极限运算技巧

极限运算技巧极限是高等数学中最基本，也是非常重要的内容高等数学就是以极限为基本工具，来 研究函数的微分和积分高等数学中几乎所有的基本概念，如连续、导数、定积分等，都是 用极限来描述的因此，学好极限，会计算极限，是学好高等数学的一个关键我们看到一道极限题的时候，首先是看它的基本形式，是属于什么形式就用什么方法 一、 不定式0 g对于、 、0、g-g、00、1g、g0型的不定式，我们常用洛必达法则和两0g个重要极限来计算，但也不能忽视其它一些技巧的运用一)、恒等变形的运用在极限的运算中，常常要进行下面的恒等变形：(1) 运用因式分解，约简分式；(2) 运用共轭根式，有理化分子或分母；(3) 运用三角公式，进行恒等变形4) 幕指函数 a(X)b(x) = e b(x)lna(x)例 1 求极限 lim i x2 + x +1 —、. x2 — x +1X T+g解：这是含有无理根式的g —g型不定式，通常先采取有理化的方法来变形lim 第 x2 + x +1 — \ x2 — x +1xT+gi ! |'(百 x2 + x +1 — \： x2 — x + 1)C x2 + x +1 + \- x2 — x + 1)=lim2x=lim = limxT+g x2 + x + 1 + \： x2 — x + 1 xT+gx T+g V x2 + x +1 +、' x2 — x +1I =1■1 1 1 -1 1 1■ 1 + + + .1 — + - ■ x x 2 勺 x x 2例2 求极限 lim(sec x - tan x)匹xT20解：这是g—g型不定式，可利用三角公式变形为0型，用洛必达法则来解决。

1 sin x 1 — sin x — cos xlim(sec x - tan x) = lim( — ) = lim =lim =0兀 広 cos cos x k cos a — sin xx _T x—T x —T x—T2 2 2 2例 3 求极限lim(sinx)tanxkxT2解：法一：这是 1g 型，可采用重要极限1lim(1 + x)x = e来解决，先用三角公式 xT0sin x = t'1 — cos2x ( 0 < x

arcsin x例4 求极限lim x T0 x解：令u = arcsinx,则x = sinu，且当x T 0时，u T 0因此有 arcsin x ulim = lim = 1xT0 x uT0 sinu（三） 等价无穷小代换等价无穷小代换是最能简化运算的，等价代换的公式主要有：当 x T 0时，sin x 〜x，tanx 〜x，1 一 cos2 x 〜 ，arcsinx 〜x，arctanx 〜x2ex — 1 ~ x， ln（1 + x） ~ x， n 1 + x — 1 ~n需要注意的是等价无穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直 接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必 须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆 开的每一项极限都存在tan x — sin x例5 求极限limxjo （arctan x）3解：不能直接用等价无穷小tanx〜x，sin x〜x代换，而可用x代换arctanxtan x — sin xlim = limxj0 (arctan x)3 xT0sin x一 sin x cos xx3sinx(1—cosx) sinx 1—cosx 1=lim = lim x xxT0 x x 2 cos xxT0x3 cos x四）泰勒公式的运用。

I例 6 求极限 lim (vx3 + 3x2 -

i 1 1例10 求极限lim '1 + + -n*\ n n2解：因为当n > 1时1 < 1 + - + — < 1 + - + — n n 2 n n 2lim 1 = 1nTS所以由夹逼准则可得lim 1+-+ns n=1四、利用级数收敛的必要条件求极限n!例11求极限limnTS n nS n! n!解：由比值审敛法判定奇数乞 收敛，故lim =0 nn nTS nnn =1五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小例 12 求极限 limSinSin(X-1)xT0 ln x解： x T 0时 丄 T 0， 为无穷小量sin sin(x-1)为有界量故 limSinsin( X -1) = 0ln xln xxT0。