彩票中的数学知彩票中的数学知识识排列排列一、加法原一、加法原则则和乘法原和乘法原则则在求排列组合时，经常要用到两条原则----加法原则和乘法原则先看下面的问题：从甲地到乙地，可以乘火车，可以乘汽车，也可以乘轮船一天中，火车有 4 班，汽车有 2 班，轮船有 3 班问从甲地到乙地共有几种走法？解：因为乘火车有 4 种走法，乘汽车有 2 种走法，乘轮船有3 种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，因此从甲地到乙地共有 4+2+3=9 种不同的走法一般地，有如下的原则：加法原则：完成一件事，有 n 类办法，在第一类办法中有 m1种不同的方法，在第二类办法中有 m2种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn种不同的方法那么，完成这件事共有N＝m1十 m2十……十 mn种不同的方法再看下面的问题：从甲地到丙地必须经过乙地，从甲地到乙地有 A，B，C，D四条道路；从乙地到丙地有 H，I，J 三条道路问从甲地到丙地共有几种走法？因为从甲地到乙地有 4 种走法，而采用每一种走法走到乙地后，又可有 3 种走法到丙地所以共有 4*3=12 种不同的走法一般地，有如下的原则：乘法原则：完成一件事，有 n 个步骤，第一步有 m1种不同的方法，第二步有 m2种不同的方法，……，第 n 步有 mn种不同的方法，必须通过每一步骤，才算完成这件事，那么完成这件事共有 N＝m1×m2×……×mn种不同的方法。
二、排列知二、排列知识识（一）无重复的排列例：由数字 1，2，3，4 可以组成多少个没有重复数字的三位数?解：题中所指“没有重复数字”就是三位数中的三个数字不能是同一数字根据题意第一步，确定百位上的数字在 1，2，3，4 这四个数字中任取一个，共有 4 种方法；假设我们取 3 作为百位数第二步，确定十位上的数字当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数字中 1，2，4 中去取，共有 3 种方法；假设我们取 2 作为十位数第三步，确定个位上的数字当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下的两个数字 1 和 4 中去取，共有2 种方法根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有 4×3×2＝24 种就是说，共可以排成 24 个不同的三位数定义 1：一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m(m＜＝n)个元素(这里只研究被取出的元素各不相同的情况)，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出个 m 元素的一个排列从排列的定义知道，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素相同，而且排列的顺序也必须完全相同如果所取的元素不完全相同，如问题中的三位数“123”和“321”，虽然它们的元素相同，但排列顺序不同，也是两个不同的排列。
二）有重复的排列上一讲我们讨论的排列中是不允许有重复的元素，但是很多情况下我们碰到的是有重复元素的问题，所以有必要对此作一下讨论在定义前，我们先看一下下面的例子：例：由 1－9 这九个数字，共可组成多少个六位数？（每个位置上的数字可以重复）解：1，先确定十万位上的数字在 1－9 这九个数字中任取一个，共有 9 种方法2，确定万位上的数字在 1－9 这九个数字中任取一个，还是有 9 种方法3，千位，百位，十位和个位上的数字取法如上，都为 9种4，根据乘法原理，共有 9×9×9×9×9×9＝531441 种取法定义 2：一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m(m＜＝n)个元素(元素可以重复），按照一定的顺序排成一列，叫做有重复的排列在我们身边， “数字型彩票”就是属于有重复的排列它的游戏规则大家肯定不会陌生，是从 0－9 这 10 个数字中任取 6 个数字组成一个六位数，然后从 0－4 这 5 个数字中任取 1 个数字作为特别号码只不过这个六位数和数学意义上的六位数有些不同，它允许 0 作为十万位上的数字由上述的定义 2，不难算出“数字型彩票”共有每次开奖共有特别号码个数×106种，即五百万个不同的开奖号码。
三）排列数的计算公式前面两讲中我们讨论的是一些比较简单的排列问题，可以用穷举的方法来解决但对于一些相对较复杂的问题，就不能这样做了，需要根据具体的计算公式来解答定义 3：从 n 个不同元素中，任取 m(m＜＝n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 P(m,n)表示例如：从 5 个不同元素中取出 3 个元素的排列数表示为P(3,5)求排列数 P(m,n)可以这样考虑：设有 n 个元素m1，m2，...，mn从其中先任选 1 个元素排在第一个位置，因为m1，m2，...，mn中任选 1 个都可以，所以有 n 种方法；排在第二个位置的元素，是除了选作第一位的元素以外的n-1 个元素中再任选一个，所以有 n-1 种方法；这样下去，选第三个，第四个......第 m 个位置的元素的方法，数目分别是 n-2,n-3,...,n-(m-1)根据乘法原则，它们的总数是这 m 个排列方法的数目的积，即 n(n-1)(n-2)*...*(n-m+1),所以 P(m,n)=n(n-1)(n-2)*...*(n-m+1)这里 m<=n这就是说，从 n 个元素中每次取出 m 个元素，所有的排列总数等于 m 个连续自然数的积，其中最大的一个数是 n，这个公式叫做排列数公式。
当 m=n 时，叫做 n 个不同元素的全排列四）排列数计算公式的应用学习了排列数的计算后，我们基本可以解决所有只牵涉到排列的问题看一下下面的这两个例子例 1：红，黄，蓝三种颜色不同的旗，按不同的次序排成一列表示信号，可以单用一面，或两面，三面并用，问一共可以表示多少不同的信号？解：一面组成的信号有 P(1,3)种；两面组成的信号有 P(2,3)种；三面组成的信号有 P(3,3)种根据加法原则，得：P(1,3)+P(2,3)+P(3,3)=3+3*2+3*2*1=15(种)例 2：有一分，两分，五分的硬币各若干枚从中挑出 1-3 枚硬币表示一种代号可以只用一枚，也可用两枚，也可用三枚，允许重复挑选问一共有多少种不同的代号？解：这个问题要根据元素重复的排列计算公式来解决一枚表示的代号有 31种，两枚表示的代号有 32种，三枚表示的代号有 33种根据加法原则，得：31+32+33=3+9+27=39（种）三、三、组组合知合知识识（一）组合的性质让我们先看一下下面的例子：例：北京--天津--上海三个民航站的直达航线，一共有几种不同的飞机票价？解：因为北京--上海，上海--南京，南京--北京三条航线的距离各不相同，所以有 3 种不同的飞机票价。
这个问题与需要准备几种不同的飞机票是不同的飞机票的总数，与两个城市的先后顺序有关，这是一个排列问题；而票价只与两个城市的距离有关，与两个城市的先后顺序无关，因此可以看作是从三个不同的元素中任选两个，不管怎样的顺序并成一组，求一共有多少个不同的组，这就是我们要研究的组合问题定义：一般地说，从 n 个不同元素里，每次取出 m(1<=m<=n)个元素,不管怎样的顺序并成一组，叫做从 n 个元素里每次取出m 个元素的组合例如：从 3 个元素 a,b,c 里每次取出 2 个元素的组合，就是指下列三种组合 ab,ac,bc由组合的定义可以知道，如果两种组合里所含的元素完全一样，只是排列的顺序不同，如 ab 和 ba，那么它们仍是相同的组合由此可知，组合和排列是不同的排列和元素排列的顺序有关，但是组合和这种顺序没有关系二）组合数的计算公式由于组合数的计算公式的推导过程比排列要麻烦，所以我们这里略去复杂的推导过程，直接给出组合数的计算公式定义：从 n 个不同元素中取出 m(m<=n)个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 C(m,n)表示C(m,n)=n*(n-1)*...*(n-m+1)/(1*2*...*m)当 m=n 时，C(m,n)=1。
注：注：C(m,n+1)=C(m,n)+C(m-1,n)让我们来看下面这个例题：例：有七个人进行乒乓球比赛，采用单循环制，即每两人之间要进行一场比赛问共要进行多少场比赛？解：这个问题等同于从 7 个不同的元素中选取 2 个元素的所有组合个数所以比赛场数等于 C(2,7)=7*...*(7-2+1)/(1*2)=7*6/2=21三）组合的推广定义 1:若 r1+r2+......+rk=n，把 n 个不同的元素分成 k 个部分，第一部分 r1个，第二部分 r2个，......，第 k 部分 rk个，则不同的分法有：n!/(r1!*r2!*......*rk!)种这里 n!叫做 n 的阶乘，它的值为 n！=1*2*......*n；定义 2:若 n 个元素中有 n1个具有特性“1”，n2个具有特性“2”，......，nk个具有特性“k”，且 n1＋n2＋......＋nk＝n，从这 n 个元素中取出 r 个，使得具有特性“i”的元素有 ri个(1<=i<=k)，而r1＋r2＋......＋rk＝r，这时不同的取法的总数为：C(r1， ，n1)*C(r2， ，n2)*......*C(rk， ，nk)，这里要求 ri<=ni。
例：有 10 个砝码，其重量分别为 1 克，2 克，......，10 克，从中取出三个；要求取出的三个砝码，一个小于 5 克，一个等于 5克，一个大于 5 克问共有多少种不同的取法？解：由上述的定义 2，我们认为 1 克－4 克的砝码具有特性“1”，5 克的砝码具有特性“2”，6 克－10 克的砝码具有特性“3”从这 10 个砝码中取出三个，具有特性“1”、特性“2”、特性“3”的各取一个，则不同取法总数为：C(1，4)*C(1，1)*C(1，5)＝4*1*5＝20(种)概率概率一、随机事件的概率一、随机事件的概率在现实生活中，我们会遇到各种事件有些事件在一定条件下是必然发生的如将一枚硬币向上抛，它必然会受到地球引力而下落;标准大气压下，水煮到 100 摄氏度必然会沸腾这种在一定条件下，在每次实验中必然会发生的事件，叫做必然事件与此相反，在一定条件下，在每次实验中都不会发生的事件，叫做不可能事件此外，还有一些事件，如掷一枚硬币，正面向上还是反面向上;射击时，是中靶还是脱靶;某一天，有可能下雨，也有可能不下雨等事件在一定条件下是否发生，不能预先确定这种在一定条件下，在每次实验中，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件。
事件一般用大写字母 A，B，C 等来表示随机事件在一次实验中是否发生虽然不能预先确定，但是在大量重复实验的情况下，它的发生还是能呈现出一定的规律性例如，对生产的一批乒乓球进行质量抽查，结果如下表所示:抽取球数 n5010020050010002000优等品数 m45921944709541902m/n0.900.920.970.940.950.95我们看到，当抽查的球数很多时，每批抽到优等品的个数 m与抽取的球数 n 的比，接近于常数 0.95在上例中，我们把抽到优等品的次数看作事件 A 出现的次数一般地，在大量重复进行同一实验时，事件 A 发生的频率m/n 总是接近于某个常数，m/n 在它附近摆动这个常数叫做事件 A 的概率，记作 P(A)概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，虽然我们第一次接触到这个概念，但在我们的周围，经常应用概率知识，如天气预报中的降水概率，上班的出勤率等由于任何重复实验中事件 A 出现的次数 m 总不可能大于实验次数 n，所以事件 A 的概率 P(A)都满足：0<=P(A)<=1很明显，必然事件的概率是 1；不可能事件的概率是 0二、等可能事件的概率二、等可能事件的概率随机事件的概率，一般可以通过大量重复试验得出其近似值。
但对于某些随机事件，也可以不通过重复试验，而通过对一个试验中可能结果的分析来求出其概率例如，掷一枚硬币，如果出现正面叫做事件 A，出现反面。