积分第二中值定理及证明

上一篇文章讲了积分第一中值定理的证明，并给出了积分第一中值定理更一般的形式，这篇主要讲积分第二中值定理的证明积分第二中值定理：在区间 上可积， 在区间 上单调，那么在()fx[,]ab()x[,]ab上存在内点 ，使得：[,]ab()(0)()(0)()ba afxdfxdfxd 特别的，当 在区间 两端连续时，有)[,]b(()()()()b ba afxdxfxdfxd 积分第二中值定理是一个更为精确的分析工具，在证明这个定理之前，先介绍 Abel 引理Abel 引理：数列 和 ，对于任意的 ，有{}nab210n2 2 211 11()()n nbaba实际上：2 111122111112221 121()()().()()().(nnnnnnnnnnnnnababababab    222 211 11 )()() nnn abbaba 下面给出 Abel 引理的一个理解方式，便于记忆众所周知，积分与求和，微分与差分有许多相似之处，一个是对连续函数而言，一个是对离散的数列而言，只要把函数与数列的一些定理放在一起比较，就会发现异曲同工之处。

那么就来回顾一下分部积分的方法：区间 上的连续函数 与 ，有[,]ab()fx()|()bafxdfdfx再看上面的 Abel 引理， 对应 ， 对应 ，符号nn()对应 ， 对应 ， 对应 ，最后你会发21nba()x1b()fx1na现上面的 Abel 引理就对应了分部积分的这种形式我们在计算积分的时候，适时使用分部积分会给计算带来很多好处，同样对于数列的处理，利用 Abel 引理进行变换也能带来很多好处，下面就进入正题，证明积分第二中值定理用 表示区间 上的一个划分 ， 表示划分的最T[,]ab012,.nxTl大长度，接下来设 非负且单调不增将得到：()x，其中 用 表示11()()knxbakfdfxd1kkx在区间 的上确界，令||f[,]，则：11()()()knb xakxdfd1 11||[]|[()())]knxkkkT fxlab 因为 ，则 ，即0下面将用 Abel 引理变换上11()()()knxbakfdfxd面的式子：令 ， ，那么，()kxaAf0,12.)kn1 11 1([())])kn nxkkkkknkdA 分别用 和 来表示 的在区间 的上下确界，显Mm(xafud[,]ab然有 ，令 ，由于kA11[)()()nkknSAA单调不增且非负，则有：()x，当 ，11()m0Tl时有 ， ，不等式可写为：()0a()baSfxd，根据 的连续性，()bfxdM ()xafud区间 存在内点 ，使得 。

[,]()0baf 如果 非负且单调不减，令 ，则，()xy0 0()()()()bbaabfxdfybdfbydx 其中 ，因此 ，()()(b bafxfx综合可得，当 在区间 上单调，积分第二中值定理可表()x[,]述为： )0()(0)(b ba afdfdfd特别地，若 在区间 上单调且连续，则[,]b()()()b baafxdfxdfxd这种情况可以用分部积分给出推导过程，尽管不是严格的证明，但是从这个过程中应该能加深对积分第二中值定理的理解令 ，可知 ，则，()()xaFfud()0Fa|()()()'bb baaaf xxFdx在区间 上，当 单调不减时， ，[,] '()0，'()'()'()mxFxM[()]()()ba aabafdfxdbxfxff单调不增的情况同理可得。