单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,动态模型,,描述对象特征随时间,(,空间,),的演变过程,,分析对象特征的变化规律,,预报对象特征的未来性态,,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,数学模型,,,传染病模型,问题,,描述传染病的传播过程,,分析受感染人数的变化规律,,预报传染病高潮到来的时刻,,预防传染病蔓延的手段,,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,数学模型,,,已感染人数 (病人),i,(,t,),每个病人每天有效接触,(,足以使人致病,),人数为,,模型1,【模型,假设】,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),【模型构,成】,?,数学模型,,,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),1）总人数,N,不变，病人和健康 人的 比例分别为,2）每个病人每天有效接触人数为,,, 且,使接触的健康人致病,,~ 日,,接触率,SI,模型,数学模型,【模型,假设】,【模型构,成】,,,模型,2,1/2,t,m,i,i,0,1,0,t,t,m,~传染病高潮到来时刻,,(日接触率) ,t,m,,Logistic 模型,病人可以治愈！,?,t=t,m,,,di,/,dt,最大,数学模型,,,模型,3,传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS,模型,3）病人每天治愈的比例为,,,~日,治愈率,,~ 日接触率,1/,,~感染期,,~ 一个感染期内,每个病人的有效接触人数，称为,接触数,。
数学模型,【模型构,成】,,,模型,3,i,0,i,0,接触数,,=1,~ 阈值,感染期内,有效接触感染的健康者人数不超过病人数,1-1/,,i,0,模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,i,di/dt,0,1, >,1,0,t,i, >,1,1-1/,,i,0,t,,1,di,/,dt,< 0,数学模型,,,模型,4,传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称,移出者,SI,R,模型,1）总人数,N,不变，病人、健康人和移出者的比例分别为,2）病人的日接触率,,, 日,治愈率,,,,,,接触数, = / ,需建立 的两个方程,数学模型,【模型,假设】,【模型构,成】,,,模型,4,SIR,模型,无法求出,,的解析解,在相平面 上,,研究解的性质,数学模型,,,消去,dt,SIR,模型,相轨线 的定义域,相轨线,1,1,s,i,0,D,在,D,内作相轨线 的图形，进行分析,数学模型,,,s,i,1,0,1,D,模型,4,SIR,模型,相轨线 及其分析,传染病蔓延,传染病不蔓延,s,(,t,)单调减,,相轨线的方向,P,1,s,0,i,m,P,1,:,s,0,>1/,,,i,(,t,),先升后降至0,P,2,:,s,0,<1/,,,,i,(,t,),单调降至0,1/,~,阈值,P,3,P,4,P,2,S,0,数学模型,,,模型,4,SIR,模型,预防传染病蔓延的手段,,(日接触率) ,卫生水平,,(日,治愈率), ,医疗水平,传染病不蔓延的条件——,s,0,<1/,,,的估计,降低,s,0,提高,r,0,提高阈值,1/,,降低,,(=,,/,,),,,,,,群体免疫,数学模型,,,模型,4,SIR,模型,被传染人数的估计,记被传染人数比例,x,<<,s,0,i,0,P,1,,i,0,,0,,s,0,,1,,小,,s,0,,,1,提高阈值1/,,降低,被传染人数比例,x,s,0,-,1/,,=,,数学模型,,,。