word第二章 一阶微分方程的初等解法教学目的1.掌握一阶微分方程的初等解法；2.掌握一阶齐次线性微分方程的解法；3.掌握一阶非齐次线性微分方程的常数变易法；教学重点、难点1. 一阶非齐次线性微分方程;教学时数 16学时§2.1 变量别离方程与变量替换教学目的1.掌握可别离变量方程的解法；2.掌握齐次型方程的解法教学重点、难点可化为齐次型方程的解法；教学时数 4学时教学过程2.1.1 变量别离方程形如的方程称为变量别离方程如果j(y)¹0，可将方程变形为：两边积分，可得：例1 求解方程解：变量别离,两边积分有：可得通解为.例2 求解方程解：变量别离 ，两边积分得：即()所以通解为(k > 0为任意常数)考虑初始条件 t=0 时,x(0)=x0, y(0)=y0代入得：即解为或.例3 求解人口增长的logistic模型.解：变量别离得两边积分得：化简得得将初始条件t=0 时,N(0)=N0代入得从而可得通解为.例4 求以下方程的通解,其中P(x)是x的连续函数. 解：变量别离得两边积分得，即即或课堂练习：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.1.2 可化为变量别离方程的类型情形1称为齐次方程, g是连续函数.作变量替换,如此y=ux，如此有如此方程化为变量别离得例5 求解方程解：作变量替换,如此方程化为,即变量别离得：两边积分得，即或例6 求解方程解：改写方程，令,如此y=ux, 即从而方程化为：，别离变量得：两边积分得： 即：故解为,或y=0.形如2①方程可化为,通解为②,可令,如此有为变量别离方程,可求其解.③a. c1=c2=0, 此时方程可化为情形1 的类型,可求其解.b. c1,c2不全为零,考虑作变换x=X+a, y = Y +b,使原方程化为上述a的情形将X=x-a,Y=y-b代入原方程有令这是关于变量a, b的二元一次方程组,可求出a, b的值后,将原方程化为的情形,即可转化为情形a.例7 求解方程解：先解方程组可得x=1,y=2.作变量替换:X=x-1,Y=y-2;即x=X+1,y=Y+2,代入原方程可得令,即Y=ux,,原方程化为两边积分可得即将X=x-1,Y=y-2代回可得整理可得.2.1.3 应用举例例8 电容器的充电和放电。
如图RC电路：R21CEuC找出电容充、放电过程中，电容C两端的电压uC随时间t的变化规律解：充电时，由闭合电路的基尔霍夫定律，有电量即得别离变量得：两边积分得：从而，由t=0时，uC=0，代入后可得例9 按照灯反射镜面的形状在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状解： 取光源所在处为坐标原点，而x轴平行于光的反射方向(如图)设所求曲面由曲线绕x轴旋转而成，如此求反射镜面的问题归结为求Oxy平面上的曲线y=f(x)的问题PM(x,y)QSNTaOxyL可知，ÐONM=ÐTMS=ÐNMO=ÐPMQ=a， 所以|OM|=|ON|而，|OP|=x， |MP|=y， |OM|=所以可得方程：即：可求解得平面曲线方程为：从而旋转曲面方程为旋转抛物面：.作业：P421．〔3〕~〔6〕2．〔2〕，〔3〕§2.2 线性微分方程与常数变易法教学目的1.掌握一阶齐次线性微分方程的解法；2.理解一阶非齐次线性微分方程常数变易法教学重点、难点一阶非齐次线性微分方程的解法；教学时数 4学时教学过程一阶线性微分方程形如：假如Q(x)＝0如此方程化为：，称为一阶齐次线性微分方程；否如此称为一阶非齐次线性微分方程。
一阶齐次线性微分方程的通解为：对于一阶非齐次线性微分方程，使用常数变易法：设为其一个解，其导数为：代入原方程得即积分可得：从而可得原方程通解为：例1 求方程的通解.解：方程变形为:(1)常数变易法齐次型方程的通解为:设非齐次型方程的解为:y=C(x)(x+1)n 如此有：代入方程中可得即：，化简得：，即：从而原方程的通解为:y=(ex+c)(x+1)n.(2)公式法例2 求方程的通解.解：方程变形将x视为函数, yP=2/y, Q= -y.对应齐次型方程为易知其通解为: 设非齐次型方程的解为: 如此有原方程化为即从而原非齐次型方程的通解为伯努利方程形如：的方程(n¹0,1).方程两端除以yn,可得令z=y1-n，如此，即：代入原方程有这是一阶线性微分方程,可求解.例3 求方程的通解.解：两边除y2 得:令 z=1/y, 如此有原方程可化为:这是非齐次线性方程,记 P= -6/x, Q=x;如此可由通解公式求方程通解为:即从而原方程通解为作业:P491．(2),(3),(4),(5),(7),(11)§2.3 恰当方程教学目的1.理解恰当方程的概念；2.掌握恰当方程的解法教学重点、难点恰当方程的积分因子法；教学时数 4学时教学过程2.3.1 恰当微分方程将一阶微分方程写成如下形式其中M(x,y)与N(x,yu(x,y)的全微分,即 du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy如此称此方程为恰当方程。
恰当方程的充分必要条件是:由此有 如果 j(y) 能求,如此解即已求出.另外,有关系式即从而积分可得从而可得所以原方程的通解是:例1 求(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0的通解.解：记M=3x2+6xy2, N=6x2y+4y3.如此有所以方程是恰当方程.因此而从而即j(y)=y4从而u=x3 + y4 + 3x2y2.所以方程的通解为: x3 + y4 + 3x2y2=C.常用全微分公式:例2 用“分项组合〞的方法，求解例1.(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0拆项: 3x2dx +6xy2dx+6x2y dy +4y3dy=0dx3 + dy4 + 3y2dx2 + 3x2dy2 =0d(x3 + y4 + 3x2y2)=0所以通解为: x3 + y4 + 3x2y2=C.例3 求解方程.解：记检验是否恰当方程：.所以方程是恰当方程,对方程重新分项组合:所以方程通解为2.3.2 积分因子引入积分因子将非恰当方程转化为恰当方程.如果存在连续可微的函数m＝m(x,y)¹0,使得m(x,y) M(x,y)dx + m(x,y) N(x,y)dy =0为恰当方程，如此称m(x,y)为方程M(x,y)dx + N(x,y)dy =0的积分因子.此时,相当于存在函数v(x,y),使m(x,y) M(x,y)dx + m(x,y) N(x,y)dy =dv(x,y)亦即 v(x,y)=C 为上述方程的通解. 积分因子存在且不唯一.所以,由于积分因子的不同可导致通解的形式不同.由恰当方程的充要条件：即：欲想在上述方程中求解出m(x,y)比拟困难.因此寻找特殊的积分因子,假如积分因子只与x有关,如此充要条件变为:或由此可知方程存在只与x有关的积分因子的充要条件为如此,由此可求出方程的积分因子为.同理,方程存在只与y有关的积分因子的充要条件为由此又可求得方程的积分因子为.例4 试用积分因子法解线性微分方程.解：先将方程变形为: [P(x)y+Q(x)]dx-dy=0.即M= P(x)y+Q(x), N= -1而所以方程有只与 x 有关的积分因子方程两端乘以积分因子得两边积分可得通解为：即：.例5 求解方程.方程改写：等式左端恰为二元函数 x2+y2 的全微分,如此方程变为两边积分可得通解为: 例6 求解方程ydx+(y-x)dy=0.解：方法1方程变为 ydx-xdy+ydy=0两边积分可得：即通解为：.方法2记M=y,N=y-x所以方程有只与y 有关的积分因子方程两边乘积分因子得方法3还可将方程化成齐次型方程进展求解令方程化为作业:P601．(1),(3)2．(2),(4),(6),(9)§2.4 一阶隐式微分方程与参数表示教学目的1.理解一阶隐式微分方程的概念；2.掌握一阶隐式微分方程的解法。
教学重点、难点一阶隐式微分方程的解法；教学时数 4学时教学过程讨论以下四种类型的一阶隐式微分方程(1)y=f(x,y¢)(2)x=f(y,y¢)(3)F(x, y¢)=0(4)F(y, y¢)=02.4.1 可以解出y(或x)的方程1. 首先讨论形如的方程的解法,假设函数具有连续的偏导数.引进参数,如此方程变为y=f(x,p)方程两端对x求导,有这是关于x,p的一阶微分方程,但它的导数已解出,故方程可求解.例1 求方程的解.解：令如此方程变为：两边对 x 求导得：整理得：这是关于 p与 x 的一阶非齐次线性微分方程,通解为此时可直接将此解代入方程,从而得到以p为参数的参数形式解例2 求方程的解.解：令可得：两边对 x 求导有：(1)假如2p-x=0,如此有x=2p,从而；(2) 假如2p-x¹0,如此有，即，从而有2. 形如的方程可类似求解.引进参数如此方程变为x=f(y,p)两端对y求导,得.例3 求解例1中的方程.解：令如此方程变为：从中解出 x ：两边对 y 求导有：从而得：所以方程的通解为.2.4.2 不显含y(或x)的方程3. 讨论形如F(x,y¢)=0的方程的解法.记,如此方程变为F(x,p)=0.它代表Oxp平面上的一条曲线,可将其化为参数方程的形式:代入方程中有dy=pdx=y(t)j¢(t)dt两端积分可得,可得参数形式的通解为.例4 求解方程x3+y¢3-3xy¢=0.解：令 y¢=p=tx,如此由方程得从而有：如此有：积分可得：所以方程通解为4. 形如F(y,y¢)=0的方程可类似于3的方程求解.记p=y¢,引入参数t,将方程表为适当的参数形式可得：,从而：于是得到参数形式的通解为.例5 求解方程y2(1-y¢)=(2-y¢)2.解：令p=2-y¢=yt方程化为：y2(yt-1)=y2t2可解得：所以有：从而：即：从而方程有通解为注意:当 y¢=0时,y=。