哥廷根偏移，数学界似乎又变 成了一个圆一一不过圆心换成了哥廷根此时，哥廷根学派的名声如日中天，在 数学青年中流行的口号是“打起你的铺盖，到哥廷根去！”一个世纪过去了，希尔伯特所列的那23个问题约有一半问题已经解决，其余一 半的大多数也都有重大进展。
但希尔伯特本人没有解决其中的任意一个有人问 他，为什么他不去解决自己所提的问题，譬如说费马大定理？费马是在一页书的空白处写下该定理的，他同时宣称自己已经想出了一个美妙的 证法，但可惜的是空白区不够大，写不下了希尔伯特的回答同样幽默：“我不 想杀掉这只会下金蛋的母鸡”一一德国一企业家建了一个基金会奖励第一个解决 费马大定律者，希尔伯特时任该基金会的主席，每年利用该项基金的利息请优秀 学者去哥廷根讲学，所以对他而言，费马大定律者是只会下金蛋的母鸡费马 大定律直到1997年才被解决在列出23个问题之前，希尔伯特已经是国际数学界公认的领军人物，已经在数 学的诸多领域取得多项重要成果他的其它贡献，譬如他的公理化主张、形式主 义构想、《几何基础》一书等等，都对20世纪数学的发展有着深远的影响1 21世纪七大数学难题21世纪七大数学难题最近美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰 西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬 赏一百万美元以下是这七个难题的简单介绍千僖难题”之一：P （多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。
由于感到局促不安，你想知道 这一大厅中是否有你已经认识的人你的主人向你提议说，你一定认识那位正在 甜点盘附近角落的女士罗丝不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主 人是正确的然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审 视每一个人，看是否有你认识的人生成问题的一个解通常比验证一个给定的解 时间花费要多得多这是这种一般现象的一个例子与此类似的是，如果某人告 诉你，数13, 717, 421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该 相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803,那么你就可以 用一个袖珍计算器容易验证这是对的不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答 案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来 求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一它是斯蒂文・考克(StephenCook )于 1971 年陈述的千僖难题”之二：霍奇(Hodge)猜想二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法基本想法是 问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何 营造块粘合在一起来形成这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的 方式来推广；最终导至一。