第八章 一阶电路分析 由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路本章主要讨论由直流电源驱动的含一个动态元件的线性一阶电路含一个电感或一个电容加上一些电阻元件和独立电源组成的线性一阶电路，可以将连接到电容或电感的线性电阻单口网络用戴维宁－诺顿等效电路来代替（如图8－1和8－2所示）图8-1 图8-2我们的重点是讨论一个电压源与电阻及电容串联，或一个电流源与电阻及电感并联的一阶电路与电阻电路的电压电流仅仅由独立电源所产生不同，动态电路的完全响应则由独立电源和动态元件的储能共同产生仅由动态元件初始条件引起的响应称为零输入响应仅由独立电源引起的响应称为零状态响应动态电路分析的基本方法是建立微分方程，然后用数学方法求解微分方程，得到电压电流响应的表达式§8－1 零输入响应一、RC电路的零输入响应图8-3(a)所示电路中的开关原来连接在1端，电压源U0通过电阻Ro对电容充电，假设在开关转换以前，电容电压已经达到U0在t=0时开关迅速由1端转换到2端已经充电的电容脱离电压源而与电阻R并联，如图(b)所示图8-3我们先定性分析t>0后电容电压的变化过程当开关倒向2端的瞬间，电容电压不能跃变，即由于电容与电阻并联，这使得电阻电压与电容电压相同，即电阻的电流为该电流在电阻中引起的功率和能量为电容中的能量为随着时间的增长，电阻消耗的能量需要电容来提供，这造成电容电压的下降。
一直到电容上电压变为零和电容放出全部存储的能量为止也就是电容电压从初始值uC(0+)=U0逐渐减小到零的变化过程这一过程变化的快慢取决于电阻消耗能量的速率为建立图(b)所示电路的一阶微分方程，由KVL得到由KCL和电阻、电容的VCR方程得到代入上式得到以下方程这是一个常系数线性一阶齐次微分方程其通解为代入式(8－1)中，得到特征方程其解为称为电路的固有频率于是电容电压变为式中K是一个常量，由初始条件确定当t=0+时上式变为根据初始条件求得最后得到图8－3(b)电路的零输入响应为从式8－4可见，各电压电流的变化快慢取决于R和C的乘积令t =RC，由于 t 具有时间的量纲，故称它为RC电路的时间常数引入 t 后，式8－4表示为图8－4 RC电路零输入响应的波形曲线下面以电容电为例，说明电压的变化与时间常数的关系当t=0时，uC(0)=U0，当t=时，uC()=0.368U0表8－1列出t等于0，，2，3，4，5 时的电容电压值，由于波形衰减很快，实际上只要经过4～5的时间就可以认为放电过程基本结束t02345∞uc(t)U00.368U00.135U00.050U00.018U00.007U00电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为计算结果证明了电容在放电过程中释放的能量的确全部转换为电阻消耗的能量。
由于电容在放电过程中释放的能量全部转换为电阻消耗的能量电阻消耗能量的速率直接影响电容电压衰减的快慢，我们可以从能量消耗的角度来说明放电过程的快慢例如在电容电压初始值U0不变的条件下，增加电容C，就增加电容的初始储能，使放电过程的时间加长；若增加电阻R，电阻电流减小，电阻消耗能量减少，使放电过程的时间加长这就可以解释当时间常数t=RC变大，电容放电过程会加长的原因例8-1 电路如图8－5(a)所示，已知电容电压uC(0-)=6Vt=0闭合开关，求t > 0的电容电压和电容电流34图8－5 例8－1 图8-5解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到将连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻，其电阻值为得到图(b)所示电路，其时间常数为根据式8－5得到电阻中的电流iR(t)可以用与iC(t)同样数值的电流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t)二、RL电路的零输入响应我们以图8－6(a)电路为例来说明RL电路零输入响应的计算过程图8-6电感电流原来等于电流I0，电感中储存一定的磁场能量，在t=0时开关由1端倒向2端，换路后的电路如图(b)所示在开关转换瞬间，由于电感电流不能跃变，即iL(0+)= iL(0-)= I0 ，这个电感电流通过电阻R时引起能量的消耗，这就造成电感电流的不断减少，直到电流变为零为止。
综上所述，图(b)所示RL电路是电感中的初始储能逐渐释放出来消耗在电阻中的过程与能量变化过程相应的是各电压电流从初始值，逐渐减小到零的过程列出KCL方程代入电感VCR方程得到以下微分方程这个微分方程与式(8－1)相似，其通解为代入初始条件iL(0+)=I0求得K=I0最后得到电感电流和电感电压的表达式为其波形如图所示RL电路零输入响应也是按指数规律衰减，衰减的快慢取决于常数 由于 =L/R具有时间的量纲，称为RL电路的时间常数图8-7例8-2 电路如图8－8(a)所示，开关S1连接至1端已经很久，t=0时开关S由1端倒向2端求t³0时的电感电流iL(t)和电感电压uL(t)图8-8解：开关转换瞬间，电感电流不能跃变，故将连接到电感的电阻单口网络等效为一个的电阻，得到的电路如图(b)所示该电路的时间常数为根据式8－7得到电感电流和电感电压为通过对RC和RL一阶电路零输入响应的分析和计算表明，电路中各电压电流均从其初始值开始，按照指数规律衰减到零，一般表达式为因为电容或电感在非零初始状态时具有初始储能，各元件有初始电压电流存在，由于电阻要消耗能量，一直要将储能元件的储能消耗完，各电压电流均变为零为止。
§8－2 零状态响应初始状态为零，仅仅由独立电源(称为激励或输入)引起的响应，称为零状态响应本节只讨论由直流电源引起的零状态响应一、RC电路的零状态响应图8-9(a)所示电路中的电容原来未充电，uC(0-)=0t=0时开关闭合，RC串联电路与直流电压源连接，电压源通过电阻对电容充电其电压电流的变化规律，可以通过以下计算求得a) t<0 的电路 (b) t>0 的电路图8-9其电压电流的变化规律，可以通过以下计算求得以电容电压为变量，列出图(b)所示电路的微分方程这是一个常系数线性非齐次一阶微分方程其解答由两部分组成，即式中的uCh(t)是与式（8－8）相应的齐次微分方程的通解，其形式与零输入响应相同，即式(8－9)中的uCp(t)是式(8－8)所示非齐次微分方程的一个特解一般来说，它的模式与输入函数相同对于直流电源激励的电路，它是一个常数，令将它代入式(8－8)中求得因而式中的常数K由初始条件确定在t=0+时由此得到代入式(8－10)中得到零状态响应为其波形如图(8－10)所示图8－10 RC电路的零状态响应曲线从上可见，电容电压由零开始以指数规律上升到US，经过一个时间常数变化到(1-0.368)US=0.632US，经过(4～5)t时间后电容电压实际上达到US。
电容电流则从初始值US/R以指数规律衰减到零零状态响应变化的快慢也取决于时间常数t =RC当时间常数t 越大，充电过程就越长例8-3 电路如图8-11(a)所示，已知电容电压uC(0-)=0t=0打开开关，求t³0的电容电压uC(t),电容电流iC(t)以及电阻电流i1(t)图8-11解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到先将连接于电容两端的含源电阻单口网络等效于戴维宁等效电路，得到图(b)所示电路，其中电路的时间常数为当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路，由此求得按照式(8－11)可以得到为了求得i1(t)，根据图（a）所示电路，用KCL方程得到二、RL电路的零状态响应RL一阶电路的零状态响应与RC一阶电路相似图8-12所示电路在开关转换前，电感电流为零，即iL(0-)=0当t=0时开关由a倒向b，其电感电流和电感电压的计算如下：图8－12 RL电路的零状态响应以电感电流作为变量，对图(b)电路列出电路方程这是常系数非齐次一阶微分方程，其解答为式中t =L/R是该电路的时间常数常数K由初始条件确定，即由此求得最后得到RL一阶电路的零状态响应为其波形曲线如图8－13所示图8－13 RL电路零状态响应的波形曲线例8－4 电路如图8-14(a)所示，已知电感电流iL(0-)=0。
t=0闭合开关，求t³0的电感电流和电感电压图8-14解：开关闭合后的电路如图(b)所示，由于开关闭合瞬间电感电压有界，电感电流不能跃变，即将图(b)中连接电感的含源电阻单口网络用诺顿等效电路代替，得到图(c)所示电路由此电路求得时间常数为按照式(8－14)可以得到假如还要计算电阻中的电流i(t)，可以根据图(b)电路，用欧姆定律求得例8-5 图8-15(a)为一个继电器延时电路的模型已知继电器线圈参数为：R=100W，L=4H，当线圈电流达到6mA时，继电器开始动作，将触头接通从开关闭合到触头接通时间称为延时时间为了改变延时时间，在电路中串联一个电位器，其电阻值可以从零 到900W之间变化若US=12V，试求电位器电阻值变化所引起的延时时间的变化范围图8-15解：开关闭合前，电路处于零状态，iL(0-)=0开关转换瞬间电感电压有界，电感电流不能跃变，即iL(0+)=iL(0-)=0将电路用图8－15(b)所示诺顿等效电路代替，其中电感电流的表达式为设t0为延时时间，则有由此求得当Rw=0W时，t =0.04s当Rw=900W时，t =0.004s§8－3 完全响应由储能元件的初始储能和独立电源共同引起的响应，称为全响应。
下面讨论RC串联电路在直流电压源作用下的全响应电路如图8-16(a)所示，开关连接在1端为时已经很久，uC(0-)=U0t=0时开关倒向2端t >0 时的电路如图8-16(b)所示图8-16为了求得电容电压的全响应，以电容电压uC(t)为变量，列出图(b)所示电路的微分方程其解为代入初始条件求得于是得到电容电压以及电容电流的表达式第一项是对应微分方程的通解uCh(t)，称为电路的固有响应或自由响应，若时间常数t >0，固有响应将随时间增长而按指数规律衰减到零，在这种情况下，称它为瞬态响应第二项是微分方程的特解uCp(t)，其变化规律一般与输入相同，称为强制响应在直流输入时，当 t¥®时，uC(t)=uCp(t) 这个强制响应称为直流稳态响应以上两种叠加的关系，可以用波形曲线来表示利用全响应的这两种分解方法，可以简化电路的分析计算，实际电路存在的是电压电流的完全响应a) 全响应分解为固有响应与强制响应之和(b) 全响应分解为零输入响应与零状态响应之和 图8-17例8-6 图8-18(a)所示电路原来处于稳定状态t=0时开关断开，求t³0的电感电流iL(t)和电感电压uL(t)。
图8-18解：在t<0时，电阻R1被开关短路，电感电流的初始值为在t>0时的电路中，用诺顿等效电路代替连接电感的含源电阻单口网络，得到图(b)所示电路，该电路的微分方程为其全解为。