第四讲印度数学与阿拉伯数学印度地图背景：古印度概况古代印度文明是世界主要文明之一 ，位于亚洲南部次大陆，包括今天印度 河与恒河流域的印度、巴基斯坦、孟加 拉、尼泊尔、斯里兰卡、不丹、锡金等 国印度文明最早可以上溯到公元前3500 年左右居住在印度河流域的达罗毗荼（ pí tú）(dravidians)人的哈拉帕 (harappa)青铜文化大约到了公元前1500年左右，中亚游 牧民族雅利安（aryans）人入侵印度， 征服了达罗毗荼人公元前1400至公元 前1000年，雅利安人向东扩张，控制了 恒河流域公 元前500年前后，恒河下 游的摩揭陀国统一印度北方大约在公 元前7世纪形成了婆罗门教，随后在公 元前5-6世纪前后有又出现了佛教和蓍 （sh ī）那教公元前518年波斯帝国侵 占印度，使印度成为其一个辖区公元前327年，马其顿王亚历山大大 帝在灭波斯帝国后入侵印度河上游地区 ，建立莫尔雅帝国(maurya empire)，并 立即扩张到全印度以及中亚西亚的一些 地区公元前321年旃（zh ā n）陀罗笈 多（护月王，bc321-bc297）赶走马其顿 人，推翻难陀（nanda）王朝，建立孔 雀王朝，从而再次统一印度北方，恢复 到印度人自己的统治时代。
除公元前304 年的西亚的塞流西（seleucid）王国入侵 并很快媾和外，孔雀王朝国势强盛，至 阿育王（aaoka,bc268-232年在位）达到 极盛此时东印度河流域在摩揭陀国的难陀 王朝统治下基本统一至公元前187年， 孔雀王朝为巽加(sunga)王朝所取代公元前165年前后被匈奴人击败西迁的 大月氏人，于公元1世纪在中亚建立贵霜 帝国，很快占领印度北部的广大地区 公元320年左右，摩揭陀国的另一旃陀罗 笈多一世建立笈多王朝(gupta，320-535) 统治北印度，印度进入封建社会时代从5世纪始，印度文明又不断受到 其它民族的侵占，先是5世纪的白匈奴 人入侵，继而阿拉伯人于711年攻占印 度河下游的信德；到了10世纪，信奉伊 斯兰教的突厥人建立的迦色尼（ ghaznavid）王朝和古尔（ghurid）王 朝 (阿富汗）先后统治印度，不久印度 进入德里苏丹国时期13、14世纪又遭 受蒙古人的侵扰，成吉思汗后裔建立的 帖木儿帝国于1398年攻入印度，后于16 世纪在印度建立了莫卧儿帝国18世纪以后，莫卧儿帝国国势危弱， 常受波斯、阿富汗等国的侵掠，后来英 国人乘虚而入，1757年印度沦为英国殖 民地，最终莫卧儿帝国于1857年灭亡。
1、印度数学（公元5－12世纪）印度数学分为河谷文化时期（约公元前 3000－前1400年）、吠陀时期（约公元前10 －前3世纪）、悉檀多时期（公元5－12世纪 ）雅利安人大约在公元前2000年纪中叶出现 在印度西北部，逐渐向南扩张雅利安（梵 （fàn）文，原意是“高贵的”或“土地所有者” ）人入侵印度，征服了土著居民达罗毗荼人 ，影响逐渐扩散到整个印度，在到达以后的 第一个千年里，创造了书写和口语的梵文， 在印度创立了更为持久的文明吠陀教也是 雅利安人创造的，这是印度最古老而又有文 字记载的宗教可以说，古代印度的文化便 是根值于吠陀教和梵语之上如果说希腊数学与其哲学密切相关， 那么古代印度数学则更多地受到其宗教 的影响雅利安人建立的婆罗门教（公 元4世纪后改革为印度教），以及稍后 （公元6世纪）兴起的佛教、蓍那教等 ，形成了古代印度数学发展的浓厚的宗 教色彩由于达罗毗荼人的象形文字至今不 能阅读，所以对于这一时期印度数学的 了解得很少，印度数学最早有可考文字 记录的是吠陀时代，其数学资料混杂在 婆罗门教的经典《吠陀》中，年代很不 确定1.1 吠陀时期（公元前10－前3世纪）《吠陀》（梵文，意为知识、光明）是印度 雅利安人的作品，成书于公元前15－前5世纪， 历时1000年左右，婆罗门教的经典，其中的《绳 法经》（前8－前2世纪）是《吠陀》中关于庙宇 、祭坛的设计与测量的部分。
释迦牟尼（公元前 565－公元前486年）传扬佛教时期，佛教是古印 度的迦毗罗卫国（今尼泊尔境内）王子乔达摩·悉 达多所创，因父为释迦族，得道后被尊称为释迦 牟尼也就是“释迦族的圣人”的意思，门徒称他为 佛），包含几何、代数知识，如毕达哥拉斯定理 、圆周率的近似值等《吠陀》手稿（毛里求斯，1980）l 印度雅利安人的作品 ，《绳法经》出现在吠 陀时代，包含毕达哥拉 斯定理等数学知识印度数学概述阿育王（在位年代约为公元前268－前 232年）是印度第一个信奉佛教的君主，阿育 王石柱（尼泊尔，1996）记录了现在阿拉伯数 字的最早形态公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学 ，可参考的资料主要是1881年发现的书写在桦 树皮上的“巴克沙利手稿”（巴克沙利当时和古 代大部分时间属于印度，今天位于巴基斯坦西 北部距离白沙瓦约80公里处的一座村庄），其 数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数 列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、 代数方程等，出现了完整的十进制数码，其中 有“•”（点）表示0，后来逐渐演变为现在通用 的“0”阿育王石柱（尼泊尔，1996 ）l 阿育王是印度第一个 信奉佛教的君主l 阿育王石柱记录了现在 阿拉伯数学的最早形态上述过程至迟于公元9世纪已完成，有公元876年的“ 瓜廖尔石碑”为证，这是印度数学的一大发明。
巴克沙利手稿出现了完整的十进制数字瓜廖尔石碑记有明白无疑的数字“0”， 用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度 数学的一大发明印度头等重要的天文学著作，无名氏著的 《苏利耶历数全书》（梵文，意思是太阳 的知识，相传为太阳神苏利耶所著）大约 是公元5世纪所写（1860年被译为英文） 印度数学从这个时期开始对天文学比对 宗教更有用 1.2 “悉檀多”时期（公元5世纪－12世纪） 悉檀多是梵文，佛教术语，为“宗”或“体 系”之意，意译为“历数书”这是印度数 学的繁荣鼎盛时期，是以计算为中心的实 用数学的时代，数学贡献主要是算术与代 数，出现了一些著名的数学家w 1.2.1阿耶波多（公元476－约550年） 在印度的科学史上有重要的影响的人物， 最早的印度数学家，499年天文学著作《 阿耶波多历数书》（圣使天文书）传世 （相当于祖冲之《缀术》的年代），最 突出之处在于对希腊三角学的改进,制作 正弦表（sine一词由阿耶波多称为半弦 的jiva演化而来），和一次不定方程的 解法阿耶波多获得了π的近似值3.1416 （与刘徽所得的近似值相当），建立了 丢番图方程求解的“库塔卡”（原意为“ 粉碎”）法。
l 最早的印度数学 家：阿耶波多（476 －约550年）l 499年《阿耶波多 历书》(圣使天文书)“阿耶波多号”人 造卫星（印度，1975）l π的近似值值3.14161.2.2 婆罗摩笈多（598－约665年）在这段时间（中国的隋唐时期），整个世界 （无论东方还是西方）都没有产生一个大数学家 婆罗摩笈多出生在印度的7大宗教圣城之一的 乌贾因，并在这里长大婆多摩笈多成年以后， 一直在故乡乌贾因天文台工作，在望远镜出现之 前，它可谓是东方最古老的天文台之一628年 发表天文学著作《婆罗摩修正体系》（宇宙的开 端），这是一部有21章的天文学著作，其中第12 、18章讲的是数学，分数成就十分可贵，比较完 整地叙述了零的运算法则，丢番图方程求解的“ 瓦格布拉蒂”法，即现在所谓的佩尔（英，1611 －1685年）方程的一种解法乌贾因天文台l 婆罗摩笈多（598－约 665年）l 628年《婆罗摩修正 体系》(宇宙的开端)1.2.3婆什迦罗Ⅱ（1114－1188年）印度古代和中世纪最伟大的数学家、天 文学家婆什迦罗，出生于印度南方的比德 尔，成年后来到乌贾因天文台工作，成为 婆多摩笈多的继承者，后来还做了这家天 文台的台长。
古印度数学最高成就《天文系统之冠》（ 1150年，中国的南宋时期），其中有两部 婆什迦罗的重要数学著作《算法本源》、 《莉拉沃蒂》婆什迦罗号”人造 卫星（印度第二颗 卫星）（1979）l 婆什迦罗Ⅱ（1114－1188年 ）l 印度数学最高成就 《天文系统极致》l 《莉拉沃蒂》《算法本源》主要探讨代数问题《莉拉沃蒂 》（原意“美丽”）从一个印度教信徒的祈祷开 始展开，讲的是算术问题，流传着一个浪漫的 故事 《莉拉沃蒂》中的一个算术问题：带着微笑眼 睛的美丽少女，请你告诉我，按照你的理解的 正确反演法，什么数乘以3，加上这个乘积的 3/4，然后除以7，减去此商的1/3，自乘，减去 52，取平方根，加上8，除以10，得2？根据反 演法，从2这个数开始回推，于是（2•10－8） ^2＝144，144＋52＝196， ＝14，14•（3/2） •7•（4/7）/3=28，答案是28由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天 文学和数学受外来文化影响较深，但印度数 学始终保持东方数学以计算为中心的实用化 特点现代初等算术运算方法的发展，起始 于印度，可能在大约10、11世纪，它被阿拉 伯人采用，后来传到欧洲，在那里，它们被 改造成现在的形式。
这些工作受到15世纪欧 洲算术家们的充分注意 与算术和代数相比，印度人在几何方面的工 作则显得薄弱此外，印度人用诗的语言来 表达数学，他们的著作含糊而神秘（虽然发 明了零号），且多半是经验的，很少给出推 导和证明2、阿拉伯数学（公元8－15世纪） 2.1 背景：阿拉伯简况阿拉伯帝国的兴盛被认为是人类历史上最 精彩的插曲之一，这当然与先知穆罕默德（公 元570－632年）的传奇经历有关穆罕默德 570年出生在阿拉伯半岛西南部的麦加麦加 当时是一个远离商业、艺术和文化中心的落后 地区，穆罕默德在极其艰苦的条件下长大成人 25岁那年，由于他娶了一位富商的遗孀，经 济状况才得到改善直到40岁前后，穆罕默德 的生命才有了奇妙的变化穆罕默德领悟到有 且只有一个全能的神主宰世界，并确信真主安 拉选择了他作为使者，在人间传教中东地区地图§ 穆罕默德(570－632) § 《古兰经》 § 《圣训》 阿拉伯数学提要阿拉伯科学( 突尼斯, 1980)阿拉伯数学提要穆罕默德610年在麦加创立了伊斯兰教， 至632年一个以伊斯兰教为共同信仰、政教合 一，统一的阿拉伯国家出现于阿拉伯半岛这 就是伊斯兰教的来历，它在阿拉伯语里的意思 是“顺从”，其信徒叫穆斯林（信仰安拉、服从 先知的人）。
四大哈里发时期（632－661年）：632年穆罕 默德逝世后，他的最初四个继任者，哈里发为 阿拉伯文的音译，意为真主使者的“继承人”以“圣战”为名进行大规模的武力扩张 ，为阿拉伯帝国的建立奠定了基础大 约在650年，依据穆罕默德和他的信徒所 讲的启示辑录而成的《古兰经》（伊斯 兰教的最根本经典，伊斯兰教义的最高 准则和纲领，伊斯兰教法的立法依据， 由先知穆罕默德从610－632年历时22年 的传教过程中陆续颁布的）问世，被穆 斯林认为是上天的启示《圣训》（穆罕默德阐释《古兰经》和 实践伊斯兰教理的言行录）中说：学问 虽远在中国，亦当求之倭（wō）马亚王朝时期（661－750年 ）：主要支持者是叙利亚和埃及的大贵 族，因此他们把首都迁至大马士革，遵 奉伊斯兰教的逊尼派（正统派），崇尚 白色，中国史籍称“白衣大食”倭马亚 王朝发动大规模的对外战争，版图东起 印度西部，西至西班牙，北抵里海和中 亚，南达北非，成为地跨亚、非、欧三 大洲的庞大帝国迄今为止，这可能是 人类历史上最大的帝国倭马亚王朝的不断扩张和森严的等 级统治逐渐激起了尖锐的阶级矛盾各 教派和各族人民的反抗斗争不断发生 在今天的伊朗一带崛起了一个新的教派 ——阿拔斯派。
他们利用东方各地人民 起义的力量推翻了倭马亚王朝的统治， 750年，盛极一时的“白衣大食”灭亡了 阿拔斯王朝时期（750－1258年）： 阿拉伯帝国第二个封建王朝，因其旗帜 尚黑，中国史籍称“黑衣大食”750年 ，由阿拉伯。