P2.3 解答2.3 如图所示，刚性梁AB受到弹簧BC的激励C点的运动方程为z(t)试用B点的位移u为变量来推导系统的运动方程假设为小运动，采用牛顿定律来求解解：1. 画自由体受力图2. 列力矩平衡方程根据受力分析，可知：3. 力与位移关系弹簧力； 阻尼力； 弹簧力惯性力矩4. 将力与位移关系代入到力矩平衡方程，并化简：P2.13 解答2.13 一根均匀的杆的质量密度为，其杆端有一集中质量M应用假定振型法（）推导如下系统的轴向自由振动的运动方程解：1. 形函数及几何边界条件2. 建立虚功方程因为没有外力，所以对于惯性力而言，其虚功包括杆本身的虚功和杆端集中质量的虚功3. 化简因为为虚位移，即，所以运动方程为P3.7 解答3.7 一台机器的质量为70kg，安装在弹簧上，弹簧的总刚度为15kN/m，总阻尼为1.2kN.s/m试求如下初始条件的运动u(t)解：1. 运动方程及其相关参数由图可知，其运动方程为其中，，所以2. 系统的自由振动解3. 不同初始条件下的自由运动（a）（b）P4.8 解答4.8 转动机械中的不平衡是很普遍的激励源下图正是这样一个例子M－m）是机械的质量，m是转动不平衡块的质量，其转动圆频率为。
a. 推导机械垂向运动方程；b. 推导系统稳态响应表达式并绘制频响曲线解：1. 向心力及其垂向分量向心力的大小，垂向分量为2. 系统的运动方程化简后可得：3. 系统的稳态响应现在考虑其频率响应幅值定义静位移为，因此，P5.1 解答5.1 用一个非常简单的模型来研究着陆的一架轻型飞机的冲击如图所示，以一个线性弹簧的集中质量表示着陆的装置当弹簧触到地面时，质量m具有一垂直下降速度V接触时t=0，并令u(0)＝0a)确定弹簧保持在接触地面时间内，质量的垂向位置u（t）的表达式；(b)确定弹簧回弹脱离地面接触的时间解：1. 受力分析根据初始条件：，及上图可知，物体的受力图如右所示2. 运动微分方程所以，根据受力图，其运动微分方程为： 3. 垂向位置的解根据初始条件，可得所以，4. 弹簧回弹脱离地面的时间当弹簧再次脱离地面时，其运动状态为：因此，可以任意选取一个运动量来求解脱离时间这里，我们取速度量，则有P9.2 解答9.2 一均匀薄刚杆BC的质量m，长度L附在一均匀弹性梁AB上，设侧向位移很小应用恰当的自由体图，确定A与B点的边界条件解：1. A点的边界条件为固支，即2. B点的边界条件刚体的受力图如上所示。
对于端部剪力边界条件，（注：为刚杆BC的质心加速度）对于端部弯距边界条件，其中P10.4 解答解：1． 特征方程现拟采用如下通解形式两端边界条件为自由端，所以将边界条件代入通解表达式，可得如果上面方程有非零解，则其系数行列式为零化简后得特征方程：由此可见，本系统有零固有频率，而其非零频的特征方程为：2. 现确定零频率的个数当时，根据自由运动微分方程（10.12），可得：因此，我们可以假定解的形式为考虑边界条件，可知因此，零频率的振型为考察得到的振型函数可知，只可能存在2个相互正交的组合相对应的，存在两个零频率3. 求零频率的刚体模态（利用正交性）设，，则有：由于L具有任意性，所以因此可以设因此，上式变为：所以，两个刚体模态为：，可进一步，采用正规化方法，求解、通过计算得到：，所以，正规化的刚体模态为，4. 非零频率对于非零频的特征方程，只能采用数值的方法求解结果是：，5. 振型通过线性方程组，4个方程中的三个，我们可以得到弯曲模态的振型表达式（）P11.26 解答11.26 运用假定振型法求解悬臂梁的2－DOF模型其中，自由端的变形和转角被定义为模型的广义坐标相应的振型函数如下图所示解：（a）推导基于如下一般多项式的形函数和。
b）推导此2－DOF模型的运动微分方程解：（a）由图可知，对于而言，有：所以，对于而言，有：所以，（b）1．首先求形函数的二阶导数2．推导刚度和质量矩阵系数和同样的，对于有：3．装配运动微分方程（因为没有外力，所以广义力为零）P12.8 解答P12.8一均匀悬臂梁采用如下假定振型简化为一2-DOF模型：（a）推导该2-DOF模型的运动微分方程；（b）计算固有频率并和精确解（例10.3）以及基频近似值（10.4）比较解：（a）参考第11章例11.10的步骤建立运动微分方程因此，装配系统的运动方程（注意，这里没有外力，所以广义力为零b）参考第12章例12.3的步骤解方程，得到固有频率假设简谐运动为代入运动方程，得其中，从系数的行列式得特征方程即求解特征方程的根利用得到 和精确解对比（例10.3）假定振型法的频率大于精确解的频率，并且所计算出基频的精度远大于第二频率与例10.4瑞利法基频比较（例10.4 利用瑞利法计算均匀悬臂梁的近似基频假定形函数为）假定振型法的基频小于瑞利法的基频，精度高于瑞利法－15－。