微积分莫兴德 广西大学 数信学院Email:moxingde@微 积 分微积分链接目录第一章 函数第二章 极限与连续第三章 导数与微分第四章 中值定理,导数的应用第五章 不定积分第六章 定积分第七章 无穷级数(不要求)第八章 多元函数第九章 微分方程复习微积分 第二章 极限与连续• 数列极限 • 函数极限 • 变量极限 • 无穷大与无穷小 • 极限的运算法则 • 两个重要的极限 • 函数的连续性微积分“割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣”1、割圆术：播放——刘徽2.0 概念的引入微积分正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积微积分2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”微积分2.1 数列极限微积分2.1 数列的极限例如1. 数列微积分注意 ：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取2.数列是整标函数微积分播放2 数列的极限微积分问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定?问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语 言刻划它.通过上面演示实验的观察:微积分微积分如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意 ：微积分几何解释:其中微积分数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意 ：微积分例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 寻找N,但不必要求最小的N.微积分例3证微积分例4证微积分 3、数列极限的性质(1) 有界性例如,有界无界微积分定理1 收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论 无界数列必定发散.微积分(2) 唯一性定理2 每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.微积分例5证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.微积分(3) 子数列的收敛性注意：例如，微积分定理3 收敛数列的任一子数列也收敛．且极限 相同．证证毕 ．微积分 4 小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质:有界性、唯一性、子数列的收敛性.微积分5 思考题思考题证明要使只要使从而由得取当 时，必有 成立微积分思考题解答~ ~（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用“适当放大” 的值微积分从而 时，仅有 成立，但不是 的充分条件．反而缩小为微积分练 习 题微积分2.2 函数极限微积分播放1. 自变量趋向无穷大时函数的极限微积分通过上面演示实验的观察:问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.微积分1、定义：微积分2、另两种情形:微积分3、几何解释:微积分例1证微积分 2.自变量趋向有限值时函数的极限微积分1、定义：微积分2、几何解释:注意 ：微积分例2证例3证微积分例4证函数在点x=1处没有定义.微积分例5证Ox0Ox02x0微积分3.单侧极限:例如,微积分左极限右极限微积分左右极限存在但不相等,例6证微积分3.函数极限的性质(1) 有界性(2) 唯一性微积分微积分微积分推论(3) 不等式性质定理(保序性)微积分定理(保号性)推论微积分微积分定理(保号性)微积分(4) 子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理微积分证微积分例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极 限都存在,且相等.微积分例7证微积分二者不相等,微积分4. 小结函数极限的统一定义(见下表)微积分过 程时 刻从此时刻以后 过 程时 刻从此时刻以后 微积分思考题微积分思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.微积分一、填空题:练 习 题微积分微积分练习题答案微积分“割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣”1、割圆术：——刘徽2.0 概念的引入微积分“割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣”1、割圆术：——刘徽2.0 概念的引入微积分“割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣”1、割圆术：——刘徽2.0 概念的引入微积分“割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣”1、割圆术：——刘徽2.0 概念的引入微积分“割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣”1、割圆术：——刘徽2.0 概念的引入微积分“割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣”1、割圆术：——刘徽2.0 概念的引入微积分“割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣”1、割圆术：——刘徽2.0 概念的引入微积分“割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣”1、割圆术：——刘徽2.0 概念的引入微积分“割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣”1、割圆术：——刘徽2.0 概念的引入微积分2 数列的极限微积分2 数列的极限微积分2 数列的极限微积分2 数列的极限微积分2 数列的极限微积分2 数列的极限微积分2 数列的极限微积分2 数列的极限微积分2 数列的极限微积分2 数列的极限微积分2 数列的极限微积分2 数列的极限微积分2 数列的极限微积分 1. 自变量趋向无穷大时函数的极限微积分 1. 自变量趋向无穷大时函数的极限微积分 1. 自变量趋向无穷大时函数的极限微积分 1. 自变量趋向无穷大时函数的极限微积分 1. 自变量趋向无穷大时函数的极限微积分 1. 自变量趋向无穷大时函数的极限微积分 1. 自变量趋向无穷大时函数的极限微积分 1. 自变量趋向无穷大时函数的极限微积分 1. 自变量趋向无穷大时函数的极限。