§2.3 调和函数,定义1,(称为调和方程或Laplace方程),,定理1：,证明：,且u, v有任意阶连续偏导数,同样可得,,注：逆定理显然不成立，即,对区域D内的任意两个调和函数 u, v,,不一定是解析函数 .,例如：,是解析函数，,不是解析函数定义2,若u与v是区域D内的调和函数且满足C-R程，,则称v为u的共轭调和函数 .,定理2：,在区域D内解析,v为u的共轭调和函数 .,解析函数的虚部为实部的共轭调和数,已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一个解析函数例题1,已知一调和函数,求一解析函数f(z)=u+iv,解：,由 C-R 方程,于是,（法一）,即为所求解析函数法三）,注意到u(x,y)不包含任意常数,所以c为纯虚数,即c=ic1,这里c1是任意实数.,（法三）,注意到u(x,y)不包含任意常数,所以c为纯虚数,。