第一讲第一讲 多项式理论多项式理论 多项式理论是高等代数的重要内容之多项式理论是高等代数的重要内容之一，虽然它在高等代数课程中是一个相对独一，虽然它在高等代数课程中是一个相对独立而自成体系的部分，但却为高等代数所讲立而自成体系的部分，但却为高等代数所讲述的基本内容提供了理论依据多项式理论述的基本内容提供了理论依据多项式理论中的一些重要定理和方法，在进一步学习数中的一些重要定理和方法，在进一步学习数学理论和解决实际问题时常要用到，是代数学理论和解决实际问题时常要用到，是代数学中最基本的研究对象之一因此，在学习学中最基本的研究对象之一因此，在学习这部分内容时，要正确地掌握概念，学会严这部分内容时，要正确地掌握概念，学会严谨地推导和计算谨地推导和计算 知识脉络图解知识脉络图解重因式一元多项式概念最大公因式多项式的相等及运算带余除法综合除法余数定理多项式恒等及多项式函数的运算整除性因式分解方程的根不可约多项式因式分解唯一性定理数域多项式函数多元多项式概念多元多项式函数对称多项式对称多项式基本性质复数域上的因式分解实数域上的因式分解有理多项式不可约判定本原多项式求有理根实多项式根的性质代数学基本定理根与系数的关系 重点、难点解读重点、难点解读 这部分内容对多项式理论作了较深入、系统、全面这部分内容对多项式理论作了较深入、系统、全面地论述，内容可分为一元多项式与多元多项式两大部分，地论述，内容可分为一元多项式与多元多项式两大部分，以一元多项式理论为主。
可归纳为以下四个方面：以一元多项式理论为主可归纳为以下四个方面： （（1）一般理论：包括一元多项式的概念、运算、多）一般理论：包括一元多项式的概念、运算、多项式相等、导数等基本性质项式相等、导数等基本性质 （（2）整除理论：包括带余除法、整除、最大公因式、）整除理论：包括带余除法、整除、最大公因式、互素的概念与性质互素的概念与性质 （（3）因式分解理论：包括不可约多项式、因式分解、）因式分解理论：包括不可约多项式、因式分解、重因式、实系数与复系数多项式的因式分解、有理系数多重因式、实系数与复系数多项式的因式分解、有理系数多项式不可约的判定等项式不可约的判定等 （（4）根的理论：包括多项式函数、多项式的根、代）根的理论：包括多项式函数、多项式的根、代数基本定理、有理系数多项式的有理根求法、根与系数数基本定理、有理系数多项式的有理根求法、根与系数的关系等的关系等 一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式存在定理、因式分解唯一性定理。
在学习的过程中，如存在定理、因式分解唯一性定理在学习的过程中，如能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一元多项式的理论元多项式的理论 对于多元多项式，则要理解对于多元多项式，则要理解 元多项式、对称多项元多项式、对称多项式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的多项式的方法多项式的方法 一、数域的判定一、数域的判定 设设P是至少含有两个数（或包含是至少含有两个数（或包含0与与1）的数集，如果）的数集，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍是中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍是P中的数，则称中的数，则称P为一个数域为一个数域1、数域的概念、数域的概念2、数域的有关结论、数域的有关结论 （（1）所有的数域都包含有理数域，即有理数域是最）所有的数域都包含有理数域，即有理数域是最小的数域小的数域 （（2）在有理数域与实数域之间存在无穷多个数域；）在有理数域与实数域之间存在无穷多个数域；在实数域与复数域之间不存在其他的数域。
在实数域与复数域之间不存在其他的数域 例例1、设、设P是一个数集，有非零数是一个数集，有非零数 ，且，且P关于减关于减法、除法（除数不为零）封闭，证明法、除法（除数不为零）封闭，证明P是一个数域是一个数域证证 因为因为 ，所以，所以 有有即即P对加法封闭对加法封闭若若 中有一个为零，则中有一个为零，则若若 ，则，则从而从而P对乘法封闭对乘法封闭综上所述，综上所述，P关于加法、减法、乘法、除法都封闭，所关于加法、减法、乘法、除法都封闭，所以以P是一个数域是一个数域 例例2、证明：实数域与复数域之间不存在其他的数域证明：实数域与复数域之间不存在其他的数域 证证 设设P是任意一个包含是任意一个包含R且不同于且不同于R的数域，且的数域，且P还还包含至少一个复数包含至少一个复数 由于由于P是一个数域，所以是一个数域，所以但但从而对任意实数从而对任意实数 都有都有 ，，即即P包含了全体复数包含了全体复数。
故故P=C 二、一元多项式的概念二、一元多项式的概念1、一元多项式的概念、一元多项式的概念形式表达式形式表达式称为数域称为数域P上文字上文字 的一元多项式，其中的一元多项式，其中 是非负整数当是非负整数当 时，称多项式时，称多项式 的次数为的次数为记为记为2、多项式的相等关系、多项式的相等关系设设则则 3、次数公式、次数公式 （（1）） （（2））4、一元多项式环、一元多项式环 所有系数在数域所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域中的一元多项式全体称为数域P上的一元多项式环，记为上的一元多项式环，记为 ，称，称P为为 的系数域的系数域5、一元多项式环的有关结论、一元多项式环的有关结论 多项式的加、减、乘运算对多项式的加、减、乘运算对 封闭，且多项式的封闭，且多项式的加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分配率，乘法还满足消去律配率，乘法还满足消去律6、注意零多项式和另次多项式的区别注意零多项式和另次多项式的区别。
例例1、令、令求求 的奇次项系数之和的奇次项系数之和 解解 法法1 由于由于两式相乘得两式相乘得由于由于 与与 无奇次项，从而无奇次项，从而 不可能有奇不可能有奇次项，故其奇次项系数之和等于零次项，故其奇次项系数之和等于零 法法2 因为因为 ，所以，所以 是偶函数，于是偶函数，于是是 的奇次项系数全为零故其奇次项系数之和等的奇次项系数全为零故其奇次项系数之和等于零 例例2、设、设 为一多项式，若为一多项式，若则则 或或 证证 若若 ，则证毕若，则证毕若 ，由于，由于所以所以 只能是零次多项式只能是零次多项式 令令 ，又因为，又因为所以所以 ，此即，此即 n n例3设 是非零实系数多项式， 是一个正整数，且 ，则 为零次多项式或者 。
三、多项式的带余除法及整除三、多项式的带余除法及整除1、带余除法、带余除法 定理（带余除法）设定理（带余除法）设则存在唯一的多项式则存在唯一的多项式 使使其中其中 或或2、整除的概念、整除的概念 设设 ，如果存在多项式，如果存在多项式 使使 ，则称，则称 整除整除 3、整除的充分必要条件、整除的充分必要条件 如果如果 ，则，则 的充分必要条件是用的充分必要条件是用除除 所得的余式所得的余式 注注 多项式的整除性是多项式的整除性是 中元素间的一种关系，中元素间的一种关系，不是多项式的运算整除概念与带余除法有密切的联系，不是多项式的运算整除概念与带余除法有密切的联系，我们不能用带余除法来定义整除，因为这样定义整除，将我们不能用带余除法来定义整除，因为这样定义整除，将会遗漏零多项式整除零多项式的情形。
会遗漏零多项式整除零多项式的情形4、整除的性质、整除的性质 （（1）任一多项式）任一多项式 一定整除它自身，即一定整除它自身，即 （（2）） （（3）零次多项式能整除任一多项式；）零次多项式能整除任一多项式； （（4）零次多项式只能被零次多项式整除；）零次多项式只能被零次多项式整除； （（5）零多项式只能整除零多项式；）零多项式只能整除零多项式； （（6）如果）如果 ，则，则 ，其中，其中 为非零为非零常数，常数， 为常数；为常数； （（7）如果）如果 ，且，且 ，则，则任意多项式都整除零多项式任意多项式都整除零多项式 （（8）如果）如果 ，又，又 为任意多项式，为任意多项式，则则 （（9）如果）如果 ，且，且 ，则，则其中其中 为任意常数。
为任意常数 （（10）多项式）多项式 有相同的因式与倍式；有相同的因式与倍式； （（11）两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大）两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变 5、综合除法、综合除法 设以设以 除除所得的商所得的商 ，及余式，及余式 则则比较比较 两端同次幂的系数得两端同次幂的系数得 6、判定整除的方法、判定整除的方法 为证明一个多项式为证明一个多项式 整除一个多项式整除一个多项式 ，如果，如果其系数已具体给出时，通常采用其系数已具体给出时，通常采用带余除法带余除法和和待定系数法待定系数法 如果如果 的系数未具体给出时，可采用以下方法：的系数未具体给出时，可采用以下方法： 现设出现设出 的全部复根，并假设的全部复根，并假设 无重根，即无重根，即其中其中 互异。
互异再证再证 则有则有从而从而这是因为这是因为两两互素，故两两互素，故因式分解法：因式分解法：直接将直接将 因式分解，得出因式分解，得出 ，， 当然这种情况只有在特殊情况下才能做到当然这种情况只有在特殊情况下才能做到验根法：验根法： 例例1、将多项式、将多项式按按 的的 方幂展开方幂展开 解解 法法1 应用综合除法，即对于应用综合除法，即对于 次多项式次多项式 ，，用用 逐次除所得的商，得逐次除所得的商，得 法法2 应用泰勒公式，由泰勒公式应用泰勒公式，由泰勒公式得得从而从而 例例2：设：设 证明：证明： 例例2、若、若 ，问是否必有，问是否必有 ？若？若不成立，举出反例若成立，请说明理由不成立，举出反例若成立，请说明理由 解解 成立 法法1 因为因为 ，所以，所以 ，即，即从而从而 ，故存在，故存在 ，使得，使得于是于是 ，此即，此即 法法2 有有 个不同的复根，设为个不同的复根，设为则有则有 ，于是，于是这表明这表明 都是都是 的根，故的根，故 例例3、证明、证明 （（ 是是三个任意的正整数）。
三个任意的正整数） 分析分析 用带余除法及待定系数法不易证明时，可以用带余除法及待定系数法不易证明时，可以考虑采用因式定理来证明，即考虑采用因式定理来证明，即 的充分必要的充分必要条件是条件是 证证 可求得可求得 的根为的根为所以所以 ，又由，又由知知 ，从而，从而设设则有则有 故由因式定理知故由因式定理知 且且 ，又因为，又因为且且 互素，从而互素，从而即即 注注 本例证明中，本例证明中， 是指在复数是指在复数域域C上，而命题本身可理解为在一般数域上，而命题本身可理解为在一般数域P上讨论整除问上讨论整除问题这是因为整除的概念是在带余除法基础上定义的，题。
这是因为整除的概念是在带余除法基础上定义的，而带余除法所得的商及余式不随系数域的扩大而改变，而带余除法所得的商及余式不随系数域的扩大而改变，因此，上述多项式在因此，上述多项式在P上与在上与在C上整除是一致的上整除是一致的四、最大公因式的计算与证明四、最大公因式的计算与证明 1、最大公因式的概念、最大公因式的概念 设设 ，如果，如果 满足满足 且且 ，则称，则称 为为 与与 的一个公因式；的一个公因式；又如果又如果 与与 的任一公因式都能整除的任一公因式都能整除 ，则称，则称 为为 与与 的一个最大公因式的一个最大公因式 1、最大公因式的概念、最大公因式的概念 设设 ，如果，如果 满足满足 且且 ，则称，则称 为为 与与 的一个公因式；的一个公因式；又如果又如果 与与 的任一公因式都能整除的任一公因式都能整除 ，则称，则称 为为 与与 的一个最大公因式。
的一个最大公因式四、最大公因式的计算与证明四、最大公因式的计算与证明 2、最大公因式的性质、最大公因式的性质 （（1）） 中任意两个多项式中任意两个多项式 与与 一定有最大一定有最大公因式两个零多项式的最大公因式是零多项式，它是公因式两个零多项式的最大公因式是零多项式，它是唯一确定的两个不全为零的多项式的最大公因式总是唯一确定的两个不全为零的多项式的最大公因式总是非零多项式，它们之间只有常数因子的差别；最高次项非零多项式，它们之间只有常数因子的差别；最高次项系数为系数为1的最大公因式是唯一确定的的最大公因式是唯一确定的 （（2）设）设 如果有如果有则则 与与 的最大公因式一定是的最大公因式一定是 与与 的最大的最大公因式，而公因式，而 与与 的最大公因式也一定是的最大公因式也一定是 与与 的最大公因式特别地，有的最大公因式。
特别地，有 这也是用辗转相除法求最大公因式的根据）（这也是用辗转相除法求最大公因式的根据） （（3）设）设 ，如果，如果 是是 与与 的最大公因式，则必有的最大公因式，则必有 ，使，使 （（4）最大公因式不因数域）最大公因式不因数域P的扩大而改变的扩大而改变 2、求最大公因式的方法、求最大公因式的方法 （（1）辗转相除法；）辗转相除法； （（2）因式分解法）因式分解法 如果求得如果求得 与与 的典型分解的典型分解式式其中其中 是首项系数为是首项系数为1的不可约多项式，的不可约多项式， 为常数，为常数， 为非零整数，令为非零整数，令 ，则，则不唯一不唯一 例例1、证明：若、证明：若 ，则，则 证证 令令由于由于所以所以若若由于由于所以所以从而从而故故由于由于 的首项系数为的首项系数为1，故，故 例例2、设、设 不全为不全为0，求证：，求证：（（ 为正整数）为正整数） 证证 法法1 令令 ，即证，即证因为因为所以所以且且①于是于是此即此即再由式再由式①有有从而存在从而存在 ，使得，使得两边乘两边乘 得得由上式知由上式知故故 法法2 令令 ，则，则且且从而从而故有故有 五、互素多项式的判定与证明五、互素多项式的判定与证明 1、互素多项式的概念、互素多项式的概念 如果如果 的最大公因式为非零常数，或的最大公因式为非零常数，或，则称，则称 与与 互素。
互素 注注 ① 零多项式与任一多项式都不互素零多项式与任一多项式都不互素 ② 若多项式若多项式 互素，互素，并不要求其中任意两个多项式都互素并不要求其中任意两个多项式都互素 2、互素多项式的性质、互素多项式的性质 （（1）设）设 ，则，则 与与 互素的充互素的充分必要条件是，存在分必要条件是，存在 ，使，使 （（2）如果）如果 ，且，且 ，则，则 （（3）如果）如果 ，且，且 ，，则则 （（4）如果）如果 ，则，则 3、判定互素多项式的方法、判定互素多项式的方法 主要利用互素的充分必要条件，即主要利用互素的充分必要条件，即 例例1 设设 与与 为数域为数域F中两个次数大于零的多项式，中两个次数大于零的多项式， 证明：若证明：若 ，则，则 使使 其中其中 ，并且满足这样条件的，并且满足这样条件的 是唯一的。
是唯一的 例例2、设、设 都是都是 中的非零多项式，且中的非零多项式，且这里这里 ，又若，又若且且 证明：不存在证明：不存在 ，且，且使使①② 证证 用反证法若存在用反证法若存在 使式使式①成立，则成立，则用用 乘式乘式①两端，得两端，得因为因为 ，由式，由式②有有但但 ，所以，所以 ，这与，这与矛盾 证证 必要性必要性 设设 ，则，则 例例3、设、设 与与 是数域是数域P上两个一元多项式，上两个一元多项式， 为给定的正整数求证：为给定的正整数求证： 的充分必要条件是的充分必要条件是 其中其中 ，两边，两边 次方得次方得故故充分性充分性 设设（（1）若）若 ，则，则 （（2）若）若 不全为零，，则令不全为零，，则令有有，且，且于是于是 由于由于所以存在所以存在 ，使得，使得将上式代入得将上式代入得两边消去两边消去 ，得，得由上式得由上式得 ，但，但 ，故，故这样继续下去有这样继续下去有 ，由于，由于所以所以 ，其中，其中 为非零常数。
为非零常数故故从而从而 也是也是 与与的一个最大公因式的一个最大公因式 则有则有 例：对任意非负整数例：对任意非负整数 ，令，令 证明：证明： 六、不可约多项式的判定与证明六、不可约多项式的判定与证明 1、不可约多项式的概念、不可约多项式的概念 如果数域如果数域P上次数大于零的多项式上次数大于零的多项式 不能表示成不能表示成数域数域P上两个次数比它低的多项式的乘积，则称上两个次数比它低的多项式的乘积，则称 是是数域数域P上的不可约多项式上的不可约多项式 注注 ① 零多项式与零次多项式既不能说是可约的，零多项式与零次多项式既不能说是可约的，也不能说是不可约的也不能说是不可约的 ② 多项式的可约性与多项式所在的数域密切相关多项式的可约性与多项式所在的数域密切相关 ③ 互素多项式指的是互素多项式指的是 上的两个多项式之间的上的两个多项式之间的一种关系，而不可约多项式是某个多项式本身的一种一种关系，而不可约多项式是某个多项式本身的一种特性，这是完全不同的两个概念，但在讨论问题时，特性，这是完全不同的两个概念，但在讨论问题时，互素多项式与不可约多项式的性质又是互相利用的，互素多项式与不可约多项式的性质又是互相利用的，要学会灵活运用。
要学会灵活运用 2、不可约多项式的性质、不可约多项式的性质 （（1）如果）如果 是数域是数域P上的不可约多项式，则上的不可约多项式，则 也是也是P上的不可约多项式，其中上的不可约多项式，其中 是是P中的非零数中的非零数 （（2）如果）如果 是数域是数域P上的不可约多项式，则对上的不可约多项式，则对P上的任一多项式上的任一多项式 ，必有，必有 或或 （（3）如果）如果 是数域是数域P上的不可约多项式，上的不可约多项式，是是P上的任意两个多项式，若上的任意两个多项式，若 ，则必有，则必有或或 （（4）如果不可约多项式）如果不可约多项式 整除整除其中其中 ，则，则 至少可以整除这些多项式中的某一个至少可以整除这些多项式中的某一个3、不同数域上的不可约多项式、不同数域上的不可约多项式 在复数域上，不可约多项式只能是一次式；在实数在复数域上，不可约多项式只能是一次式；在实数域上，不可约多项式只能是一次式或判别式小于零的二域上，不可约多项式只能是一次式或判别式小于零的二次式；在有理数域上，存在任意次的不可约多项式。
次式；在有理数域上，存在任意次的不可约多项式 （（2）爱森斯坦判别法；）爱森斯坦判别法； （（1）对于）对于2次和次和3次有理多项式次有理多项式 ，如果，如果 没有没有有有理根，则理根，则 在有理数域上不可约，但当次数大于在有理数域上不可约，但当次数大于3时，结论不再成立如时，结论不再成立如 没有有理根，但它没有有理根，但它在有理数域上是可约的在有理数域上是可约的4、有理系数多项式可约性判别、有理系数多项式可约性判别 设设 是一个整系数多项式是一个整系数多项式如果存在素数如果存在素数 ，使，使则则 在有理数域上不可约在有理数域上不可约 注意：注意：爱森斯坦判别法只是给出了一个有理系数多项式不可爱森斯坦判别法只是给出了一个有理系数多项式不可约的充分条件，所以，如果找不到满足条件的素数约的充分条件，所以，如果找不到满足条件的素数 ，则，则不能确定定多项式是否可约。
不能确定定多项式是否可约为了扩大爱森斯坦判别法的使用范围，有以下两个结论为了扩大爱森斯坦判别法的使用范围，有以下两个结论结论结论1：令：令 ，则整系数多项式，则整系数多项式 在有理数域上有相同的可约性在有理数域上有相同的可约性结论结论2：令：令 ，， 则整系数多项式则整系数多项式在有理数域上有相同的可约性，其中在有理数域上有相同的可约性，其中 例例1、证明：有理系数多项式、证明：有理系数多项式 在有理数域上不可在有理数域上不可约的充分必要条件是，对任意有理数约的充分必要条件是，对任意有理数 和和 ，多项式，多项式在有理数域上不可约在有理数域上不可约 证证 必要性必要性 已知已知 不可约，假设不可约，假设 在有理数在有理数域上可约，即域上可约，即其中其中 是有理系数多项式，且次数小于是有理系数多项式，且次数小于 的的有理系数多项式，次数不变，且有有理系数多项式，次数不变，且有次数，在上式中用次数，在上式中用 代代 ，所得各多项式仍为，所得各多项式仍为这说明这说明 在有理数域上可约，矛盾。
故在有理数域上可约，矛盾故 在有理数在有理数域上不可约域上不可约 其中其中 是有理数域上次数小于是有理数域上次数小于 的多项式，的多项式，由此可得由此可得这与这与 不可约矛盾故不可约矛盾故 在有理数域上不可约在有理数域上不可约 例例2、设、设 ，其中，其中是两两不同的整数证明：是两两不同的整数证明： 在有理数域在有理数域上不可约上不可约 证证 假设假设 在有理数域上可约，则在有理数域上可约，则 可以分可以分解为两个次数较低的整系数多项式之积，即解为两个次数较低的整系数多项式之积，即 充分性充分性 已知已知 不可约假设不可约假设 可约，设可约，设 其中其中 是整系数多项式，且是整系数多项式，且由题设可得由题设可得此时有此时有 或或即总有即总有可见多项式可见多项式 有有 个互异的根。
但个互异的根但这与多项式在任一数域中的根的个数不超过多项式的次这与多项式在任一数域中的根的个数不超过多项式的次数相矛盾，所以数相矛盾，所以 在有理数域上不可约在有理数域上不可约 例例3、设、设 是素数，是素数， 为整数，而为整数，而 且且 ，证明：，证明： 没有有理根没有有理根证证 令令 ，则，则其中其中⑴⑴⑵⑵因为因为 ，即，即 ，则，则 且由 ，得，得 将将 代入整理得代入整理得矛盾故故 ⑶⑶否则否则 ，即，即 ，利用，利用，得，得 ，矛盾 由艾森斯坦因判别法知由艾森斯坦因判别法知 在在Q上不可约，由于上不可约，由于与与 在在Q上有相同的可约性，故上有相同的可约性，故 在有理数在有理数域上不可约。
域上不可约 例例4：设：设 为有理数域上的为有理数域上的 次次 多项式，并且多项式，并且 在在有理数域上不可约，如果有理数域上不可约，如果 的一个根的一个根 的倒数的倒数 仍是仍是 的根，证明：的根，证明： 的每一个根的倒数都是的每一个根的倒数都是 的根 七、重因式的判定与证明七、重因式的判定与证明1、重因式的概念、重因式的概念 设设 是数域是数域P上的不可约多项式，上的不可约多项式， 为为非负整数，如果非负整数，如果 且且 ，则称，则称 是是 的的 重因式 注意：注意：1）） 当当 时，称时，称 为为 的单因式，当的单因式，当 称称 为为 的重因式。
的重因式 2）重因式是不可约多项式重因式是不可约多项式 2、重因式的有关结论、重因式的有关结论 （（1）如果不可约多项式）如果不可约多项式 是是 的的 重因重因式，则它是式，则它是 的的 重因式 （（2）如果不可约多项式）如果不可约多项式 是是 的的 重因重因式，则它是式，则它是 的因式，但不是的因式，但不是 的因式 （（3）不可约多项式）不可约多项式 是是 的重因式的充分必的重因式的充分必要条件是，要条件是， 是是 与与 的公因式，即的公因式，即 （（4）多项式）多项式 没有重因式的充分必要条件是没有重因式的充分必要条件是 与与 互素即 （（5）单因式化）单因式化设设 则则 与与 有完全相同的不可约因式，且没有重因式。
有完全相同的不可约因式，且没有重因式 3、判断多项式有无重因式的方法、判断多项式有无重因式的方法 第一步第一步 由由 求求 ，利用辗转相除法求出，利用辗转相除法求出 第二步第二步 如果如果 ，则，则 无重因式；如果无重因式；如果，则，则 的每一个不可约因式都是的每一个不可约因式都是 的的重因式如果要求出重因式如果要求出 的所有互异不可约因式，先的所有互异不可约因式，先计算计算则比则比 次数低且较简单的次数低且较简单的 的所有不可约因式即的所有不可约因式即是是 的所有互异不可约因式的所有互异不可约因式 第三步第三步 为确定为确定 的不可约因式的不可约因式 的重数的重数 只需累次（只需累次（ 次）用带余除法以次）用带余除法以 除除 及其商式，及其商式，直至不能整除，便知重数直至不能整除，便知重数 了。
了 例例1、设复系数非零多项式、设复系数非零多项式 没有重因式，证明：没有重因式，证明： 证证 因为因为 无重因式，所以无重因式，所以任取任取 与与 的公因式的公因式 ，则，则且且于是于是即即即即 是是 与与 的公因式，从而的公因式，从而 故 例例2、设、设 ，判断，判断 是是否有重因式，并求否有重因式，并求 的标准分解式的标准分解式 例例3、证明：数域、证明：数域P上一个上一个 次多项式次多项式 能能被它的导数整除的充分必要条件是被它的导数整除的充分必要条件是其中其中 证证 充分性充分性 因为因为所以所以 必要性必要性 法法1 利用典型分解式，设利用典型分解式，设 的典型分的典型分解式为解式为 其中其中 是是P上首项系数为上首项系数为1的不可约多的不可约多项式，项式， 是是 的首项系数，的首项系数， 是正整数且是正整数且则则此处此处 不能被任何不能被任何 整除。
整除 因为因为 ，所以，所以可见可见 可能的因式为非零常数及可能的因式为非零常数及但但故故 设设 ，则有，则有即得即得从而从而这只有这只有 ，且，且 ，于是，于是 设设 ，则有，则有 法法2 待定系数法待定系数法 设设则则 由由 及及 知，存在多项式知，存在多项式使使比较系数可得比较系数可得 ，此时，此时其中其中 ，于是，于是 ，即为，即为首项系数为首项系数为1的的 次多项式，故次多项式，故 所以所以 的不可约因式只能是的不可约因式只能是 及它的非零常数倍。
及它的非零常数倍由于由于 包括了包括了 的全部不可约因式，的全部不可约因式，考虑到考虑到 的次数是的次数是 ，所以，所以 具有形式具有形式（（ ）） 八、多项式函数与多项式的根八、多项式函数与多项式的根1、多项式函数的概念、多项式函数的概念 设设 若若 由多项式由多项式 确定确定P中唯一的数中唯一的数 与之对应，则称与之对应，则称 为为P上的一个多项式函数上的一个多项式函数 数域数域P上的两个多项式相等的充分必要条件是在它们上的两个多项式相等的充分必要条件是在它们所定义的数域上的多项式函数相等所定义的数域上的多项式函数相等 注注 在讨论多项式时，无论采用形式观点，还是函在讨论多项式时，无论采用形式观点，还是函数观点是统一的。
采用形式观点对统一处理多项式比较数观点是统一的采用形式观点对统一处理多项式比较方便；采用函数观点对研究多项式的根和方程理论比较方便；采用函数观点对研究多项式的根和方程理论比较直观 2、多项式的根、多项式的根 设设 ，如果，如果 ，则称，则称 为为 的一个根如果的一个根如果 是是 的的 重因式，则称重因式，则称 是是 的的 重根 注注 ① 多项式的根是用函数观点来定义的多项式的根是用函数观点来定义的 ② 根据多项式根的定义，数域根据多项式根的定义，数域P上的每一个数都是上的每一个数都是零多项式的根，而零次多项式没有根零多项式的根，而零次多项式没有根3、多项式函数的性质、多项式函数的性质 （（1）余数定理）余数定理 设设 ，用一次多项，用一次多项式式 去除去除 所得的余式是一个常数，并等于函数所得的余式是一个常数，并等于函数值值 注注 余数定理表明可以采用综合除法确定多项式余数定理表明可以采用综合除法确定多项式 在在 时的值时的值 或验证或验证 是是 的单根或重根，这的单根或重根，这比直接将比直接将 代入代入 计算要方便得多。
计算要方便得多 （（2）因式定理）因式定理 设设 的的充分必要条件是充分必要条件是 （（3）） 中中 次多项式在数域次多项式在数域P的根不可能多于的根不可能多于个（重根按重数计算）个（重根按重数计算）4、代数基本定理、代数基本定理 （（1）定理）定理 每个次数每个次数 的复系数多项式在复数域中的复系数多项式在复数域中至少有一个根至少有一个根 （（4）设）设 ，且，且 次数都不超次数都不超过过 如果对于如果对于 个不同的数个不同的数 有有则则 （（2）） 次复系数多项式在复数域内恰有次复系数多项式在复数域内恰有 个复根个复根（重根按重数计算）重根按重数计算） 5、根与系数的关系、根与系数的关系 设设 是一元是一元 次多项式次多项式（（ ））的的 个根，则根与多项式的系数之间有关系个根，则根与多项式的系数之间有关系…………………………… 6、实系数多项式的根、实系数多项式的根 如果如果 是实系数多项式是实系数多项式 的一个非实复数根，的一个非实复数根，则它的共轭数则它的共轭数 也是也是 的根，并且的根，并且 与与 有同一重有同一重数。
由此可知，奇数次实系数多项式必有实根由此可知，奇数次实系数多项式必有实根7、有理系数多项式的根、有理系数多项式的根 设设 是一个整系数是一个整系数多项式，而多项式，而 是它的一个有理根，其中是它的一个有理根，其中 互素，则互素，则必有必有 特别地，如果特别地，如果 的首项系数的首项系数 则则 的有理根都是整数，而且是的有理根都是整数，而且是 的因子 注注 ① 当有理系数多项式当有理系数多项式 在有理数域上不可在有理数域上不可约，且约，且 时，时， 没有有理根这里没有有理根这里 是必须的，如是必须的，如 有有理根，但有有理根，但 且且 不可约。
不可约 ② “有理系数多项式有理系数多项式 没有有理根，则没有有理根，则 在在有理数域上不可约有理数域上不可约这一命题当这一命题当 时是成时是成立的，但当立的，但当 时，命题不再成立，如时，命题不再成立，如 没有有理根，但它在有理数域上可约没有有理根，但它在有理数域上可约8、关于单位根、关于单位根 （（1）若）若 是方程是方程 的解，即满足的解，即满足 ，，则称则称 为一个为一个 次单位根次单位根 （（2）由于）由于 与它的微商与它的微商 互素，所以互素，所以 无无重根，故对任意自然数重根，故对任意自然数 ，恰有，恰有 个不同的个不同的 次单位根次单位根 （（3）利用复数的开方易知，）利用复数的开方易知， 个个 次单位根为次单位根为 例例1、当正整数、当正整数 取何值时，取何值时， 有有重因式。
重因式 解解 ，由重因式判定定理知，，由重因式判定定理知，有重因式的充分必要条件是有重因式的充分必要条件是 与与 不互素，即不互素，即 与与 有公共根有公共根 ，于是，于是即即从而从而可得可得这表明这表明 与与 都是都是 次单次单位根令令 ，则，则由由 得得所以所以 于是 ，即，即 是是3次单位次单位 根，故根，故 例例2、设、设其中其中 是整数，试求出使是整数，试求出使 有公共有理根的有公共有理根的全部全部 ，并求出相应的有理根并求出相应的有理根 解解 令令由于由于 与与 具有相同的根，从而可求具有相同的根，从而可求 与与 的的公共有理根公共有理根可能的有理根为：可能的有理根为：可能的有理根为：可能的有理根为：因此，它们可能的公共有理根的范围是因此，它们可能的公共有理根的范围是 （（1）当）当 时，得时，得解得解得由于由于 不是整数，所以不是整数，所以1不是不是 与与的公共有理根。
的公共有理根 （（2）当）当 时，得时，得解得解得由于由于 不是整数，所以不是整数，所以-1也不是也不是 与与的公共有理根的公共有理根 （（3）当）当 时，得时，得解得解得由于由于 不是整数，所以不是整数，所以 也不是也不是 与与的公共有理根的公共有理根 （（4）当）当 时，得时，得解得解得故仅有故仅有 是是 与与的公共有理根的公共有理根此时，此时， 例例2、试求、试求7次多项式次多项式 ，使，使 能被能被 整除，整除，而而 能被能被 整除 例例3、试求以、试求以 为根的有理系数的不可约多项为根的有理系数的不可约多项式。
式 解解 设设 ，且以，且以 为根，则为根，则也一定是也一定是 的根，这时令的根，这时令下证下证 在在 上不可约上不可约由于由于 如果有有理根，必为如果有有理根，必为 ，但，但 都不是都不是 的根这就是说这就是说 不可能分解为一个一次式与三次式之积不可能分解为一个一次式与三次式之积 其次，如果其次，如果 在在 上分解为两个二次式之积，上分解为两个二次式之积，则必可在则必可在 上分解为两个二次式之积，即上分解为两个二次式之积，即其中其中 ，比较两边系数得，比较两边系数得 ②①③④由式由式④知知 或或 当当 时，由式时，由式①得得 ，再由式，再由式②得得即即 ，但，但 是整数，矛盾。
是整数，矛盾 当当 时，得时，得 ，所以，所以 也不可能也不可能因此因此 不可能分解为两个二次式之积不可能分解为两个二次式之积综上所述，综上所述， 在在 不可约，即为所求不可约，即为所求 例例4、设、设R是实数域，是实数域，并且并且证明：证明： 与与 有相同的根有相同的根 证证 因为因为 ，故设，故设于是于是 ，这表明，这表明 的根一定的根一定是都是是都是 的根 反之，任取反之，任取 的一个根的一个根 ，即，即 ，则有，则有若若 不是不是 的根，则由上式有的根，则由上式有此即此即这与这与 矛盾。
矛盾故故 也是也是 的根，综上两步即证结论的根，综上两步即证结论 九、重要数域上多项式的因式分解九、重要数域上多项式的因式分解1、复数域上多项式的因式分解、复数域上多项式的因式分解 （（1）复系数）复系数 次多项式在复数域上都可以唯一次多项式在复数域上都可以唯一分解成一次因式的乘积换句话说，复数域上任一次数分解成一次因式的乘积换句话说，复数域上任一次数大于大于1的多项式都是可约的的多项式都是可约的 （（2）复数域上）复数域上 次多项式次多项式 具有典型分解式具有典型分解式其中其中 是是 的首项系数，的首项系数， 是不同的复数，是不同的复数，是正整数且是正整数且2、实数域上多项式的因式分解、实数域上多项式的因式分解 （（1）实系数）实系数 次多项式在实数域上都可以唯一次多项式在实数域上都可以唯一分解成一次因式与二次不可约因式的乘积换句话说，分解成一次因式与二次不可约因式的乘积换句话说，实系数多项式在实数域上不可约的充分必要条件是实系数多项式在实数域上不可约的充分必要条件是或或且且 （（2）实数域上）实数域上 次多项式次多项式 具有典型分解式具有典型分解式其中其中 是是 的首项系数，的首项系数， 是不同的实数，是不同的实数， 是互异的实数对，且满足是互异的实数对，且满足都是正整数，且满足都是正整数，且满足3、有理数域上多项式的因式分解、有理数域上多项式的因式分解 （（1）如果一个非零的整系数多项式）如果一个非零的整系数多项式 的各项系数的各项系数互素，则称互素，则称 是一个本原多项式。
是一个本原多项式 （（2）设）设 是任一有理系数多项式，则存在有理数是任一有理系数多项式，则存在有理数 及本原多项式及本原多项式 使使且这种表法除了相差一个正负号是唯一的且这种表法除了相差一个正负号是唯一的 （（3）高斯引理）高斯引理 两个本原多项式的乘积还是本原两个本原多项式的乘积还是本原多项式 （（4）如果一个非零整系数多项式能够分解成两个次）如果一个非零整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，则它一定能够分解成数较低的有理系数多项式的乘积，则它一定能够分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积两个次数较低的整系数多项式的乘积 （（5）设）设 是整系数多项式，是整系数多项式， 为本原多项式，为本原多项式，如果如果 ，其中，其中 是有理系数多项式，则是有理系数多项式，则 一定是整系数多项式一定是整系数多项式 （（6）在有理数域上存在任意次数的不可约多项式在有理数域上存在任意次数的不可约多项式。
例例1、设、设 是整系数多项式，是整系数多项式，若若 为奇数且为奇数且 中至少有一个是奇数或中至少有一个是奇数或 和和 都不能被都不能被3除尽，则多项式除尽，则多项式 无有理根无有理根 证证 若若 有有理根有有理根 ，其中，其中 与与 互素，则互素，则 因为因为s与与t 互素，互素， 是本原多项式因此是本原多项式因此 是整系数是整系数多项式 设设 是任意整数，则是任意整数，则 是整数，取是整数，取则有则有都是整数都是整数 又又因为因为 与与 都都 是奇数，从而是奇数，从而s与与t也都为奇数这样也都为奇数这样 都是偶数都是偶数从而从而 和和 是偶数，与假设矛盾。
是偶数，与假设矛盾 若若 都不能被都不能被3除尽，则除尽，则 也不能被也不能被3除尽于是于是 至少有一个能被至少有一个能被3除尽由前面的证明知由前面的证明知和和 至少有一个能被至少有一个能被3除尽，这也与假设矛盾除尽，这也与假设矛盾 因此，在两种情况下，因此，在两种情况下， 都没有有理根都没有有理根 例例2、设、设 是一个整系数多项式证明如果存在是一个整系数多项式证明如果存在一个偶数一个偶数 及一个奇数及一个奇数 ，使，使 与与 都是奇数，都是奇数，则则 没有整数根没有整数根 证证 设设 ，其中，其中 是整数，是整数， 由于由于 是偶数，而是偶数，而是奇数，从而是奇数，从而 为奇数这样，对任意偶数这样，对任意偶数 ，都有，都有是奇又又 为奇数，为奇数， 也也是奇。
是奇 对任意奇数对任意奇数 ，有，有 是偶数，是偶数， 因此因此是偶数 又又 为奇数，从而为奇数，从而 必为奇数必为奇数 这样，对任意整数这样，对任意整数 都是奇数，从而都是奇数，从而 即即 没有整数根没有整数根 1、多元多项式、多元多项式设设 是一个数域，是一个数域， 是是 个文字，式子个文字，式子称为一个单项式，一些单项式的和称为一个单项式，一些单项式的和称为称为 元多项式元多项式注意：（注意：（1）） 元多项式的次数，首项（字典排法）元多项式的次数，首项（字典排法）（（2）齐次成分表示法：）齐次成分表示法： 次多项式次多项式 可以表示可以表示为为其中其中 是是 次齐次多项式，次齐次多项式，十、化对称多项式为初等对称多项式的多项式十、化对称多项式为初等对称多项式的多项式 2、对称多项式的概念、对称多项式的概念 设设 为数域为数域P上的上的 元多项式。
如果任元多项式如果任意交换两个文字，多项式均不变，即对意交换两个文字，多项式均不变，即对都有都有则称则称 为数域为数域P上的一个上的一个 元对称多项式元对称多项式 下列下列 个对称多项式称为个对称多项式称为初等对称多项式初等对称多项式…………………… 2、对称多项式的有关结论、对称多项式的有关结论 （（1）对称多项式的和、乘积仍为对称多项式；对）对称多项式的和、乘积仍为对称多项式；对称多项式的多项式仍为对称多项式称多项式的多项式仍为对称多项式 （（2）对称多项式基本定理）对称多项式基本定理 设设 是数域是数域P上的上的 元对称多项式，则存在唯一的元对称多项式，则存在唯一的 元多项式元多项式使得使得其中其中为初等对称多项式为初等对称多项式3、将对称多项式表为初等对称多项式的多项式的方法、将对称多项式表为初等对称多项式的多项式的方法方法方法1 逐步消去首项法逐步消去首项法 第一步第一步 首先找出对称多项式首先找出对称多项式 的首项的首项则一定有则一定有 第二步第二步 由由 的首项写出的首项写出 ：： 第三步第三步 作作 ，并展开化简。
并展开化简再对再对 按第一、二、三步进行，构造按第一、二、三步进行，构造 ，如此，如此反复进行，直至出现反复进行，直至出现 ，则，则 第一步第一步 根据根据 的首项指标组写出可能的指标组的首项指标组写出可能的指标组这些指标组应满足这些指标组应满足①②③前面的指标组先于后面的指标组前面的指标组先于后面的指标组 第二步第二步 由指标组由指标组 写出对应的初等对称写出对应的初等对称多项式的方幂的乘积多项式的方幂的乘积方法方法2 待定系数法待定系数法 设设 是是 次齐次对称多项式次齐次对称多项式 第三步第三步 设出设出 由所有初等对称多项式的方幂的乘由所有初等对称多项式的方幂的乘积的线性表达式，其首项系数即为积的线性表达式，其首项系数即为 的首项系数，其余的首项系数，其余各项系数分别用各项系数分别用 代替 第四步第四步 分组选取适当的分组选取适当的 的值，计的值，计算算 及及 ，代入第三步中设出的表达式得到，代入第三步中设出的表达式得到关于关于 的线性方程组，解这个线性方程组求得的线性方程组，解这个线性方程组求得的值，最后写出所求的的值，最后写出所求的 的表达式。
的表达式 例例1、化对称多项式、化对称多项式为初等对称多项式的多项式为初等对称多项式的多项式的和，可分别化的和，可分别化 与与 为初等对称多项式的多项式为初等对称多项式的多项式 解解 是由两个齐次对称多项式是由两个齐次对称多项式 法法1 由于由于所以所以 法法2 逐步消去首项法逐步消去首项法 的首项为的首项为 ，作，作则则从而从而解法解法1是非常特殊的方法，往往要经是非常特殊的方法，往往要经过复杂的变形，技巧性较高过复杂的变形，技巧性较高还可求得还可求得故故 又又 的首项为的首项为 ，作，作 则则而而 的首项为的首项为 ，作，作 ，则，则从而从而故故 解法解法2是采用对称多项式基本定理证明过程中的方法，是采用对称多项式基本定理证明过程中的方法，当对称多项式的次数较高时，计算比较麻烦。
当对称多项式的次数较高时，计算比较麻烦 法法3 待定系数法待定系数法 的首项为的首项为 ，写出不先于首，写出不先于首项的所有指数组及相应的初等对称多项式方幂的乘积如项的所有指数组及相应的初等对称多项式方幂的乘积如下表：下表： 指数组指数组对应对应 的方幂乘积的方幂乘积这是一个恒等式，为了确定待定系数这是一个恒等式，为了确定待定系数 ，取，取则则这样，这样， 可表成可表成①代入代入①解得解得 ，于是，于是 又又 的首项为的首项为 ，写出不先于首项的六次所，写出不先于首项的六次所有指数组及相应的初等对称多项式方幂的乘积如下表：有指数组及相应的初等对称多项式方幂的乘积如下表： 指数组指数组对应对应 的方幂乘积的方幂乘积则则 取取 等于一些特殊值，经计算可解得等于一些特殊值，经计算可解得于是于是故故 解法解法3是一种常用的方法，但必须注意：是一种常用的方法，但必须注意：①此方此方法仅适用于齐次对称多项式；法仅适用于齐次对称多项式；②注意指数组应满足的注意指数组应满足的条件；条件；③在选取文字的值时，应尽可能使待定系数容在选取文字的值时，应尽可能使待定系数容易求出。
易求出 例例2、已知、已知 的的 个根为个根为 ，求，求 。