习题一一、选择题1．如图所示,半径为R的圆环开有一小空隙而形成一圆弧,弧长为L,电荷均匀分布其上.空隙长为,则圆弧中心O点的电场强度和电势分别为 [ ]〔Ａ〕；〔Ｂ〕；〔Ｃ〕；〔Ｄ〕.答案：A 解：闭合圆环中心场强为0,则圆弧产生的场强与空隙在圆心处产生的场强之和为0.由于空隙Dl非常小,可视为点电荷,设它与圆弧电荷密度相同,则所带电荷为,产生的场强为,所以圆弧产生的场强为；又根据电势叠加原理可得.2．有两个电荷都是＋q的点电荷,相距为2a.今以左边的点电荷所在处为球心,以a为半径作一球形高斯面.在球面上取两块相等的小面积S1和S2,其位置如图所示.设通过S1和S2的电场强度通量分别为和,通过整个球面的电场强度通量为,则［］〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕.答案：D解：由高斯定理知.由于面积S1和S2相等且很小,场强可视为均匀.根据场强叠加原理,,所以.3．半径为R的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小E与距球心的距离r的关系曲线为 [ ]答案：B解：由高斯定理知均匀带电球体的场强分布为,所以选〔B〕.4．如图所示,一半径为a的"无限长"圆柱面上均匀带电,其电荷线密度为l.在它外面同轴地套一半径为b的薄金属圆筒,圆筒原先不带电,但与地连接.设地的电势为零,则在内圆柱面里面、距离轴线为r的P点的场强大小和电势分别为 [ ]〔A〕；〔B〕；〔C〕； 〔D〕.答案：C解：由高斯定理知内圆柱面里面各点E＝0,两圆柱面之间,则P点的电势为5．在边长为a的正方体中心处放置一点电荷Q,设无穷远处为电势零点,则在正方体顶角处的电势为〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕.答案：B解：正方体中心到顶角处的距离,由点电荷的电势公式得二、填空题1．真空中两平行的无限长均匀带电直线,电荷线密度分别为和,点P1和P2与两带电线共面,位置如图,取向右为坐标正方向,则P1和P2两点的场强分别为和.答案：；.解：无限长均匀带电直线,在空间某点产生的场强,方向垂直于带电直线沿径向向外〔〕.式中a为该点到带电直线的距离.由场强叠加原理,P1,P2点的场强为两直线产生的场强的矢量和.在P1点,两场强方向相同,均沿x轴正向；在P2点,两场强方向相反,所以；2．一半径为R,长为L的均匀带电圆柱面,其单位长度带有l.在带电圆柱的中垂面上有一点P,它到轴线距离为,则P点的电场强度的大小：当时,_____________；当时,_____________.答案：；.解：当时,带电体可视为无限长均匀带电圆柱面；当时,带电体可视为点电荷.3．如图,A点与B点间距离为2l,OCD是以B为中心,以l为半径的半圆路径.A、B两处各放有一点电荷,电量分别为＋q和－q.若把单位正电荷从O点沿OCD移到D点,则电场力所做的功为______________；把单位负电荷从D点沿AB延长线移到无穷远,电场力所做的功为_______________.答案：；.解：电场力做功与路径无关.〔1〕,,〔2〕4．如图所示,两同心带电球面,内球面半径为,带电荷；外球面半径为,带电荷.设无穷远处电势为零,则在两球面间另一电势为零的球面半径__________.答案：10cm解：半径为R的均匀带电球面的电势分布为.所以,当时,.令,得.5．已知某静电场的电势分布为,则场强分布_______________________________________.答案：解：电场强度与电势梯度的关系为.由此可求得三、计算题PLddqxdExO1．如图所示,真空中一长为L的均匀带电细直杆,总电荷为q,试求在直杆延长线上距杆的一端为d的P点的电场强度.答案：解：带电直杆的电荷线密度为.设坐标原点O在杆的左端,在x处取一电荷元,它在P点的场强为总场强方向沿x轴,即杆的延长线方向.2．如图所示,一半径为R的半圆环,右半部均匀带电,左半部均匀带电.问半圆环中心O点的电场强度大小为多少？方向如何？答案：,方向水平向左.解：本题运用点电荷公式对电荷连续分布的带电体在空间产生的电场进行计算.如图所示,取电荷元,则电荷元在中心O点产生的场强为由对称性可知.所以方向沿方向,即水平向左.3．图示为一个均匀带电的球层,其电荷体密度为r,球层内表面半径为R1,外表面半径为R2.设无穷远处为电势零点,求该带电系统的场强分布和空腔内任一点的电势.答案：〔1〕,,；〔2〕.解：〔1〕根据电场分布的球对称性,可以选以O为球心、半径为r的球面作高斯面,根据高斯定理即可求出：.在空腔内〔〕：,所以在带电球层内〔〕：,在带电球层外〔〕：,〔2〕空腔内任一点的电势为还可用电势叠加法求空腔内任一点的电势.在球层内取半径为的薄球层,其电量为在球心处产生的电势为整个带电球层在球心处产生的电势为因为空腔内为等势区〔〕,所以空腔内任一点的电势U为4．两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面,半径分别为和.已知两者的电势差为450 V,求内球面上所带的电荷.答案：解：设内球上所带电荷为Q,则两球间的电场强度的大小为<>两球的电势差所以5．一平面圆环,内外半径分别为R1,R2,均匀带电且电荷面密度为.〔1〕求圆环轴线上离环心O为x处的P点的电势；〔2〕再应用场强和电势梯度的关系求P点的场强；〔3〕若令,则P点的场强又为多少？答案：〔1〕；〔2〕；〔3〕当,.解：〔1〕把圆环分成许多小圆环.对半径为y,宽为dy的小圆环,其电量为,该带电小圆环在P点产生的电势为整个园环上的电荷在P点产生的电势〔2〕,方向沿x正向；〔3〕当,习题二一、选择题1．如图所示,一均匀带电球体,总电量为+Q,其外部同心地罩一内、外半径分别为和的金属球壳.设无穷远处为电势零点,则球壳内半径为r的P点处的场强和电势为［］〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕.答案：D解：由静电平衡条件得金属壳内；外球壳内、外表面分别带电为和,根据电势叠加原理得2．半径为R的金属球与地连接,在与球心O相距处有一电量为q的点电荷,如图所示.设地的电势为零,则球上的感应电荷为［］〔A〕0；〔B〕；〔C〕；〔D〕.答案：C解：导体球接地,球心处电势为零,即〔球面上所有感应电荷到球心的距离相等,均为R〕,由此解得.3．如图,在一带电量为Q的导体球外,同心地包有一各向同性均匀电介质球壳,其相对电容率为,壳外是真空,则在壳外P点处<>的场强和电位移的大小分别为［］〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕.答案：C解：由高斯定理得电位移,而.4．一大平行板电容器水平放置,两极板间的一半空间充有各向同性均匀电介质,另一半为空气,如图所示.当两极板带上恒定的等量异号电荷时,有一个质量为m、带电量为+q的质点,在极板间的空气区域中处于平衡.此后,若把电介质抽去,则该质点［］〔A〕保持不动；〔B〕向上运动；〔C〕向下运动；〔D〕是否运动不能确定.答案：B解：由知,把电介质抽去则电容C减少.因极板上电荷Q恒定,由知电压U增大,场强增大,质点受到的电场力增大,且方向向上,故质点向上运动.5．和两空气电容器并联以后接电源充电,在电源保持联接的情况下,在中插入一电介质板,如图所示, 则［］〔A〕极板上电荷增加,极板上电荷减少；〔B〕极板上电荷减少,极板上电荷增加；〔C〕极板上电荷增加,极板上电荷不变；〔D〕极板上电荷减少,极板上电荷不变.答案：C解：在中插入电介质板,则电容增大,而电压保持不变,由知极板上电荷增加,极板上电荷不变.二、填空题1．一空心导体球壳带电q,当在球壳内偏离球心某处再放一电量为q的点电荷时,则导体球壳内表面上所带的电量为；电荷均匀分布〔填"是"或"不是"〕；外表面上的电量为；电荷均匀分布〔填"是"或"不是"〕.答案：；不是；；是.解：由高斯定理与导体静电平衡条件,导体球壳内表面带有非均匀分布的电量；由电荷守恒定律,球壳外表面带电量为,且根据静电屏蔽原理知,外表面电荷均匀分布.2．如图所示,两块很大的导体平板平行放置,面积都是S,有一定厚度,带电荷分别为Q1和Q2.如不计边缘效应,则A、B、C、D四个表面上的电荷面密度分别为______________ ；______________；_____________；___________.答案：；；；.解：作高斯面,用高斯定理可得〔或参考教材例题〕,,.依题意得,,,四式联立求解出上面结果.3．一空气平行板电容器,电容为C,两极板间距离为d.充电后,两极板间相互作用力为F,则两极板间的电势差为______________,极板上的电量为______________.答案：；.解：,,故,,.4．一电容为C的空气平行板电容器,接上电源充电至端电压为V后与电源断开.若把电容器的两个极板的间距增大至原来的3倍,则外力所做的功为.答案：解：因,所以当,则.电容器充电后与电源断开,极板上的电荷不变,由知,.外力所做的功为5．两个电容器的电容关系为,若将它们串联后接入电路,则电容器1储存的电场能量是电容器2储能的倍；若将它们并联后接入电路,则电容器1储存的电场能量是电容器2储能的倍.答案：；2.解：串联电容器的电量相等,所以；并联电容器的电压相等,所以.三、计算题1．半径为的导体球,带有电荷,球外有一个内外半径分别为和的同心导体球壳,壳上带有电荷,试计算：〔1〕两球的电势和；〔2〕用导线把球和球壳接在一起后,和分别是多少？〔3〕若外球接地,和为多少？〔4〕若内球接地,和为多少？答案：〔1〕330V,270V；〔2〕270V,270V；〔3〕60V, 0V；〔4〕 0V,180V.解：本题可用电势叠加法求解,即根据均匀带电球面内任一点电势等于球面上电势,均匀带电球面外任一点电势等于将电荷集中于球心的点电荷在该点产生的电势.首先求出导体球表面和同心导体球壳内外表面的电荷分布.然后根据电荷分布和上述结论由电势叠加原理求得两球的电势.若两球用导线连接,则电荷将全部分布于外球壳的外表面,再求得其电势.（1） 据题意,静电平衡时导体球带电,则导体球壳内表面带电为；导体球壳外表面带电为,所以,导体球电势U1和导体球壳电势U2分别为〔2〕两球用导线相连后,导体球表面和同心导体球壳内表面的电荷中和,电荷全部分布于球壳外表面,两球成等势体,其电势为〔3〕若外球接地,则球壳外表面的电荷消失,且〔4〕若内球接地,设其表面电荷为,而球壳内表面将出现,球壳外表面的电荷为．这些电荷在球心处产生的电势应等于零,即解得,则2．两个同心的薄金属球壳,内、外半径分别为和.球壳之间充满两层均匀电介质,其相对电容率分别为和,两层电介质的分界面半径为.设内球壳带有电荷,求电位移、场强分布和两球壳之间的电势差.答案：〔1〕；〔2〕；〔3〕.解：由高斯定理与得：当时,当时,当时,当时,两球壳之间的电势差为3．在极板间距为d的空气平行板电容器中,平行于极板插入一块厚度为、面积与极板相同的金属板后,其电容为原来电容的多少倍？如果平行插入的是相对电容率为的与金属板厚度、面积均相同的介质板则又如何？答案：〔1〕2倍；〔2〕倍.解：〔1〕平行插入厚的金属板,相当于原来电容器极板间距由d减小为,则〔2〕插入同样厚度的介质板,则相当于一个极板间距为的空气平行板电容器与另一个极板间距为、充满电容率为的电介质的电容器的串联,则,解得4．一半径为R的球体,均匀带电,总电荷量为Q,求其静电。