定比分点向量式de变式及其应用李继 已知有向线段，如果点P使得，并设O为平面上任意一点，则图1 此式称为有向线段的定比分点P的向量表达式，若令，此式变形为，对于平面上四点，若满足，则具有如下重要结论： 点是平面上不共线的四点，若存在实数，使，则三点共线的充要条件是 证明：（充分性）由，得 所以 即 所以 故点三点共线 （必要性）由于以上证明步步可逆，故必要性可证 例1. 如图2，直线PQ过△ABO的重心G，已知，求的值图2 解：因为G是△AOB的重心，所以 因为点P、Q、G三点共线， 所以由重要结论知 即 例2. 如图3，E是平行四边形ABCD的对角线BD的内分点，且E内分BD的比为2：3，点F内分AB的比为1：2，求证：点C、E、F三点共线图3 证明：因为E内分BD的比为2：3，可得 因为，所以 由重要结论可知点C、E、F三点共线 例3. （梅涅劳斯定理）如图4，设直线PR分别交△ABC的三边AB、BC、CA（或延长线）于R、P、Q，求证：图4 证明：设 由题意可得： 因为P、Q、R三点共线，所以 由重要结论可知 将上式化简得：，得证 从以上几例可看出线段的定比分点公比变式在解题中的应用，同时说明平面向量具有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现了“数”与“形”结合，因此用平面向量解决几何问题显得特别简捷。
