第一单元第一单元 常微分方程常微分方程一、两个实案案例一、两个实案案例引言：微分方程的应用（人口增长、自动引言：微分方程的应用（人口增长、自动控制、市场控制、力学、电学）控制、市场控制、力学、电学） 项目项目1 (1.1)一阶微分方程的解法一阶微分方程的解法任务任务1-1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念引言：微分方程的应用（人口增长、自动引言：微分方程的应用（人口增长、自动控制、市场控制、力学、电学）控制、市场控制、力学、电学） 皋选悟酶垫她玛乙雪毋左倔邮胞瞩逛倦劣咎坦狗伸瞥屡百车迄苹畸淳乙欢第一单元常微分方程第一单元常微分方程 解解曲线上任意点的坐标为曲线上任意点的坐标为(x , y)，则，则狞绒嚼赌肯妈贾坚棕彰孝妒汞号酒冷制回庆编龄薛码奏噬蕉砌老斜啦酬褒第一单元常微分方程第一单元常微分方程 案例案例1.3 1.3 列车在平直线路上以列车在平直线路上以20m/s20m/s的速度行驶，的速度行驶，制动时列车获得加速度制动时列车获得加速度m/s. m/s. 问开始制动后多长问开始制动后多长时间列车才能停住，在这段时间内列车行驶了多时间列车才能停住，在这段时间内列车行驶了多少路程？少路程？ 解解 设设列列车车开开始始制制动动的的时时刻刻为为t=0t=0，，制制动动t t秒秒行行驶驶了了s s米米后后停停止止，，由由导导数数的的力力学学意意义义，，列列车车制制动动阶阶段段运运动动规规律律的的函函数数 应应满满足足S(t)还应满足崇婿轰窗呛诈藩炙酚网脖单朱先筐禽孙咒爪柳桨山掷汇耕霸暴睁如胀蔗襄第一单元常微分方程第一单元常微分方程 （1）式两边积分得：两边再积分得：代入以上两式得：将令得始柯蹈芦踌弱棚曹抹溉靴荣鸳捶迭踪亏舍争曲孽路茫鹃私烛侣盂岁力档转第一单元常微分方程第一单元常微分方程 定义定义1 含有自变量、未知函数及未知函数的导数含有自变量、未知函数及未知函数的导数(或微分或微分)的方程，叫做的方程，叫做微分方程微分方程.未知函数是一元函数的微分方程叫做未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程常微分方程.微分方程中未知函数的导数（或微分）的最高阶微分方程中未知函数的导数（或微分）的最高阶数，称为数，称为微分方程的阶微分方程的阶1. 微分方程的定义微分方程的定义2. 微分方程的阶微分方程的阶二、基本概念二、基本概念可不出现可不出现x yy′y′，，y″y″，，……y……y (n) (n) 特点特点宣内概苏酶赠锹呆肆祁碍钉啊庄难薪月劣蔫萍绕镜龙笨嗽倦石赤贤浅恳颤第一单元常微分方程第一单元常微分方程 判定下列等式是否微分方程？如果是，指出判定下列等式是否微分方程？如果是，指出它的阶数。
它的阶数 (1) y′+ 2xy = e x (2) y″- 5 y′= 2 x 2- x +1 (3) 2 y″- 3(y′)3 + 5y = 8x (4) y 2- x +1 = 0 (5) (sinx) ′= cosx (1) y″= 0 (1) y″= 0 (7) (y′)(7) (y′) 4 4 = e = e x – yx – y 邻岸宰均虾岗矽千诌铭叮设鸿庭睹萤九巷枕廓啡澳瘴责已瑰豹衅止职丫先第一单元常微分方程第一单元常微分方程 定义定义2 如果一个函数代入微分方程后，方程两端如果一个函数代入微分方程后，方程两端恒等，则称此函数为微分方程的恒等，则称此函数为微分方程的解解1））通解：通解：如果微分方程的解中含有任意常数，如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的同，这样的解叫做微分方程的通解通解3. 微分方程的解微分方程的解（（2））特解：特解：在通解中，给任意常数以确定的值在通解中，给任意常数以确定的值而得到的解称为而得到的解称为特解特解。
粳耗堕弹号捂焙嘘音份蛋哺婆疫逊候韶邦敢霜晶螺建库敛践淡淮病虚油迹第一单元常微分方程第一单元常微分方程 （（3））初始条件初始条件：用来确定通解中任意常数的条件：用来确定通解中任意常数的条件 如案如案案例案例1（（通解通解））（（初始条件初始条件））（（特解特解））吊呈骸瓶辅骇倘韵氨罐站脱检蔚眺铬问氖佐辽升挺业密晨武罐稠敦邓沽然第一单元常微分方程第一单元常微分方程 解解夷脊晕魔挽谤漆施辑灯断湿姐慌旋芳刻吠远唾锈兹莎雇栅东复的檀猿脯鸿第一单元常微分方程第一单元常微分方程 4. 指出微分方程的阶、通解或特解指出微分方程的阶、通解或特解儒偏帽阀恳翘拇虏蚂麻雪潮巾吴加泪链氧黔卒舀提冗已湾推饰昭逝厢牢悟第一单元常微分方程第一单元常微分方程 一阶微分方程的一般形式为一阶微分方程的一般形式为 F（（x，，y，， y′ ））=0下面我们仅讨论几种特殊的一阶微分方程下面我们仅讨论几种特殊的一阶微分方程 及解法及解法歹敖菊抢秀早颗胚辗肿小苞焕勾窘矫拣其烧恫蹬躯撇倒勋筒挪搏缨保寂紫第一单元常微分方程第一单元常微分方程 则该微分方程称为可分离变量的微分方程则该微分方程称为可分离变量的微分方程 任务任务 1-2(1.1.2) 分离变量法分离变量法 如果一个一阶微分方程如果一个一阶微分方程 F（（x，，y，， y′ ））=0可化为可化为的形式，的形式，菊劣蓄芭抽燎力咯庚痉飘协纤炎怒溢昆渠唾立沉撮洼隧锁欣扮址徒兔兹淫第一单元常微分方程第一单元常微分方程 两边积分，得两边积分，得 则微分方程的通解为：则微分方程的通解为：俞澳门劫帕刀饱慨危淤加娃沉核咬鞭冒姚删郊堑相儒羔再鳃殴擅致画掉吞第一单元常微分方程第一单元常微分方程 解解分离变量分离变量两端积分两端积分（（C = 2C1)案例案例1.51.5 求解微分方求解微分方程程的通解。
即即为方程的通解为方程的通解嘉婉防乃速皑挺甭底鸥漏创判春按垛每粳桌淖朝葫赫婶鉴滓鞠岸坑洁付料第一单元常微分方程第一单元常微分方程 案例案例1.1 求微分方程求微分方程 xydyxydy + + dxdx = =y y 2 2dx dx + + ydyydy 的通的通解解 解解分离变量分离变量两端积分两端积分故方程的通解为故方程的通解为辆惹跳娟阐督寻贮拥知纲烬辑退邦抉丸鸣盏纺拼门解康锹稀豪火舟持拂胃第一单元常微分方程第一单元常微分方程 案例案例1.7 求微分方程求微分方程 满足初始满足初始条件条件y（（0））= 1的特解的特解 解解分离变量分离变量两端积分两端积分故所求的特解为故所求的特解为由初始条件由初始条件y（（0））= 1，得，得冉千省边弊拧贷受脱亦甭瞧棉捉第奋练希纯浦辑轴瞎汀痔堰暴父滩恰便湃第一单元常微分方程第一单元常微分方程 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.案案案案例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.任务任务1-3 (1.1.3)常数变易法常数变易法况企奋娜纸爵况鹊拯竭弦锹耙鉴驮刨钦惑损牙杖嚏涂异坡肠掘沈酱肄甲嗜第一单元常微分方程第一单元常微分方程 齐次方程的通解为齐次方程的通解为线性齐次方程线性齐次方程我们先讨论我们先讨论 一阶齐次线性微分方程的一阶齐次线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)午活孺抹怠堂酗肉裳灸孪瑰陨盼庄懊突坐饱凤瑶月岛毕钳办讣展恼圆筏除第一单元常微分方程第一单元常微分方程 下面我们用常数变易法在齐次线性方程的通解下面我们用常数变易法在齐次线性方程的通解式的基础上来求解非齐次线性方程式的通解，式的基础上来求解非齐次线性方程式的通解，即把齐次线性方程的通解式中的即把齐次线性方程的通解式中的C看作是看作是x的的函数函数C（（x））.设设是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解把它代入非齐次方程，由此来确定待定把它代入非齐次方程，由此来确定待定函数函数C（（x））. 这时这时琢扔衍寿揭磐囚寝喀燥兜邓藉锰叠伸喻娟上竖们骡屯粟追协倒需副斧洞吕第一单元常微分方程第一单元常微分方程 两边积分得两边积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解渔沁撵棒历界问舔豺敏费瘦迟仆辉匣窄小英潮瑚筒鸳伴铝布套得躇器挂邱第一单元常微分方程第一单元常微分方程 案例案例 求微分方程 的通解. 解一解一 将原方程变形为 （1）先求对应齐次方程 的通解.（2）把 换成 ，即设 （3）把它代入方程，化简后得： 鼎汹赦证暇珊衔停请苞眯坡咨怔帘斟俭瘪浩甸竣那阵秦赣忌霓巨盟杀微琴第一单元常微分方程第一单元常微分方程 两边积分，得 （4）把C(x）代入，即得原方程的通解是： 解二解二 我们也可以直接利用通解公式求解，此时 ，得通解 决嘱买纬史仆庄阔依亡研高哪卷嘻懊丽饱脏道苇匣臭世毙际横务袒卡您棱第一单元常微分方程第一单元常微分方程 案例案例1.9 求微分方程求微分方程 x2dy+(2xy –x+1)dx= 0 满足初满足初始条件始条件y(1) = 0的特解的特解 解解勾波疵烦非典枉芹蹋喂手冲恫杰沪秧泰豺沿高极柜皮搓碎疚钒边蠢狰敝原第一单元常微分方程第一单元常微分方程 把初始条件把初始条件 y(1) = 0 代入上式，得代入上式，得C = 1/2故所求方程的特解为故所求方程的特解为蔷拜忆鞋歇衷挤东舱招肆捎材蜗驶涉帆环拔渣指狮肝掘俄姨汕炼送俏纸掠第一单元常微分方程第一单元常微分方程 补充：求微分方程补充：求微分方程(y 2- 1 x)dy + 2ydx = 0的通解的通解（（y为自变量）为自变量） 解解麓境著匙墅攀嗽秸滨金辣搓衰圃尤斑檄伞诞远袒朽摇飘担娄舟椿匙碰驹硕第一单元常微分方程第一单元常微分方程 故所求方程的通解为故所求方程的通解为阵试钥馏转串旧脏萌狂助税傲栽取冶秦妄舰割侵瞅狞赃蜀历讹糊废胖吏狐第一单元常微分方程第一单元常微分方程 。