泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广f(n)( x )0— n!(X-X )n +o((X-X )n)00泰勒公式及其应用1引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示 为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题 的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演 算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献 ,并对这些应用方法做 了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例 题进行讲解说明.2 预备知识定义2.1 [1]若函数f在X存在n阶导数，则有0f(X)= f(X0)*3 (X - X ) + 4 (X - X )2 + …1! 0 2! 01)这里o(( X - X ) n )为佩亚诺型余项，称(1)f在点X的泰勒公式.00当 X =0 时，(1)式变成 f (x) = f (0) + - X + - X2 + + — Xn + o(Xn ),0 1! 2! n!称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2⑵ 若函数f在x某邻域内为存在直至n +1阶的连续导数，则0f (X)= f (X0)+ f'( X0)( X - X0)+2!(X - X )2 +...+0f(n)( X )0—n!( X - X ) n + R ( X )0n(2)这里R (x)为拉格朗日余项R (x)二f ("+1)')(x + x )n+i，其中g在x与x n n (n + 1)! 0 0之间，称(2)为 f 在 X 的泰勒公式.0当 x =0 时，(2)式变成 f (x) = f (0) + f '(0)x + 口0^x2 +... + f (n)(0) xn + R (x)0 2! n! n称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：4 X 2 Xn e 弘ex = 1 + X + + + Xn+1 .X2n+1n —(2n+1)!+o(X2n+2) .2! n! (n +1)!sin x = x -兰 + 史--+ (-1)3! 5!X2cos X = 1 一 + 2!X 44!X 66!X2n(2n)!ln(1 + X) = X+ f 一…+(-1)nXn+1=1+ X+ X+ o(Xn+1)- n+1 +-+Xn +o(Xn)m(m 一1)(1 + x) m = 1 + mX + X2 +—-2!定理2.1⑶(介值定理)设函数f在闭区间［a, b］上连续，且f (a)丰f (b),若卩为介于f (a)与f (b)之间的任何实数，则至少存在一点x g (a,b)，使得 00f (x )=卩-003 泰勒公式的应用3.1 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限，就能简捷地求出.例 3.1 求极限limC°SX一e 2 .X T 0 X 40 x2分析：此为0型极限，若用罗比达法求解，则很麻烦，这时可将COS X和e - 2分别用泰勒展开式代替，则可简化此比式.X22 (— )2解 由 cosX = 1 一 — + — + o(X4) , e- 2 = 1 一 — + - + o(X4)得2! 4! 2 2cos x 一 e122 • 2)x 4 + o( x 4)=112于是cos x - e 2lim-—x 4 + O( x 4)=lim—12—xtOxtO12ex—i—例3.2极限limx~ 0x — sin x2sin x — x cos x分析：此为0型极限，若用罗比达法求解，则很麻烦，这时可将cosx和sinx, e x 分别用泰勒展开式代替，则可简化此比式.x x 2 x 3 x x 3解:由ex -1 - x - 2sin x =1+x 弓 U+o(x3)—1— x— 2(x— T+o(x3))x 3 x 4 x 3=T +12 + o( x 9 2 绘兀二工十-X十□（兀） ， = ~6 + o( x 3),x 3 x 2sin x — x cos x = x — + o(x 3) — x(1— + o(x 3))6 2x 3=可 + O( x 3)于是limx~ 0x — sin x2sin x — x cos xx 3T+o( x 3)x 3例3.3利用泰勒展开式再求极限to-sin rlim— XTd X解:该工一 sin工-[r+ - 宀口 (/)]—[—少d 十丄x3)+(o(r3)-o(x3))63 6—(工—兀)十(一x153—= lim^ + lim^=l亡 r x3 x3 21 3丄 ・ —X ~H U一 to: - sin r 「 ■?lim——— = lim ・斤就1 x 宀D【注解】现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处 因为fgx^x^sinx （工—0），从而 lim^-^ = limX-x=limQ = Q■ttD x XT。
工‘ 片 tDf - _n ^x-sinx = -r3 + o当兀—0时，塩工_別口工工兀一艾二°,应为 昌 23.2利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函 数并用泰勒公式代替，往往使证明方便简捷.例3.2当x>0时，证明sinx>x-6x3・证明 取 f (x) = sin x一x + x3, x = 0，贝U6 0f (0)二 0, f'(0)二 0, f''(0)二 0, f'”(x)二 1 — cos x, f'”(0) > 0.带入泰勒公式，其中n =3,得f (x) = ° + ° + ° + Tx3，其中 0 <9< 1当 x > 0 时，sinx> x一1 x3・3.3 利用泰勒公式判断级数的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒 公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性例3判断广义积分八8 d+1 ^x~1 -2 JX）dx的收敛性5解: 骨'x +1 +x -1 - 2叮x 二+ — + ,'1 - — - 2）,1 -丄+ 4丄+ o（丄）,2 x 2! x2 x 211+ 0（丄）+1 -丄 + 4 x 2 2 x 2!11-+。
丄）-2}x2 x 2=-丄+ o（丄），因此lim心市U和-加丁1 = 14 x 2 x 3 x … I-丄 |34 x 2由于j+8」一收敛，所以J+8 （x +1 +、；'x-1 -2 *x）dx的收敛5 3 5例 3.31讨论级数£ （pnn=1in n±1n）的敛散性.4 x 2分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法，注意到in出 =ln（1+丄），若将其泰勒展开为1的 n n n幂的形式，开二次方后恰与1 0n1u == n n又因为1 1+ _ 2n2 3n3+oG)>1 1— + n 2 4n 31•Jn132n 2所以=ln(l+丄)=—— + ——n n 2n2 3n3 4n4所以所以_ 1=貞ln n+1 <丄-(丄-丄)_丄n 3 ⑴ 2n 3 2n 2因为£ 收敛，所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.3n _1 2n 23.4 利用泰勒公式证明根的唯一存在性例3.4 设 f(x)在［a, +8)上二阶 可导，且 f (a) > 0, f'(a) < 0 ,对x e (a, +8),f" < 0 , 证明： f (x) _ 0 在(a, +8)内存在唯一实根.分析：这里f(x)是抽象函数，直接讨论f (x) _ 0的根有困难，由题设f(x)在 [a, +8)上二阶可导且f (a) > 0, f'(a) < 0，可考虑将f(x)在a点展开一阶泰勒公式, 然后设法应用戒指定理证明.证明 因为f''(x) < 0 ,所 以f'(x)单调 减少，又f'(a) < 0 ,因此x>a 时，f'(x) < f'(a) < 0，故f(x)在(a, +8)上严格单调减少.在a点展开一阶泰勒公 式有/ (x)=/(a)+/'(a )(x - A)+导x - A )2(a 乂 A，使得/(B) < 0,又XT8因为/(A)> 0，在[A,B]上应用连续函数的介值定理，存在X G (A,B)，使/(X )二0 , 00由f(x)的严格单调性知X唯一，因此方程/(x) = 0在(A, +8)内存在唯一实根. 03.5 利用泰勒公式判断函数的极值例3.5[4](极值的第二充分条件)设/在x的某邻域U(x ;5 )内一阶可导,00在X二X处二阶可导，且广(X )二0 ,广(X )丰0 .0 0 0(i)若广(x ) < 0,则/在x取得极大值.00(ii)若广(x ) > 0，则/在x取得极小值.00证明由条件，可得f在x处的二阶泰勒公式0f ' (x ) f '' ( x )/(X) = /(X ) + 1(X - X ) + 1(X - X )2 + o((X - X )2).0 1! 0 2! 0 0 由于广(X )二0 ,因此0/ (x) - / (x0)=[仔+o(1)]( x - x0)2 -(*)又因/''(X )丰0 ,故存在正数5' <8 ,当X g U(X ;5')时，1广(X )与0 0 2 0丄广(X ) + 0(1)同号.所以，当/''(X ) < 0时，(*)式取负值，从而对任意2 0 0x g U(x ;5')有0/ (X) - / (X ) < 0 ,0即/在X取得极大值.同样对广(X ) > 0，可得/在X取得极小值.0 0 03.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 利用基本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较 复杂的初等函数的幂级数展开式.例3.6求 1一的幕级数展开式.1 + X + X 2解 利用泰勒公式(1一x)(l+ X3 + X6 + X9 +•…)=1 — X + X3 一X4 + X6 一X7 + X9 一X10 + •…X4 +亘 X 6 —匣 X 7 +込 X 一亘 X10 +•• ■)2 2 2 2[sin2兀(n +1)3Xn ]3.7 利用泰勒公式进行近似计算 利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算 ,利用 f (X) 麦克劳。