中考压轴题之中点问题

1中考压轴题之中点问题中考压轴题之中点问题 解题思路：几何问题一般是添加辅助线构造全等三角形解题思路：几何问题一般是添加辅助线构造全等三角形 涉及到中点问题通常有以下三种思路：涉及到中点问题通常有以下三种思路： （（1））找中点使之成为中位线构造全等三角形找中点使之成为中位线构造全等三角形 （（2））倍长中线法构造全等三角形倍长中线法构造全等三角形 （（3））直角三角形中取斜边中点，斜边中线为斜边的一半直角三角形中取斜边中点，斜边中线为斜边的一半 总之核心就是能构造出全等三角形，则思路正确总之核心就是能构造出全等三角形，则思路正确2012 丰台二模1、在△ABC 中，D 为 BC 边的中点，在三角形内部取一点 P，使得∠ABP=∠ACP．过点P 作 PE⊥AC 于点 E，PF⊥AB 于点 F． （1）如图 1，当 AB=AC 时，判断的 DE 与 DF 的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图 2，当 ABAC，其它条件不变时， （1）中的结论是否发生改变？请说明理由．图 1 图 2AEFPBDCCEBADFP22012 朝阳二模 2、如图，D 是△ABC 中 AB 边的中点，△BCE 和△ACF 都是等边三角形，M、N 分别是 CE、CF 的中点. （1）求证：△DMN 是等边三角形； （2）连接 EF，Q 是 EF 中点，CP⊥EF 于点 P. 求证：DP＝DQ. 同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面 两位同学的解题思路作为参考： 小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造 三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要 证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM 绕顶 点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.NMDEFABC32012 海淀二模 3、在矩形 ABCD 中, 点 F 在 AD 延长线上，且 DF= DC, M 为 AB 边上一点, N 为 MD 的中 点, 点 E 在直线 CF 上（点 E、C 不重合）. （1）如图 1, 若 AB=BC, 点 M、A 重合, E 为 CF 的中点，试探究 BN 与 NE 的位置关系及的值, 并证明你的结论;BMCE（2）如图 2，且若 AB=BC, 点 M、A 不重合, BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是 否 成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由; （3）如图 3，若点 M、A 不重合，BN=NE，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请 直接写出你的结论.图 1 图 2 图 3FA(M)DNDACEDNMBFECBFNMECBA42012 海淀一模52012 西城一模已知：在如图 1 所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的 对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．(1) 求证：BF∥AC；(2) 若AC边的中点为M，求证：；2DFEM(3) 当AB=BC时（如图 2） ，在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图 2 中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．图 1 图 262012 丰台一模已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中 BA=BC，DA=DE，联结EC，取 EC 的中点 M，联结 BM 和 DM．（1）如图 1，如果点 D、E 分别在边 AC、AB 上，那么 BM、DM 的数量关系与位置关系是 ； （2）将图 1 中的△ADE 绕点 A 旋转到图 2 的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． DCBAEM M EABCD72009 北京中考问题：如图 1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段ABCDBEFGABE，，P的中点，连结．若，探究与的位置关系及DFPGPC，60ABCBEF oPGPC的值．PG PC 小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．GPDCH请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；PGPCPG PC （2）将图 1 中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形BEFGBBEFGBF 的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 2） ．你在（1）中得到ABCDAB 的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图 1 中，将菱形绕点顺时针旋转任2 (090 )ABCBEF ooBEFGB意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示） ．PG PC解：（1）线段与的位置关系是 ； ．PGPCPG PC（2）DABEFCP G图 1DCGPABEF图 282012 昌平二模 8、如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，过点 B 作 BD⊥AC 于 D，BE 平分∠DBC，交 AC 于 E，过点 A 作 AF⊥BE 于 G，交 BC 于 F，交 BD 于 H． （1）若∠BAC=45°，求证：①AF 平分∠BAC；②FC=2HD． （2）若∠BAC=30°，请直接写出 FC 与 HD 的等量关系．9． （2012 石景山一模） （1）如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=2BC，M 是 AB 的中点．直接写出∠BMD 与∠ADM 的倍数关系； （2）如图 2，若四边形 ABCD 是平行四边形， AB=2BC，M 是 AB 的中点，过 C 作CE⊥AD 与 AD 所在直线交于点 E．①若∠A 为锐角，则∠BME 与∠AEM 有怎样的倍数关系，并证明你的结论；②当时，上述结论成立；A0当 时，上述结论不成立．180AGABD EFHCH GEDCFBAMDBACEADMBC图 1 图 2910（2012 顺义一模）1011（2011 朝阳一模） 已知：△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点 M 是 CE 的中点， 连接 BM.（1）如图①，点 D 在 AB 上，连接 DM，并延长 DM 交 BC 于点 N，可探究得出 BD 与 BM 的数量关系为 ；（2）如图②，点 D 不在 AB 上， （1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不 成立，说明理由.NMDECABMECBAD图①图②11中考压轴题之中点问题答案中考压轴题之中点问题答案2012 丰台二模2012 朝阳二模122012 海淀二模132012 海淀一模2012 西城一模14152012 丰台一模 （1）BM=DM 且 BM⊥DM． ………2 分 （2）成立． ……………3 分理由如下：延长 DM 至点 F，使 MF=MD，联结 CF、BF、BD．易证△EMD≌△CMF．………4 分∴ED=CF，∠DEM=∠1．∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，∴∠2=∠3=45°, ∠4=∠5=45°．∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9，∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9）=360°-45°-180°+∠6+∠9- 45°-∠9 =90°+∠6 ．∴∠8=∠BAD．………5 分又 AD=CF． ∴△ABD≌△CBF． ∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．………6 分16∴∠DBF=∠ABC=90°． ∵MF=MD，∴BM=DM 且 BM⊥DM．.…………7 分 2009 北京中考．解：（1）线段与的位置关系是；PGPCPGPC． .................................................................................................................................2 分PG PC3（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．证明：如图，延长交于点，连结．GPADHCHCG， 是线段的中点， PQDF ．FPDP由题意可知．ADFG∥ ．GFPHDP  ， GPFHPD Q ．GFPHDP△≌△ ，．GPHPGFHD四边形是菱形，QABCD，．CDCB60HDCABC o由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同60ABCBEF oBEFGBFABCDAB一条直线上，可得． 60GBCo．HDCGBC 四边形是菱形，QBEFG ． GFGB ．HDGB ．HDCGBC△≌△ ，．CHCGDCHBCG ．120DCHHCBBCGHCB o即．120HCGo，，CHCGQPHPG，．PGPC60GCPHCP o． ..............................................................................................................................6 分3PG PC（3）． .......................................................................................................8 分PG PCtan(90)oDCGPABEFH172012 昌平二模2012 石景山一模 （1）∠BMD= 3 ∠ADM ………… 2 分 （2）联结 CM，取 CE 的中点 F，联结 MF，交 DC 于 N ∵M 是 AB 的中点，∴MF∥AE∥BC，∴∠AEM=∠1，∠2=∠4， ……… 3 分 ∵AB=2BC，∴BM=BC，∴∠3=∠4. ∵CE⊥AE，∴MF⊥EC，又∵F 是 EC 的中点， ∴ME=MC，∴∠1=∠2. ……….4 分 ∴∠1=∠2=∠3. ∴∠BME =3∠AEM. ………. 5 分（3）当 0°<∠A<120°时，结论成立； 当时，结论不成立. …………7 分180120 AFAMBCED4321182012 顺义一模顺义一模2011 朝阳一模. (1)BD=BM. ……………………………………………………………………………2 分2(2)结论成立.证明:连接 DM，过点 C 作 CF∥ED，与 DM 的延长线交于点 F，连接 BF，可证得△MDE≌△MFC.………………………………… 3 分∴DM=FM, DE=FC.∴AD=ED=FC.作 AN⊥EC 于点 N.654321NFMECABD19由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，可证得∠1=∠2, ∠3=∠4.……………………………4 分∵CF∥ED，∴∠1=∠FCM.∴∠BCF=∠4+∠FCM =∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAD.∴△BCF≌△BAD. …………………………………………………………………………5 分∴BF=BD，∠5=∠6.∴∠DBF=∠5+∠ABF=∠6+∠ABF=∠ABC=90°.∴△DBF 是等腰直角三角形. ………………………………………………………………6 分∵点 M 是 DF 的中点，则△BMD 是等腰直角三角形.∴BD=BM. …………………。