§3 Romberg积分 /*Romberg Integration*/一、Richardson外推法二、Romberg求积方法Romberg求积方法是在积分区间逐次分半的过 程中利用外推法产生的一种数值积分方法,当被 积函数的光滑性条件满足时,可以得到较精确的 积分近似法.一、Richardson外推法外推法是一种精确度较低的近似公式组合成 精确度较高的近似公式的方法.设 h≠0是任意数, F(h) 是关于步长h逼近 F*的近 似公式,它们的误差估计式为这里,k1,k2,k3…是一组常数. 称F(h)逼近F*的误差为O(h) .我们希望找到一种简便的方法,用近似公式F(h) 的组合,得到误差阶较高的近似公式 ,使逼近F*的误差为O(h2)类似地,用 组合产生逼近F*的误差O(h3)的近似公式等把h的幂次称为误差的阶,例如O(h2) ,称为二阶误 差,等等.改写用h/2代替式中的h,得为(1)(2)2×(2)-(1)得:令(3)这里, F2(h)逼近F*的误差为O(h2)改写(3)式为(4)再用 h/2 代替 h , 使(4)式变为(5)4×(5)-(4)得:记(6)(6)式可以写为(7)这里, F3(h)逼近F*的误差为O(h3)还是用h/2代替h代入(7)式后,类似上述过程,可 以得到误差为O(h3)的F3(h)一般地,对k=2,3,…,n,有逼近 F* 的误差为O(hk)的递推公式称为关于步长h的外推公式.下表列出了k=2,3,4时,按递推公式产生Fk(h)的计 算次序,表中各列左边黑体数字表示序号.设 带余项的差分公式为(8)导出具有误差为O(h2j) 的外推公式.令用 h/2代替h,得(9)例1解4×(9)-(8)得:从而有(10)其中这时, F2(h)逼近 的误差为O(h4) 重复用h/2代替h并消去含h2i的项(i=2,3,…,j-1)得 到逼近 的误差为O(h2j)的外推公式为注意上式中第二项的分母为4j-1-1而不是2j-1-1. 这是由于(8)式中的余项为关于h2的幂次而不是 关于h的幂次.Romberg求积方法是以复化梯形公式为基础,应 用Richardson外推法导出的数值求积方法.二、Romberg求积方法回忆复化梯形公式,分别把积分区间[a,b]分为1, 2, 4等分的结果列下表 k123124进一步推导出它们的递推关系一般地,把区间[a,b]逐次分半k-1次(k=1,2,…,n),区间长度(步长)为 ,其中mk=2k-1按外推法的思想记则或其中从而有看成是关于hk误差为O(hk2)的一个近似公式复化梯形求积公式称为为消去hk2项,再取hk+1=hk/2代替(11)式中的hk 因此,复化梯形公式的误差公式为(11)(12)4×(12)-(11)得:记k=2,3,…,n这是误差为O(h4)的外推公式重复上述过程,将区间逐次分半k-1次后,可以得到 误差为O(h2j)的外推公式k=2,3,…,n, j= k=2,3,…,n外推公式称为当j=2时复化Simpson公式当k=2时这是n=2的复化Simpson公式的S2不难验证,对一般的k, 是n=2k-1的复化 Simpson公式第二部分,用外推公式计算Tk(j)(k=2,3,…, j=2,…k)类似地,当j=3时Romberg求积方法所谓Romberg求积方法,就是由上述两部分组成.第一部分,对积分区间逐次分半k-1次,用复化梯 形求积公式计算Tk(1)(k=1,2,…)再区间分半,令k=3,区间长度h3=h2/2,先计算T3(1) , 再计算T3(2) T3(3)Romberg法计算过程首先,令k=1,区间长度h1=b-a ,用梯形求积公式计 算T1(1)区间分半,令k=2,区间长度h2=h1/2 ,先计算T2(1),再 按外推公式计算T2(2)逐次分半区间k次后的计算结果如下表外推 加速 公式以上整个过程称为Romberg算法将 上 述 结 果 综 合 后在实际应用中,往往根据实际问题对计算精确度 的要求来确定区间逐次分半的次数.复化梯形公式计算 外推公式计算常用不等式作为达到精确度要 求的判断准则用Romberg求积方法计算的近似值,给定=0.001首先令区间长度 h1=1 ,用梯形求积公式计算例2解>=0.001<=0.001T3(3)作为积分的近似,其误差为O(h36)例 ：利用数据表xk01/81/43/81/25/83/47/81f (xk)43.938463.764703.506853.200002.876402.460002.265492用Romberg方法求计算积分这个问题有明显的答案。