1991 数学一试题数学一试题 一、填空题(本题共 5 个小题，每小题 3 分，满分 15 分.) (1)设 2 1, cos , xt yt 则 2 2 d y dx =_______. 【答案】 3 sincos 4 ttt t 【解析】这是个函数的参数方程，满足参数方程所确定函数的微分法，即 如果 ( ) ( ) xt yt ，则 ( ) ( ) dyt dxt 所以 sin 2 dy dyt dt dx dxt dt ， 再对x求导，由复合函数求导法则得 2 2 sin1 ()() 22 d yddydtdt dxdt dxdxdttt 23 2 cos2sin1sincos 424 tttttt ttt (2)由方程 222 2xyzxyz所确定的函数( , )zz x y在点(1，0，-1)处的全微分dz=_______. 【答案】2dxdy 【解析】这是求隐函数在某点的全微分，这里点(1,0, 1)的含义是(1,0)1zz ， 将方程两边求全微分，由一阶全微分形式不变性得 222 222 () ()0 2 d xyz d xyz xyz 再由全微分四则运算法则得 222 ()() xdxydyzdz xy dzydxxdy z xyz 令1,0,1xyz 得 2 dxdz dy 即 2dzdxdy 为所求 (3)已知两条直线的方程是 1 123 : 101 xyz L ； 2 21 : 211 xyz L 则过 1 L且平行于 2 L的平面方程是 _______. 【答案】320xyz 【解析】所求平面过直线 1 L，因而过 1 L上的点(1,2,3)， 因为过 1 L平行于 2 L，于是平行于 1 L和 2 L的方向向量，即平行与向量1(1,0, 1)l 和向量2(2,1,1)l ，且 两向量不共线，于是平面的方程 123 1010 211 xyz ， 即 320xyz (4)已知当0x 时， 1 2 3 (1)1ax与cos1x是等价无穷小，则常数a= _______. 【答案】 3 2 【解析】因为当0x 时， 1 1 sin,(1)1 n xxxx n ， 当0x 时 2 0ax ，所以有 1 2222 3 111 (1)1,cos1sin, 322 axaxxxx 所以 1 2 2 3 00 2 1 (1)12 3 limlim 1 cos13 2 xx ax ax a x x 因为当0x 时， 1 2 3 (1)1ax与cos1x是等价无穷小， 所以 2 1 3 a 故 3 2 a (5)设 4 阶方阵 5 2 0 0 2 1 0 0 0 0 1 -2 0 0 1 1 A ，则A的逆阵 1 A=_______. 【答案】 1200 2500 12 00 33 11 00 33 . 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法，可用伴随，可用初等行变换，也可用分块求逆. 根据本题的特点，若知道分块求逆法，则可以简单解答. 注意： 1 1 1 00 00 AA BB ， 1 1 1 00 00 AB BA 对于 2 阶矩阵的伴随矩阵有规律： ab A cd ,则求A的伴随矩阵主对换副变号，即 * abdb A cdca 如果0A ，这样 1 11 abdbdb cdcacaAadbc 再利用分块矩阵求逆的法则： 1 1 1 00 00 AA BB ， 易见 1 1200 2500 12 00 33 11 00 33 A 二、选择题(本题共 5 个小题，每小题 3 分，满分 15 分.) (1)曲线 2 2 1 1 x x e y e (A) 没有渐近线. (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线. (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线. 【答案】(D) 【解析】如函数( )yf x在其间断点 0 xx处有 0 lim( ) xx f x ，则 0 xx是函数的一条铅直渐近线；当 lim( ),( x f xa a 为常数），则ya为函数的水平渐近线. 函数的定义域为0x ，所以函数的间断点为0x ， 22 22 000 11 limlimlim 11 xx xx xxx ee y ee ，所以0x 为铅直渐近线 22 22 11 limlimlim1 11 xx xx xxx ee y ee ，所以1y 为水平渐近线 所以选(D) (2)若连续函数( )f x满足关系式 2 0 ( )( )ln2 2 x t f xfdt ，则( )f x等于 (A) ln2 x e (B) 2 ln2 x e (C) ln2 x e (D) 2 ln2 x e 【答案】(B) 【解析】令 2 t u ，则2 ,2tu dtdu 所以 2 00 ( )( )ln22 ( )ln2 2 xx t f xfdtf u du 两边对x求导，得 ( )2 ( )fxf x 这是一个变量可分离的微分方程，即 [ ( )] 2 ( ) d f x dx f x 解之得 2 ( ) x f xCe，其中C是常数. 又因为 0 0 (0)2 ( )ln2ln2ff u du 代入 2 ( ) x f xCe得 0 (0)ln2fCe，得ln2C 即 2 ( )ln2 x f xe (3)已知级数 1 1 ( 1)2 n n n a ， 21 1 5 n n a ，则级数 1 n n a 等于 (A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9 【答案】(C) 【解析】因为 1 1234212 1 ( 1)n nnn n aaaaaaa 1234212 ()()() nn aaaaaa 212212 111 () nnnn nnn aaaa (收敛级数的结合律与线性性质) 所以 1 221 111 ( 1)523 n nnn nnn aaa 而 1234212 1 ()()() nnn n aaaaaaa 212212 111 () nnnn nnn aaaa 538 故应选(C) (4)设D是平面xOy上以(1，1)、(-1，1)和(-1，-1)为顶点的三角形区域， 1 D是D在第一象限的部分，则 (cos sin ) D xyxy dxdy 等于 (A) 1 2cos sin D xydxdy (B) 1 2 D xydxdy (C) 1 4(cos sin ) D xyxy dxdy (D) 0 【答案】(A) 【解析】如图，将区域D分为 1234 ,,,D D D D四个子区域. 显然， 12 ,D D关于y轴对称， 34 ,D D关于x轴对称. 令 1 2 cos sin D D Ixydxdy Ixydxdy 由于xy对x及对y都是奇函数，所以 1234 0,0 DDDD xydxdyxydxdy 而cos sinxy对x是偶函数，对y是奇函数，故有 34121 cos sin0,cos sin2cos sin DDDDD xydxdyxydxdyxydxdy 所以 1 12 (cos sin )2cos sin DD xyxy dxdyIIxydxdy 故选(A). (5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABCE，其中E是n阶单位阵，则必有 (A) ACBE (B) CBAE (C) BACE (D) BCAE 【答案】(D). 【解析】矩阵的乘法公式没有交换律，只有一些特殊情况可以交换. 由于A、B、C均为n阶矩阵，且ABCE， 对等式两边取行列式，据行列式乘法公式|||||| 1A B C 得到0A 、0B 、0C ，知A、B、C均可逆. 那么对于ABCE先左乘 1 A再右乘A有 1 ABCEBCABCAE 故应选(D) 其实，对于ABCE先右乘 1 C再左乘C，有 1 ABCEABCCABE . 三、(本题满分 15 分，每小题 5 分.) (1) 求 0 lim(cos)x x x 【解析】这是1型未定式求极限， 1(cos1) cos1 00 lim(cos)lim(1 (cos1)) x xx x xx xx 令cos1xt ，则0x 时0t 所以 1 1 cos1 00 lim(1(cos1))lim(1) xt xt xte 所以 0 1(cos1)(cos1) (cos1) lim cos1 00 lim(1(cos1))lim x xx x xxx x xx xee 因为当0x 时，sin xx，所以 22 000 2 sin ()2 () (cos1) 22 limlimlim 2 xxx xx x xxx 故 0 (cos1) lim 2 0 lim(cos) x x x x x xee (2) 设n是曲面 222 236xyz在点(1,1,1)P处的指向外侧的法向量，求函数 22 68xy u z 在点P处沿方向的 n方向导数. 【解析】先求方向n 的方向余弦，再求,, uuu xyz ，最后按方向导数的计算公式 coscoscos uuuu nxyz 求出方向导数， 曲面 222 236xyz在点(1,1,1)P处的法向量为 (1,1,1) 4 ,6 ,24 ,6 ,22 2,3,1 P xyzxyz 在点(1,1,1)P处指向外侧，取正号，并单位化得 22 11 2,3,12,3,1cos,cos,cos. 14 231 n 又 2222 (1,1,1) 2222 (1,1,1) 2222 22 (1,1,1) 666 14。