精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -双曲线常见题型与典型方法归纳 〔修改版 附详解答案 〕双曲线常见题型与典型方法归纳考点一 双曲线标准方程及性质1. 双曲线的定义第肯定义：平面内与两个定点F1 , F 2 距离的差的肯定值等于2a〔2 a| F1 F2|〕 的点的轨迹；（ 1）距离之差的肯定值 .（ 2）当 |MF 1|－ |MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点 F 2 所对应的一支； 当|MF 1|－ |MF 2|=－ 2a 时，曲线仅表示焦点 F1 所对应的一支；当 2a=|F 1F2|时，轨迹是同始终线上以 F 1、F 2 为端点向外的两条射线；当 2a＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在 .【典例】 到两定点 F13,0、 F23,0的距离之差的肯定值等于 6 的点 M 的轨迹（ ）A ．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．两条射线其次定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数〔e 1〕的动点的轨迹；2 双曲线的标准方程及几何性质x 2 y 2y2 x 2标准方程a 2 b 21〔a0, b 0〕a 2 b 21〔a0,b 0〕图形焦点 F1（ -c,0〕 ， F2（c,0〕F1（ 0,c〕 ， F2（ o,c〕焦距 | F 1F2|=2ca 2 b 2 c 2范畴 | x |性a, y R| y |a, x R对称 关于 x 轴， y 轴和原点对称顶点 （ -a ， 0）；（ a， 0） （ 0， -a ）（ 0， a）轴 实轴长 2a，虚轴长 2bc离心率质准线通径ea 2xc2b2da〔e 1〕a（离心率越大，开口越大）yda 2c2b2 a渐近线y b xay a xb1精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -双曲线常见题型与典型方法归纳 〔修改版 附详解答案 〕P 在左支| PF1 | a ex0P 在下支| PF1 |a ey0焦半径| PF 2 | aex0| PF2 | aey0P 在右支| PF1 | aex0P 在上支| PF1 | aey0留意： 等轴双曲线| PF 2 |a ex0| PF2 |a ey0（ 1）定义：实轴长与虚轴长相等的双曲线 （ 2）方程： x2 y2a 2 或 y2 x2 a 2（ 3）离心率 e 2 渐近线 y x（ 4）方法：如已知等轴双曲线经过肯定点，就方程可设为x2 y2 〔 0〕【典例】 已知等轴双曲线经过点 〔 5, 1〕 ，求此双曲线方程3 双曲线中常用结论2（ 1）两准线间的距离 : 2ac2（ 2）焦点到渐近线的距离为 b （ 3）通径的长是 2ba考点二 双曲线标准方程一 求双曲线标准方程的方法（ 1）定义法，依据题目的条件，如满意定义，求出相应 a、b、c 即可求得方程；（ 2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：依据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：依据题目条件确定相关的系数；注： 如双曲线过两点，可设双曲线方程为：mx2ny 2 1〔mn0〕 ；如 已知双曲线过点A〔 2, 3 5 〕 与 B〔 4 72 3, 4〕 ，求双曲线的标准方程方法一 ： 运用定义【典例 1】 已知动圆 M与圆C1 : 〔x4〕2 y22 外切，与圆C2 : 〔x4〕 22y 2 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程；【典例 2】已知F1 （ -4， 0）， F2 （ 4， 0），动点 P 分别满意以下条件，求点 P 的轨迹方程：（ 1）|| PF1 | | PF2|| 2 ，（ 2）| PF1 | | PF2 | 2【典例 3】动点 M 到定点 F（ 4， 0）的距离和直线 x9 4的距离的比为，就 M 的轨迹方程4 32精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -双曲线常见题型与典型方法归纳 〔修改版 附详解答案 〕【典例 4】已知 ABC 中， C（ -2， 0）， B（ 2， 0）， sin Bsin C1 sin2A ，求顶点 A 的轨迹方程 .练习 1 已知双曲线的实轴长为 8，直线 MN 过焦点F1 交双曲线的同一分支与 M，N 且 MN7 , 就MNF 2 的周长（F2 为另一个焦点）为 （ ） A. 28 B. 30 C. 24 D. 202． 双曲线x 2m2 12y24 m21 的焦距是（ ） A ． 4 B． 2 2C． 8 D ．与 m 有关方法二 ： 运用待定系数法步骤 ①定位 ②设方程 ③定值【典例 1】求以下双曲线的标准方程；（ 1）焦点是F1 〔 3，0〕 ，渐近线的方程是 5 x 2 y0 （2）渐进线是 y x ，经过点（ 3， 2）（ 2）实轴长为 4，虚轴长为 2 （ 3）准线方程为 x=4 ，离心率为 2（ 4） 焦点为（ 4， 0），（ -4，0），经过 〔2,0〕（ 5）双曲线焦点在 x 轴上，渐近线方程为y 2 x ，焦距为 4，就双曲线的标准方程为 ；考点三 双曲线的几何性质题型一 几何性质简洁应用x2 y2【典例 1】双曲线1 ，求（ 0）画草图（ 1）焦点，焦距（ 2）实轴的长，虚轴的长， （ 3）离心率，4 12左右准线方程， （ 4）渐进线的方程 〔5〕 焦点到渐近线的距离（ 6）焦点到准线的距离； （7） P 在右支上，就 P到左焦点的距离的最小值是 .22练习 （1）双曲线 y x 1 ，离心率是 ，渐近线方程是 ；2 26 62 21 2 1 2〔2〕双曲线 x y 1 〔 a,b 0〕 的左右顶点为 A ， A ，虚轴 下上 端点为 B ， B ，左右焦点为a bF1 ， F2 . 如以 A1 A2为直径的圆内切于菱形F1 B1 F2 B2 ，切点分别为A, B, C , D （从第一象限按逆时针次序）就（Ⅰ）双曲线的离心率 e ；（Ⅱ）菱形F1 B1F2 B2 的面积S1 与矩形 ABCD 的面积S1S2 的比值 .S2题型二 求与离心率及渐近线有关问题22【典例 1】离心率2（ 1）双曲线 x2y 1的准线经过椭圆 x 2 4y 1 （ b＞ 0）的焦点，就 b=（） A.3 B. 5 C. 3 D. 22b23精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -双曲线常见题型与典型方法归纳 〔修改版 附详解答案 〕x2 y2（ 2）设F1 和F2 为双曲线a 2 b2 1 〔 a 0, b 0 〕的两个焦点 , 如 F1，F2 ，P〔0,2 b〕 是正三角形的三个顶点,就双曲线的离心率为（ ） A ． 32B． 2 C． 52D． 3x2 y2 x2 y2（ 3）已知 a>b>0， e1， e2 分别为圆锥曲线a2＋ b2＝ 1 和a2－ b2＝ 1 的离心率，就 lge1＋ lge2〔 〕A ．大于 0 且小于 1 B ．大于 1 C．小于 0 D．等于 1x2 y2练习（ 1） 已知F1、 F2 分别是双曲线2 2 1 aa b0, b0 的左、右焦点，过F1 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于 A 、B 两点，如ABF2 为锐角三角形，就双曲线的离心率的范畴是（ ）A ． 1,1 2 B． 1 2, C． 1 2,1 2 D ． 2, 2 1（ 2）在正三角形 ABC 中， DAB, EAC，向量 DE1 BC ，就以 B、C 为焦点，且过 D 、E 的双曲线25的离心率为（ ） A． B ．33 1 C．2 1 D． 3 +1x2（ 3） 如椭圆a 22y 1, 〔a b b 20〕 的离心率为3 x 2,就双曲线 22 a2y 1 的离心率为 ； b 2【典例 2】渐近线2（ 1）设双曲线 x2y 1〔a0, b0〕 的虚轴长为 2，焦距为 23 ，就双曲线的渐近线方程为 ；a 2 b2（ 2）双曲线的渐进线方程 y3 x ,就双曲线的离心率为 ；4x 2 2（ 3）焦点为0,6，且与双曲线 y 21有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）2 2A ． x y 12 2B ． y x 12 2C． y x 12 2D． x y 112 2412 242x y 224 1224 12（ 4） F1,F2 是双曲线 C：2 2 1（ a,b＞ 0）的左、右焦点， B 是虚轴的上端点，直线 F1B 与 C 的两条渐a b近线分别交于 P,Q 两点，线段 。