两个重要极限的应用探讨学生：牛玺娟 指导教师：郭媛摘要微积分中的两个重要极限是:①= ②limf 1 + -"I 这"TO X X)两个重要极限是微积分学的基础.本文阐述了两个重要极限的思想意 义，讨论了关于两个重要极限的变形极限的判断方法及应用，在分析 重要极限lim(l +丄］"=e的6个基本特征的基础丄，给出了 4个推广命 fl 丿题，指出了应用圍1 +丄丫之对T型极限的快捷计算方法，并给出了 n 丿该重要极限公式与实际应用的结合•关键词：两个重要极限;推广;应用AbstractTwo important limits are the basis of calculus. This paper discussed the essential meaning of two important limits and proved them using different method. Finally, the paper shows the application of two important limits in limits calculation and elaborated the relation between two important limits and Hospitafs Rule.Key words： Two important limits; calculus; application;第1章绪论极限概念是由于某些实际问题的精确解答而产生的•两个重要极限的证明 必须以极限存在准则为基础，所以有必要首先介绍函数极限存在的两个准则。
准则1 (夹逼准则)：如果(1) 当兀WU (兀0，r)或(I 兀 I >M)时,g(x)- J(无)-h(x)(2) lim g(x)= A,lim /i(x)= A 或limg(x)= A,limft(x)= AXTXq X->Xo XT8 XT8那么lim /*(工)或lim/(x)存在,且等于A.XTX X—8准则2：单调有界数列必有极限1.3两个重要极限的形式通过极限存在准则的应用，得到两个重要极限第一个重要极限的形式为：.・ sinx .lim = 1L 兀 (1.1)第二个重要极限的形式为：lim(l+—) =eL8 X (1.2)第一个重要极限的数值意义实际上就是函数)匸sin无在x=0处的导数，或者 是正弦曲线在原点处的斜率.根据单调有界数列必有极限可知，第二个重要极限 的极限存在，《高等数学》教材上通常用字母幺表示它，其实这个极限值就是无 理数—这个极限形式很特殊，尤其是这个极限值怎么会和幺联系丄了实际上， 可以通过第二个重要极限的来历来说明它们Z间的联系谈起第二个重要极限的来历，要从复利率说起假设凡为本金，年利率为 r,那么第一年末的利息为P()门本利的和就是Po+ Pon用Pi表示，即P1=P0+ Por 作为第二年的本金，到第二年末，就有本利总和P2= Po(l+r)\这样—•年一•年继 续下去，本金年年增加，利息也逐渐增多，到了第n年末，就有代話(1 +厂)"(3.1)和前边的方法一样，计算出如果每月把利息加入到本金一次，第一•年年末的 本利的和是話(1 +亍(3.2)如果存款本金为100元，年利率为0.05,则用3」式求得第一年末木金加利息为105元，若按3.2式计算，则第一年末木金加利息为105.12元。
看来把利息 加入到本金一次的时间越短,利息越多那么，当这个时间“无穷短”的时候, 利息会无限增多吗？假设在这一年小，利息是每一•瞬间(每一年有n个瞬间)加 入到本金一次，上式中的12就变成n,就得到片話(1 + =)"川 (3.3)为了便于计算，假设r/n=l//n,就得到n=mr,这样3.3式就变为下式7>=/>(i+-r=/>[(i+-rrn m(3.4)lim(l+—)M这就归结到一个问题，就是求“L8 m 的值，即第二个重要极限其 值为e,所以3.4式变为^=^e，,这时n年末就有吒二人严，连续化以后，就得到P(兀)=P.exr(3.5)求3.5式的导数，得到P (x) =rP (x),即导数和原函数成正比，凡是满 足这个性质的，都叫复利率例如植物的生长一它新生的部分都立即和母体一•样 再生长这就是大自然的复利率，自然现象是不间断的、连续的，都属于此类问 题可以通过尸『在*0的泰勒展开式，來近似计算这个极限值，首先计算尸『 的导数得)，,进而可W(eA)(n)=eAoH 当牛1吋,可以得到n(n-l)・ ・2・1当n无限增大，得到e的值,即e=2.718281828……于是,就得到了第二个 重要极限的值。
如古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积吋所用的割 圆术，就是极限思想在几何学上的应用在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数, 那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限函数的极限与自变量的 变化过程密切相关，其自变量兀的变化过程主要有两种，一-种为任意地接近于某 个有限值刘，另一种是丨x I趋于无穷大如果在的过程中，对应的函数值f (x)无限接近于确定的数值A,那 么就说A是函数f(X)7^ 吋的极限，记作：lim f(x) = ALX 如果在x-R的过程中，对应的函数值/(A-)无限接近于确定的数值A,那 么就说A是函数/(X)当A—-时的极限，记作:lim /(x) = A函数的极限具有唯一•性、局部有界性以及局部保号性1.2极限存在准则第2章 两个重要极限在微分学中的重要性微分学的基本概念——导数是建立在极限概念基础上的即求一个函数fM 在点兀处的导数r U),就是计算极限|im/(x + ^)-/(x) (2.d当这一极限存在吋，其值就是厂(兀)但这仅仅是停留在导数定义上的，如 果求函数的导数都要计算极限2.1的话，显然是非常复杂和繁琐的，势必限制导 数的广泛应用。
事实上，在求函数的导数吋，并不都需要计算极限2.1,而只需 根据基本初等函数的求导公式及求导法则就可以很方便地求得任何一个初等函 数的导数下而来看一看基本求导公式是如何得来的2」重要极限在三角函数求导过程中的作用以正弦函数sin兀的求导公式的推导为例.由导数的定义(sinx)= limAv-*Osin(A： +Ax)-sin(x)Zr小 z Ax、 • Ax2cos(x H ) 一 sin ——lim .AxAx sin —=lim cos(xH )— = cosx-1 =cosx山一0 2 Ax• Ax sin 一 ・ A其中应用了第一个重要极限lim巴匕=1,即lim—= = l (令t = —)olO x Ax—0 ff() t 2T求得(sin^^cosx后，其余的三角函数和反三角函数的导数公式就可以利 用多个求导法则得到了2.2重要极限在指数函数和幕函数求导过程中的作用其次，再看看对数函数log(Jx的求导公式的推导过程由导数定义(logfl x)= lim 1缶(x +山)= lim log“(1 + —)^ = lim logfl[(l + 二)山]xIx\naAx—0 A r % Av-*0v I - Z1 Ax — 1 -Imi - log“(1 + —)山=-log。
e = △lO X X X其中应用了第二个重要极限lim（l + -）A =e ,即lim log“（l +主）山=lim（l +丄）"=eX AlO 兀 11(令xlAa* = u )o求得了 (log’M)以后，指数函数和幕函数的求导公式就容易得出了可见，两个重要极限在导岀基本初等函数的求导公式的过程中，特别是涉及 三角函数的过程中起到了关键性的作用，没有这两个重要极限，两类函数的求导 公式就不可能得出，两个重要极限在初等函数求导过程中起到了重要的纽带作 用因为推到正弦函数和指数函数的导数公式的过程中要用到这两个极限，而所 有的初等函数都可以从这两类函数以及它们的反函数出发，经过有限的四则运算 复合得到因此，从这两类函数的导数出发，利用函数的四则运算、复合和反函 数求导法则，就能求得全部初等函数的导数再由于积分是微分的逆运算，可以 得到基本积分表，依靠他们能算出大量初等函数的积分可以说，两个重要极限 可以说是全部微分积分学的基础第4章关于两个重要极限的变形极限的判断方法•在实际运用中微积分中的两个重要极限是:①lim沁 =1；xtO X常遇到的是形如］im^ 及lim(l+A )〃的极限•经过前人长期的教学实践，总 xTa B xTa结出了以下规律，姑且称作两要原则.4.1第一个重要极限的变形极限的判断方法 lim巴二可化为第一重要极限的两要素 1.第一要素：lim/l = O如果这个条件不满足，它一定不可化为第一•重要极限，需A—要用别的方法解决•如hm止:该极限由于a元不是兀too吋的无穷小量，所以 XT8 X它不能化为第一重要极限.2.第二要素:B元与A元是同阶无穷小量・・(xtq时)A 定义:设limA = OJimB = 0(而B H 0), lim — = C为A与B的相近似数.xTa xto 兀to B下而讨论C的情况：⑴若C=oo,即B=o(A),则lim^M = limd = oo,即B与A是高阶无穷小量吋 X—b a—b..sin Alim = 8.—a B⑵ 若C=0,即A=o(B),则lim曲△ = = 即A与B是高阶无穷小量时f B XT。
B「 sin A 八lim =0.xw B(3) 若Ch(),即C・B〜A贝ijlim竺△二恤皿~・(7二C,即A与B同阶时，lim皿可以化为第一重要极限.XTG B 2Q C • B TO B方法是:B元乘以相似系数，即lim皿就是第一重要极限，“To C • B结论:满足两要素的极限lim里必可以化为第一•重要极限,方法是B元乘以相近系XT" B数.例l,lim沁XTO X解:TA元与5x是x->0时的无穷小量・••满足第-•要素X v C= li m — =5 0“TO %•・•满足第二要素・•・所以该极限可以化为第一蓮要极限，即原式= -5 = 5XT() X XT() 5 • X例 2, lim 4x sin(7x + 1 - Vx )A->+解:vlimAlim (7x4-1 - Vx) = limX—>-H XT+8Jx + 1 + \[x=0二满足第一要素又••・c= lim = lim 丄 L =1^0xtz 1 x^+o Vx+1 +VX 2・••满足第二要索・••该极限可以化为第一重要极限，即原式二lim-V—>-HJxsin(Jjc + l -長)1i e 2 _例 3,求证 lim Sin(^ V-2) 入 t4 X-4解：・・TimA = lim(VI — 2) = 0a->4 xt4・・・满足第一要素 又TC=lim—一- = lim——= — ^ 0xt4 X-4 心4 2 + 厶 4・・•满足第二要素・・•该极限可以化为第一•重要极限原式Tim血(「2) •丄」・it4 1 4 44.2第二个重要极限的变形极限的判断方法 lim(l+A)^可化为第二重要。