特殊值法解决二项式展开系数问题、基础知识:1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数(或二项式系数)的等式3、常用赋值举例：(1)设(a +b )n =C0an +cnan,b + C；an/b2 +HI + C：an」br +川 +C：bn,①令 a =b =1,可得：2n =C0 +C： +|M +C；②令 a =i,b = _i ,可得：0 = C； _C： +C； _C；||| 十(_1 / Cn,即：C：+C2+||(+Cn =C：+C3+IH+C；,(假设n为偶数)，再结合①可得： n nn n n nn0 C2n_c1c3n」_ 0n 」CnCnCn- CnCnCn- 2(2)设 f (x )=(2x +1 J =a0 +ax + a2x2 +||| + anxn① 令x=1 ,则有：ao +a〔 +a2 +||l + an =(2父1+1 n = f(1),即展开式系数和② 令x =0,则有：a0 =(2父0+1 ) = f (0),即常数项③ 令 x = -1,设 n 为偶数，则有：a0 -a1+a2- a3+ “|+ an=( -1父 2 + 1 )n =f ( — 1)=(a。
a2 + lll+an )—(a1 +a3 +HI + an」)=f (—1),即偶次项系数和与奇次项系数和的差由①③即可求出(% +a2 +|H + an)和(a +a3 +||| + an」)的值二、典型例题：例 1 ：已知(3x -1 8 = a0 + &x + a2x2 +IH + asx8,贝U a1 + a3 + a5 + a7 的值为思路：观察发现展开式中奇数项对应的x指数哥为奇数，所以考虑令 x=1,x = -1,则偶数项相同，奇数项相反，两式相减即可得到a1 +a3 +a5 +a7的值解：令 x=1 可得：28 =a0+a[+HI+a8①令 x = —1 可得：48 =a0 —a1 +a2-|||十 a8②①—②可得：28 -48 =2(a〔 +a3 +% +a7)18.8司a3a5a7 =万 2 -4答案：1 28-482- 92, ,11例 2 ： 已知(x +1)(x-2) =a0+a1(x-1 ) + a2(x-1) +||| + a11(x-1)a1 +a2 +IH +a11 的值为（）A. 0B.2C.255 D.-2思路：本题虽然恒等式左侧复杂，但仍然可通过对x赋予特殊值得到系数的关系式，观察所求式子特点可令 x=2,得到a0+a1+a11 =0 ,只需再求出a0即可。
令 x = 1可得 a —2 ,所以 aI + a2 +1H + a〔〔 = 2答案：B2 3 4= a0+a1x+a2x +a3x +a4x ,2 2则(aO +a2 +a4)—(a1 +a3 )的值为( )A. 16 B.-16C. 1 D.-122思路：所求(a0 +a2 +a4 ) -(a1 +a3) = (a0 +a1 +a2 +a3 +a4 X a0 - a1 + a2 — a3 + a4),在恒等 式中令 x = 1可得：a0+a1+a2+a3+a4 =(2十J2 ), 令 x =—1时a0 - a1 + a2 - a3 + a4 = (2 - 22.),所以(a0 +a2 +a42 _(a〔 +a3 j =(2 + 72 ) (2 -72 ) =16答案：A例 4：若(2 -3x 5 =a0 +a1x +a2x2 +a3x3 +a4x4 +a5x5,则 a0| +|a1 +| a2 +|a3 + a4 +| a5 等于()A. 55B.-1 C.25D.-255_ _ 5_ _ 5思路：虽然(2 -3x )展开式的系数有正有负，但(2 -3x )与(2 + 3x )对应系数的绝对值相一 一55同，且（2+3x）均为正数。
所以只需计算 （2+3x ）展开的系数和即可令 x = 1,可得系数和为55,所以a0+a1+a2+a3+a4+a5=55答案：A例 5： 若 (1 — 2x)2014 =a0+a1x+用+ a2014x2014, 则a a1「i a0 , a2 ' IH ' ao ' a2oi4 )=思路：所求表达式可变形为：2013ao +(a0 + a1 +1|| + a2014 ),从而只需求出a0和系数和即可令x = 0可得：a1 ,令x=1可得：aa[ +川+a2oi4 =1 ,所以2013%a砌 |卜 2如4 =2014答案：2014若 C20146 =C2n042(n n N ),且(2—x)n = a0 +a1x+a2x2+用+anxn ,则a0 - a1 + a2 -川 + ( -1 ) an 等于()243 D. 729A. 81 B.27 C.思路：由 C201H6 =C2n/2可彳导 2n+6 = n+2或(2n + 6)+(n + 2)=20,解得 n = 4,所求表达4_.4式只需令 x= -1 ,可得 % -a1 +a2 -|||+(-1 ) a4 = [2—(—1 )] =81答案：A若 (2x-1 )2°13 =%+a〔x+ a2x2+III+a2013x2°13(xw R), 则A..意.意a201322013a112013B.12013C.14026D.思路：所求表达式中的项呈现2的指数哥递增的特点，与恒等式联系可发现令140261x = 一，可得:2%点・！•・川•舞=0,令 x=0可得：a0 = -1,所以 ||+111+舞=1-_| ,所以所求表达式变形为：-+工11 一生 ，而a1x = C；01342x N -1 f012 = 4026x ,所以2 a1 ,2a1,……1a〔 二4026 从而表达式的值为4026答案：D例 8 ： 已知 （1+x ）+（1+x j + |||+（1 + x ）n =a0 + a1x+IM+anxn, 若ai +a2 +IM +an[=29 — n ,则 n 的值为（）A. 3B.4C.5D.692 2n -1思路：在恒等式中令 x=1可得系数和a0 +a1 +||| + an=2+22 +||| + 2n =,与条2-1件联系可考虑先求出 a0,an,令x=0,可得a。
n，展开式中an为最高次项系数，所以an = 1 , : a1 +a2 +H| +an_1 =2n* -2-n -1 ,所以 2n卡一2 — n —1 = 29 — n ,即 2n书=32 ,解得 n =4答案：B5例 9：右（2x—3 ） =a0+a1x+ a2x +a3x +a4x 十a5x ,则 a0+a1十 2a2+3a3 + 4a4 + 5a5 的值是（）A. 10B.20 C.233 D.-233思路：观察所求式子中 ai项的系数刚好与二项展开式中w所在项的次数一致，可联想到哥函I_5数求导：（xn）=nxn ，从而设f（x）=（2x—3）,恒等式两边求导再令x=1可解得a1 +2a2 +3a3 +4a4 +5a5的值，再在原恒等式中令 x = 0计算出a0即可解：设 f (x )= (2x —3，= a0 +a[x +a2x2 +a3x3 +a4x4 + a5x54f x = 5 2x -3 2 = 0 2a2x 3a3x 4a4x 5a5x令 x=1 可得：10 =4 +2a2+3a3+4a4+5a552345__5而在(2x—3 ) =a0 +a1x +a2x +a3x +a4x + a5x 中，令 x = 0可得：a0 = -3 = -243a0 al 2a2 3a3 4a4 5a5 = -233答案：D例10：若等式（2x T f°14 =a0+a1x+a2x2+川+a2014x2014对于一切实数x都成立，则11..1%+/丁2+川+赤.4=(A.B.C.403020152015D. 0思路：从所求表达式项的系数与展开式对应项联系起来可联想到在恒等式中两边同取不定积八-- 1 2分。
例如：a1x = -a1x22 । 1 3 “I,a?x = —a?x , ,anx13 八'n 1 n』1anxn 1,再利用赋值法令x =1即可得到所求表达式的值20142 一.2014_.. 一一 、一 ...一斛：(2x—1)=a0+a1x+a2x +||l+a2014x，两边同取不定积分可得:4030- 2015 - 1 2 1 32x-1 C = a0x -a1x -a2x I2 3八 一 1 1令 x =1 可得：C + =a0 + —a14030 2令x =0可得:1-a2 HI 311 2015二 a2014x20151cc, La2014201540301 1 -1a0 -a1 -a2 HI ——-a20142 3 2015答案：B403012015小炼有话说：(1)本题可与例9作一个对照，都是对二项展开的恒等式进行等价变换是求导还是取不定积分是由所求表达式项的系数与展开式系数对照所确定的2014(2)在取不定积分时，本题有两个细节，一个是寻找y = (2x-1)的原函数，要注意其原函数求导时涉及复合函数求导，所以系数要进行调整此类问题多是先猜函数的原型，再通过对所猜函数求导后与已知比较，调整系数；第二个是在求原函数时，要注意添加常数“C”，再利用赋值法求出 C的值即可。