李永乐线性代数冲刺笔记(打印版)

- 1 - / 10 线性代数冲刺笔记线性代数冲刺笔记 【例题 1 1】B B＝ 50030021 a，A A2－－2AB AB ＝ E E，，r(ABAB－－2BABA＋3A A) ＝（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）与 a 有关 【【解】】 ∵ A A(A A－－2B B) ＝ E E ∴ A A 可逆，且 A A－－1 ＝ A A－－2B B  A A(A A－－2B B) ＝ (A A－－2B B) A A (A AA A－－1＝＝ A A－－1 A A)  AB AB ＝ BABA 那么，ABAB－－2BABA＋3A A ＝ 3A A－－AB AB ＝ A A(3E E－－B B) 又，A 可逆，知 r(ABAB－－2BABA＋3A A) ＝ r(A A(3E E－－B B)) ＝ r(3E E－－B B) a 有|3E E－－B B|＝0，又 3E E－－B B 有二阶子式不得零，从而 r(3E E－－B B) ＝ 2. 【例题 2 2】A Am×n，ηη1，ηη2，…，ηηt是 Ax Ax ＝ 0 0 的基础解系，αα 是 A Ax x ＝ b b 的一个解. (I)证明 αα，αα＋ηη1，αα＋ηη2，…，αα＋ηηt线性无关. (II)证明 Ax Ax ＝ b b 的任意一个解都可以由 αα，αα＋ηη1，αα＋ηη2，…，αα＋ηηt线性表出. 【【分析】】ηη1，ηη2，…，ηηt是 AxAx＝0 0 的基础解系，那么 ηη1，ηη2，…，ηηt必定线性无关，从而证明 αα，αα＋ηη1，αα＋ηη2，…，αα＋ηηt线性无关可以用定义法。

【【证】】(I)（用定义，重组，同乘） 设 k0αα＋k1 (αα＋ηη1)＋k2(αα＋ηη2)＋…＋ kT(αα＋ηηt)＝0 0 (1) 即 （k0＋k1＋k2＋…＋kT）αα＋k1ηη1＋k2ηη2＋…＋kT ηηt＝0 0 (2) 由 A Aαα＝b b，， A Aηηi＝0 0（i＝1，…，t） ，用 A A 左乘（2） ，有 (k0＋k1＋k2＋…＋kt)A Aαα＋k1A Aηη1＋k2A Aηη2＋…＋ktA Aηηt＝0 0 即 (k0 ＋k1＋k2 ＋…＋kt)b b＝0 0 又 b b≠0 0，有 k0＋k1＋k2＋…＋kT＝0 (3) 带入(2)有 k1ηη1＋k2ηη2＋…＋ktηηt＝0 0， 而 ηη1，ηη2，…，ηηt是 AxAx＝0 0 的基础解系，那么 ηη1，ηη2，…，ηηt必定线性无关， 从而 k1 ＝k2 ＝…＝kt＝0，带入(3)有 k0＝0. 所以 k0＝k1＝k2＝…＝kt＝0αα，αα＋ηη1，αα＋ηη2，…，αα＋ηηt线性无关. （或用秩） ∵ηη1，ηη2，…，ηηt线性无关，αα 是 AxAx＝b b 的解αα 不能由 ηη1，ηη2，…，ηηt线性表出. x x1ηη1＋x x2ηη2＋…＋x xtηηt ＝αα 无解r(ηη1，ηη2，…，ηηt)≠r(ηη1，ηη2，…，ηηt，αα) ∵r(ηη1，ηη2，…，ηηt) ＝tr(ηη1，ηη2，…，ηηT，αα)＝t＋1 r(αα，αα＋ηη1，αα＋ηη2，…，αα＋ηηt)＝t＋1αα，αα＋ηη1，αα＋ηη2，…，αα＋ηηt线性无关. (II)设 ββ 是 AxAx＝b b 的任意一个解，则 ββ－－αα 是 AxAx＝0 0 的解. 从而 ββ－αα＝l1ηη1＋l2ηη2＋…＋ltηηt . ββ＝αα＋l1ηη1＋l2ηη2＋…＋lt ηηt ββ＝(1－l1 －l2 －…－lt)αα＋l1ηη1＋l2ηη2＋…＋lt ηηt 【评注】 本题考查矩阵逆的概念以及矩阵的乘法. 设矩阵 A－－n 阶，B－－n 阶，若 AB ＝ BA ＝E，则称矩阵 A 可逆，且 B 为 A 的逆 矩阵.由此有 A A－－1＝ A－－1 A. - 2 - / 11 即 ββ 可由 αα，αα＋ηη1，αα＋ηη2，…，αα＋ηηt表出. 【例题 3 3】A Am×n，r(A A)＝n，αα1，αα2，…，ααs是 n 维列向量. 证明：αα1，αα2，…，ααs线性无关的充分必要条件是 A Aαα1，A Aαα2，…，A Aααs线性无关. 【证】必要性（用定义） 设 k1A Aαα1＋k2A Aαα2＋…＋ks A Aααs＝0 0，即 A A(k1αα1＋k2αα2＋… ＋ks ααs)＝0 0. 由 A Am×n，r(A A)＝nAxAx＝0 0 只有零解. 故 k1αα1＋k2αα2＋…＋ks ααs＝0 0，又 αα1，αα2，…，ααs线性无关k0＝k1＝k2＝…＝ks＝0. 从而 A Aαα1，A Aαα2，…，A Aααs线性无关. 充分性（用秩） 因为 A Aαα1，A Aαα2，…，A Aααs＝A A(αα1，αα2，…，ααs)，所以 r(A Aαα1，A Aαα2，…，A Aααs)＝r(A A(αα1，αα2，…，ααs))≤r(αα1，αα2，…，ααs) 由 A Aαα1，A Aαα2，…，A Aααs线性无关知 r(A Aαα1，A Aαα2，…，A Aααs)＝s. 而 r(αα1，αα2，…，ααs)≤s，从而 r(αα1，αα2，…，ααs)＝s αα1，αα2，…，ααs线性无关. 【例题 4 4】设 A A＝[αα1，αα2，αα3，αα4]，AxAx＝ββ 的通解是[1，－2，1，－1]T＋k[1，3，2，0]T，B B＝[αα3，αα2，αα1，ββ＋αα4]，γγ＝αα1－3αα2＋5αα3， (I) αα1能否由 αα2，αα3线性表出？ (II) αα4能否由 αα1，αα2，αα3线性表出？ (III) BxBx＝γγ 求的通解. 【【分析】】由非齐次方程组解的结构知道对应的齐次方程组的解的结构.并且由于系数矩阵没有明确给出， 所以要从解的结构抽象地求解方程组.用观察法得到基础解系，注意基础解系是线性无关的. 【【证】】(I) AxAx＝ββ 解的结构知 r(A A)＝3. 由 A A0231＝0 0 αα1＋3αα2＋2αα3＝0 0αα1能由 αα2，αα3线性表出. (II) 设 x1αα1＋x2αα2＋x3αα3 ＝αα4 由(I)知 r(αα1，αα2，αα3)＜3，而 r(αα1，αα2，αα3，αα4)＝4，知方程组无解，故 αα4不能由 αα1，αα2，αα3线性表出. (III)由 A A1121＝ββαα1 －2αα2 ＋αα3－αα4＝ββ， 那么 B B＝[αα3，αα2，αα1，ββ＋αα4]＝[αα3，αα2，αα1，αα1－2αα2＋αα3－αα4] r(B B)＝4. 【评注】 本题考查向量小组的线性相关的证明和线性表出的证明.考查了方程组基础解系的 概念： 设有向量小组η1，η2，…，ηt满足： (1) Aηi ＝ 0 0（i =1，…，t） ，即ηi 是 Ax ＝ 0 0 的解. (2) Ax ＝ 0 0 的任意一个解都可以由η1，η2，…，ηt表出. (3) η1，η2，…，ηt线性无关. 那么称η1，η2，…，ηt为 Ax ＝ 0 0 的基础解系. 也就是说若η1，η2，…，ηt 是 Ax ＝ 0 0 的基础解系，那么η1，η2，…，ηt必满足上 述 3 条。

- 3 - / 11 从而 n－r(B B)＝2. 因为[αα3，αα2，αα1，αα1 －2αα2＋αα3－αα4] 0135＝αα1－3αα2＋5αα3 所以[5，－3，1，0]T是 BxBx＝γγ 的一个解. 由(I)知 αα1＋3αα2＋2αα3＝0 0，从而[αα3，αα2，αα1，αα1－2αα2 ＋αα3－αα4]0132＝0 0，用观察法，取另一个向量使得它与[2，3，1，0]T线性无关，即 [αα3，αα2，αα1，αα1－2αα2＋αα3－αα4]1121＝0 0，所以 BxBx＝γγ 的通解是 [5，－3，1，0]T ＋k 1[2，3，1，0]T ＋k 2[－1，－2，1，－1]T，其中 k 1，k2为任意常数. 【例题 5 5】A A ＝ [αα1，αα2，αα3]，αα1≠0 0 满足 ABAB＝0 0.其中 B B＝ k63642321，求 αα1，αα2，αα3的一个极大线性无关组,并用它表出其他向量. 【【分析】】从 ABAB＝0 0 要得想到两方面的信息：(I) r(A A)＋r(B B)≤n (II) B B 的列向量均是 AxAx＝0 0 的解. 【【解】】由 ABAB＝0 0r(A A)＋r(B B)≤3. 因为 A A≠0 0，B B≠0 0 知 1≤r(A A)≤2，1≤r(A A)≤2 当 k ≠9 时，r(B B)＝2，从而 r(A A)＝1，此时极大无关组为 αα1.由 ABAB＝0 0 得   0640642032321321321k(k－9)αα3＝0 0 又 k≠9，故 αα3＝0 0，αα3＝0αα1. 当 k＝9 时，r(B B)＝1，从而 r(A A)＝1 或 2. 若 r(A A)＝1，则极大无关组为 αα1， 由 αα1＋2αα2＋3αα3－αα4＝0 01312t2131，t 若 r(A A)＝2，则极大无关组为 αα1，αα2（αα1，αα2必定线性无关，否则 r(A A)＝1） 【评注】 本题考查了方程组解的结构以及在方程组矩阵未具体给出的时候如何求解方程组的 通解.根据题目信息求出系数矩阵的秩后， 会用方程组解的理论拼出解得基本形式， 要会 用观察法得到特解，和线性无关的解向量. 例如本题在选取齐次方程组基础解系时，先由已知条件得到一个解向量[2，3，1， 0] T，然后只要另一个解向量的形式为[□，□，1，－1] T，那么这两个向量必定线性无 关，从而可以作为基础解系. - 4 - / 11 21331 31 【例题 6 6】设 A A＝ aa41210321，r(A A)＝2，则 A A* x x＝0 0 的通解是______. 【【分析】】若 A A 为 n 阶方阵，则   11 01*nArnArnArn Ar ）＜（）（）（，，， ）（，从而由 r(A A)＝2 知 r(A A*)＝1，又|A A|＝0，得 A A* A A＝A A A A*＝|A A|E E＝0 A A 的列向量是 A A* x x＝0 0 解.由解的结构知应填 k 1[□，□，□]T ＋k 2[□，□，□]T的形式. 【【解】】而由 r(A A)＝2 知 r(A A*)＝1，所以通解由 n－r(B B)＝3－1＝2 个解向量构成. 又|A A|＝0，得 A A* A A＝A AA A*＝|A A|E E＝0 0A A 的列向量是 A A* x x＝0 0 解. 即 [1，0，－1]T ，[2，1，a] T ，[3，2，4－a] T. 又[2，1，a]T ＋[3，2，4－a] T＝[5，4，3] T，显然[1，0，－1] T与[5，4，3] T线性无关，故 k 1[1，0，－1]T＋k 2[5，4，3]T是 A A* x x＝0 0 的通解，其中 k1，k2为任意常数. 【例题 7 7】设 αα1， αα2， αα3是 AxAx＝b b 的解，r(A A)＝3， 若 αα1＋αα2＝[1，2。