高等代数例题第一章 多项式1． 2 （1）、、适合什么条件时，有2． 7 设，的最大公因式是一个二次多项式，求、 的值3． 14 证明：如果，那么4． 18 求多项式有重根的条件5． 24 证明：如果，那么6． 25 证明：如果，那么，7． 26 求多项式在复数域内和实数域内的因式分解8． 28 （4）多项式 （为奇素数）在有理数域上是否可约？9． 1 设，，且10． 5 多项式称为多项式，的一个最小公倍式，如果（1），；（2），的任意一个公倍式都是的倍式我们以表示首项系数为1的那个最小公倍式证明：如果，的首项系数都为1，那么11．设 、为整数，除所得余式为 12． 求证：如果|，|，且是与的一个组合，那么是与的一个最大公因式13． 求14． 设 (m ,n 是正整数), 第二章 行列式1． 5 如果排列的逆序数为，排列的逆序数是多少？2． 8 （3）3． 10 按行列式的定义计算 4． 12 设 ，其中是互不相同的数1）由行列式的定义，说明是一个次多项式；（2）由行列式性质，求的根5． 14 6． 17 （5）7． 18 （3）证明，其中8． 18 （5），其中。
9．设、、为三维列向量，三阶矩阵的行列式5，则行列式 10．若四阶行列式D的第二列的元素依次是 ，2 ，0 ，1 ，它们的余子式分别为5 ，3 ， ,4 ，则 11． 若，则0的根的个数为 【 】(A) (B) (C) (D) 12．计算行列式D n = 13．求 Dn+1 = 的值14．计算阶行列式第三章 线性方程组1． 7 （3）解线性方程组2． 6 设线性无关，证明，，也线性无关3． 8 设的秩为，是中的个向量，使得中的每个向量都可以被它们线性表示，证明是的一个极大线性无关组4． 12 证明：如果向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示，那么（Ⅰ）的秩不超过（Ⅱ）的秩。
5． 19 （1） 取什么值时下列线性方程组有解，并求解：6． 22 取什么值时，线性方程组有解？在有解的情形，求一般解7． 1 设向量可以经向量组线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是 线性无关8． 4 已知两向量组有相同的秩，且其中之一可被另一个线性表示，证明：这两个向量组等价9． 7 线性方程组 的系数矩阵为 设是矩阵中划去第列剩下的矩阵的行列式1） 证明：是方程组的一个解；（2） 如果的秩为，那么方程组的解全是的倍数10．求, , , 的一个极大线性无关组，并将其它向量用极大线性无关组线性表示： ，, , 11．设四，，，讨论、为何值时（1） 不能由,, 线性表示；（2） 可由,, 唯一地线性表示，并求出表示式；（3） 可由,, 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式12．维向量是非齐次线性方程组AX=B的两个解， 则导出组AX=0的一个非零解为 13．设,,…，是齐次线性方程组的基础解系，向量不是的解，即。
证明：，，，…，线性无关14．若是非齐次线性方程组（）的个解，则是 的解的充要条件是．15． 设整系数方程组，，对任何，，…，均有整数解求证：方程组的系数矩阵可逆，且．第四章 矩阵1． 设为阶矩阵，将的第1列与第2列交换得，再把的第2列加到第3列得，则满足的可逆矩阵为 【 】(A) (B) (C) (D) 2．设（）阶非奇异矩阵的伴随矩阵是，则 【 】(A) (B) (C) (D) 3．设阶矩阵与等价（即经初等变换可变为），则必须 【 】(A) 当时， (B) 当时， (C) 当时， (D) 当时，4．设为三阶方阵,||；为二阶方阵,|| (都不等于零),则 等于 【 】(A) (B) (C) (D) 5．设、分别为和矩阵，则 【 】(A) 当时，必有 (B) 当时，必有 (C) 当时，必有 (D) 当时，必有6．设为对称矩阵，B为反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是 【 】(A) (B) (C) (D) 7．设、为满足的任意两个非零矩阵，则必有 【 】(A) 的列向量线性相关，的行向量线性相关 (B) 的列向量线性相关，的列向量线性相关(C) 的行向量线性相关，的行向量线性相关 (D) 的行向量线性相关，的列向量线性相关8．设为3维列向量，若，则 。
9．， 为三阶可逆矩阵， ，则 10．设 ，= ，求11．设为4×3矩阵，，若2，则 12．已知方阵满足 ，则 13．设为阶单位矩阵，求2阶矩阵的逆矩阵14．设、分别是和矩阵，若，求证15．设（）阶矩阵的伴随矩阵是，求证：16．设（）阶矩阵的伴随矩阵是，求证： 17．设、分别是和矩阵，求证18．设、分别是和矩阵，，是非零数，求证：第五章 二次型1．求三元二次型的矩阵2．两个矩阵的秩相等是它们合同的 条件3．用配方法求二次型的标准形4. 用初等变换法求下列二次型的标准形，并求非退化的线性变换：（1）（2）5. 设为级实对称矩阵， 正定的充分必要条件是 【 】(A) 存在实维列向量，使 (B) 对任意的所有分量都不为零的实维列向量，都有(C) 的主对角线上的元素 ， (D) 存在级正定矩阵，使6．矩阵是正定的，下列结论错误的是 【 】 (A) 的主对角元全为正数 (B) 的元素全为正数(C) 的特征值全为正数 (D) 的顺序主子式全为正数1. 在实数域上，下列矩阵中，与合同的是 【 】(A) (B) (C) (D) 7．设 ， 。
这两个矩阵中，不正定的是 8．全体元复二次型按等价分类，共分为多少类，全体元实二次型按等价分类，共分为多少类？9．设、是两个级正定矩阵，求证也正定的充要条件是10．设、分别为级和级正定矩阵证明：级分块对角矩阵＝正定11．判断实二次型是否正定下述方法：“对实二次型 配方后变形为：由此得到的规范形： ，从而判定正定” 是否正确（说明理由）？若不正确，给出正确解答11．设为偶数，为的伴随矩阵证明：若为阶正定矩阵， 则是正定矩阵 12．设 为正定二次型，证明：为负定二次型第六章 线性空间1．判断下列命题正确与否：(1) 设是数域，集合按照向量的加法和数乘法构成上的线性空间 】(2) 设是数域，集合按照向量的加法和数乘法构成上的线性空间 】(3) 设分别是实数域和复数域 , ， 关于矩阵的加法、数乘法构成 上的线性空间，维 【 】(4) 、是有限维线性空间的子空间，若，则 2．的子空间 的维数是 。
3．向量关于基=，=，=，= 的坐标是 4．设基，，到基，，的过渡矩阵，若在基，，下的坐标为，求在基，，下的坐标5．设是维线性空间的一个基, ， 向量组是否是的一个基？（说明理由）若是，求 基 到 基 的过渡矩阵6．设是数域, 线性空间=的子空间，求维7．求中全体对称矩阵作成的数域上的线性空间的维数8．是实数域上由矩阵的全体实系数多项式组成的线性空间， ，，求维9．设T是线性空间V中由基到基的过渡矩阵，则T的第j列是 【 】(A) 关于基的坐标 (B) 关于基的坐标 (C) 关于基的坐标 (D) 关于基的坐标 10．若、是维线性空间的两个子空间，则下列结论正确的是 【 】(A) ∩不一定是的子空间 (B) ∪一定不是的子空(C) 当时，(D) 当时， 11．设向量组，，；，求（1）的维数及一组基；（2）的维数及一组基12．设是数域，，求证：集合构成的子空间 13．，证明：第七章 线性变换1．在的如下对应法则中，为线性变换的是 。