求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的 7 种方法：累加法、累乘法、待定系数法、倒数变换法、由和求通项定义法（根据各班情况适当讲）二基本数列：等差数列、等比数列等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法三 ．求数列通项的方法的基本思路是： 把所求数列通过变形， 代换转化为等差数列或等比数列四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数一、累加法1．适用于： an 1 an f (n) ---------- 这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一例 1 已知数列 { an } 满足 an 1 an 2n 1， a1 1，求数列 { an} 的通项公式解：由 an 1 an 2n 1得 an 1 an 2n 1 则an (anan 1 ) (an 1an 2 )(a3a2 ) (a2a1) a1[2( n1)1][2( n2) 1](22 1)(211)12[(n1)(n2)21](n1)12 (n1)n(n1)12(n 1)(n1)1n2所以数列 { an } 的通项公式为 ann2。
供参考例 2 已知数列 { an } 满足 an 1 an 2 3n 1， a1 3 ，求数列 { an } 的通项公式解法一：由 an 1 an 2 3n 1得 an 1 an 2 3n 1 则an ( anan 1 ) (an 1(23n11)(22(3n 13n 22 3(13n1 )(n133n3n133nn1an 2 )(a3a2 ) (a2a1 ) a13n 21)(232 1)(2 311) 33231 )(n 1)31) 3所以 an3nn1.解法二： an 13an2 3n1 两边除以 3n 1 ，得 an 1an21，3n 13n33n1则an 1an213n 13n3n 1 ，故3an(anannnan33( 21n )332(n1)31) (an 1an 2)an 2an 3(a2a1a1an 1n 2(n 2n 3 )21 )3133333( 2n11) (2n12 )(2 12)33333333(111111nnn 1n22 )333331n1因此an2(n 1)3n (13)2n11，3n31312233n则 an2n 3n13n1 .322练习1. 已知数列an的首项为1 ，且 an 1an2n (n N * )写出数列an 的通项公式 .答案： n 2n1anan 11{ an }a3(n 2)练习 2.已知数列满足，n( n 1)1an21n答案：裂项求和，求此数列的 通项公式 .供参考评注：已知 a1a , an 1 an f (n) ，其中 f(n) 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项an .①若 f(n) 是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若 f(n) 是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和 ;③若 f(n) 是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若 f(n) 是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。
二、累乘法1.适用于： an 1f (n)an ---------- 这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二2．若an 1f (n) ，则a2a3f (2)，an1f (n)ana1f (1)，，a2anan 1n两边分别相乘得，a1f (k )a1k 1例 4.设 an是首项为 1的正项数列，且n1 an21na n2an 1 an 0 （ n =1 ， 2， 3， ），则它的通项公式是an =________.解：已知等式可化为： ( an 1 an ) (n 1)an 1 nan 0an1nan0 ( nN * )(n+1) an 1na n0 ,即 ann 1ann 1n2 时， an1nananan 1a2a1n 1 n2111an 1ana12=nn12= n .评注： 本题是关于 an 和 an 1 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an 与 a n 1 的更为明显的关系式，从而求出 a n .供参考练习 .已知 (n 1)an 1 nan , a1 1 ,求数列 { an } 的通项公式 .三、待定系数法 适用于 an 1 qan f ( n)基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
1．形如 an 1 can d , (c 0 ,其中 a1 a )型例 6 已知数列 { an } 中， a1 1,an 2an 1 1(n 2) ，求数列 an 的通项公式解法一： an 2an 1 1(n 2),an 1 2(an 1 1)又 a1 1 2, an 1 是首项为 2，公比为 2 的等比数列an 1 2n ，即 an 2n1解法二： an 2an 1 1(n 2),an 1 2an 1两式相减得 an 1an2( anan 1 )(n2)，故数列an 1 an 是首项为2，公比为2 的等比数列，再用累加法的 a11an12, an 1,练习．已知数列 { an } 中，22 求通项 an an ( 1) n11答案：22．形如： a n 1panq n(其中 q 是常数，且 n0,1)①若 p=1 时，即： a n 1anq n ，累加即可 .②若 p1 时，即： an 1panq n ，供参考求通项方法有以下三种方向： i. 两边同除以 pn 1 .目的是把所求数列构造成等差数列a n 1an1 ( p) nbnanbn 1bn1 ( p ) n即：p n 1q np q,令p np q,然后类型1，累加求通项 .，则ii. 两边同除以 q n 1 . 目的是把所求数列构造成等差数列。
an 1pan1即：q n 1 nq,bnanbn 1p1q nbn令,则可化为 .然后转化为类型5 来解，iii. 待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设a n 1q n 1p(anpn )，转化为等比数列求通项 ..通过比较系数，求出注意：应用待定系数法时，要求 p q，否则待定系数法会失效例 7 已知数列{ an}满足an 12an4 3n 1， a11，求数列an的通项公式解法一（待定系数法） ：设an 113n2 (an3n 1 )，比较系数得14, 22，。