word九年级上册·课本亮题拾贝课本中的例、习题是经过编者反复琢磨，认真筛选后精心设置的，具有一定的探究性．在教学的过程中要立足课本，充分发挥课本例、习题的教学功能，可以有效地防止题海战术，不但有利于巩固根底知识，而且还能增强同学们的应变能力，开展创新思维，提高数学素养．21．1 二次根式题目 计算：．〔人教课本P8 2〔4〕题〕解 原式=．点评 大家知道，当a≥0时，有意义，且．而当a＜0时，也有意义，此时，进一步的，如此等于－a〔－a＞0〕．为了预防解题粗心出错〔如〕，通常是根据平方〔或立方〕的意义，先处理掉〔好〕符号，再按有关顺序和规定运算．演变变式1 填空：〔1〕=；〔2〕=．〔答案：〔1〕 〔2〕〕变式2 当x时，式子在实数X围内有意义？ 〔答案：＞〕变式3 假如是整数，求正整数n的值〔至少写出3个〕．〔答案：n = 1，2，9，17等．〕变式4 是否存在正整数n，使得是有理数？假如存在，求出一个n的值；假如不存在，请说明理由．解 假设存在正整数n，使是有理数，如此因为3n + 2是正整数，所以3n + 2应该是一个完全平方数．假设3n + 2等于k〔k≥3，k是正整数〕的平方，如此k = 3p或者3p + 1或者3p + 2，也就是说k除以3余0或者1或者2，而〔3p〕2 除以3余0，〔3p + 1〕2 = 9p2 + 6p + 1，〔3p + 2〕2 = 9p2 + 12p + 4 除以3都余1，所以没有数的平方除以3余2．明确3n + 2不是完全平方数，从而假设不成立，因此，不存在正整数n，使是有理数．21．2 二次根式的乘除题目 计算：．〔人教课本P15 6〔4〕题〕解 原式== 15．另法 原式=．点评 进展二次根式的乘除运算时，根据乘法、除法规定〔〔a、b≥0〕，〔a≥0，b＞0〕〕，可以从左往右正向使用〔如另法〕，也可以从右往左逆向使用〔法一〕，往往可视其具体题目的数字特点和结构特征，灵活选用．一般情况是尽可能先把根式化简，大数化小，遇到字母开平方时，必须注意字母的正、负性〔或讨论〕．演变变式1 填空：〔1〕=；〔2〕=． 〔答案：〔1〕 〔2〕〕因为原式=，2 + 3 = 5，所以设2 = a，3 = b，如此 5 = a + b，题目可演变成如下形式：变式2 化简：．解 原式== b〔a + b〕= ab + b2．假如赋予a一些不同的值〔相应的可得到b的值〕，如此可得到一组二次根式的乘法除法试题．变式3 甲、乙两同学在化简 时，采用了不同的方法：甲： 因为x，y是二次根式的被开方数，且在分母上，所以x＞0，y＞0，于是令 x = 1，y = 1，代入可得，原式=．乙： 原式=．从而得出了不同的结果．请指出甲、乙同学的做法是否正确？说明理由．解 甲，乙两同学的做法都不正确．甲同学犯了以特殊代替一般的错误，虽然最终结果是．乙同学对题目形式上的意义理解错误，通常是一个整体，是被除式．正确解法是：原式=．21．3 二次根式的加减题目，，求如下各式的值：〔1〕x2 + 2xy + y2； 〔2〕x2－y2． 〔人教课本P21 6题〕解∵，，∴，x－y = 2，xy = 2．于是 x2 + 2xy + y2 =〔x + y〕2 =，x2－y2 =〔x + y〕〔x－y〕=．点评 此题属于“给值求值〞类型，一般不宜直接代入算值．通常的思路是：先把式和待求式进展适当的等价变形化简，充分挖掘出式和待求式之间的内在联系，然后再看情况灵活地代入，往往能简捷而巧妙地求值．演变变式1，，求：〔1〕，〔2〕的值．解 由可得a + b = 2，，ab =－1．〔1〕原式=．〔2〕原式=．变式2 如果实数a，b满足a2 + 2ab + b2 = 12，，求的值．解 显然b≠0，于是由，得，∴，即 ，有，因此．说明 上述解法，既抓住了式的特征〔两个等式的左边有公因式，约后能降次，但要注意是否为0啰！〕，又防止了解方程组的难点．此题还可以进一步求出a、b的值．∵，∴〔x－1〕2 = 3，得x2－2x = 2，结合x≠0，两边除以x，得，注意到，如此=，，得变式3 假如实数x满足，试求：〔1〕；〔2〕；〔3〕的值．〔答案 〔1〕8 〔2〕 〔3〕〕22.2 降次 —— 解一元二次方程题目 无论p取何值时，方程〔x－3〕〔x－2〕－p2 = 0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．〔人教课本P4612题〕解 原方程可化为x2－5x + 6－p2 = 0．方程根的判别式为 △=〔－5〕2－4〔6－p2〕= 1 + 4p2，对任何实数值p，有1 + 4p2＞0，∴ 方程有两个实数根 x1 =，x2 =，且两个根不相等．另法 由 p2 =〔x－3〕〔x－2〕= x2－5x + 6 =，得 ，无论p取何值≥，因此．点评 解一元二次方程有配方法，公式法或因式分解法．一般来说，公式法对于解任何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的主要方法，但在具体解题时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法．〔1〕要判定某个二次方程是否有实数解与有几个解时，常常只须考查方程根的判别式．〔2〕见到含字母系数的二次方程，在实数X围内，首先应有△≥0；假如字母在二次项系数中，如此还应考虑其是否为0．〔3〕关于一元二次方程有实数根问题，一般有三种处理方式〔何时选择那种方式要根据具体题目的特点来确定〕：① 利用求根公式求出根来；② 利用根与系数的关系将这两个根的和与积表达出来：x1 + x2 =x1x2 =，以便后继作整体代换；③ 将根代入方程中进展整体处理．演变变式1 分别对p赋值0，2，等，可得如下确定的方程：解方程：〔1〕x2－5x + 6 = 0；〔2〕x2－5x + 1 = 0；〔3〕4x2－20x + 21 = 0．变式2 当x取什么X围内的值时，由方程〔x－3〕〔x－2〕－p2 = 0确定的实数p存在？请说明理由．解 对任意实数p，有p2≥0，所以只需p2 =〔x－3〕〔x－2〕≥0，利用同号相乘得正的原理，得x应满足 或 解得x≥3或x≤2． 明确，当x取x≤2或x≥3X围内的实数时，由方程〔x－3〕〔x－2〕－p2 = 0确定的实数p存在．变式3 指出方程〔x－3〕〔x－2〕－p2 = 0的实数根所在的X围？解 ∵方程有两个不相等的实数根x1 =，x2 =，且对任意实数p，有1 + 4p2≥1，∴有x1≥，x2≤，即方程的实数根所在的X围是x≤2或x≥3．变式4 试求y =〔x－3〕〔x－2〕的最小值．解 由 y=〔x－3〕〔x－2〕= x2－5x + 6 =，得 y的最小值为，当时取得．22.3 实际问题与一元二次方程题目 如图，要设计一幅宽20 cm，长30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3:2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度〔准确到0.1 cm〕？〔人教课本P5310题〕分析 结合图形，阅读理解题意〔数形结合〕．矩形图案中，长30 cm，宽20 cm．现设计了横、竖彩条各2条，且其宽度比为3:2，于是设横彩条宽为3x cm，如此竖彩条的宽就为2xcm，其长与矩形图案的长宽相关．等量关系式为“使彩条所占面积是图案面积的四分之一〞．解 根据题意，设横向彩条的宽为3x，如此竖向彩条的宽为2x，于是，2x 2x3x3x3020建立方程，得 ，化简，得 12x2－130x + 75 = 0．解得 ．因此横向彩条宽1.8 cm，竖向彩条宽1.2 cm．另法 如图，建立方程，得 ．法三 如图，建立方程，得 ．点评列一元二次方程解应用题的一般步骤为：〔1〕设：即设好未知数〔直接设未知数，间接设未知数〕，不要漏写单位；〔2〕列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；〔3〕解：解所列方程；〔4〕验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；〔5〕答：即答题，怎么问就怎么答，注意不要漏写单位．演变变式1 矩形图案的长、宽不变，但设计的两横两竖彩条的宽度一样，如果彩条的面积是图案面积的四分之一，求彩条的宽． 〔答案：〕变式2 矩形图案的长、宽不变，现设计一个正中央是与整个矩形长宽比例一样的矩形，其面积是整个矩形面积的四分之三，上下边等宽，左右等宽，应如何设计四周的宽度？解 因为矩形图案的长、宽比为30: 20 = 3:2，所以中央矩形的长、宽之比也应为3:2，设其长为3x，如此宽为2x，所以 ，得 ，从而上、下边宽为，左、右宽为 ．xx变式3 如图，一边长为30 cm，宽20 cm的长方形铁皮，四角各截去一个大小一样的正方形，将四边折起，可以做成一个无盖长方体容器．求所得容器的容积V关于截去的小正方形的边长x的函数关系式，并指出x的取值X围．解 根据题意可得，V关于x的函数关系式为：xV =〔30－2x〕〔20－2x〕x．即 V = 4x3－100x2 + 600x，x的取值X围是0＜x＜10．变式4 在一块长30 m、宽20 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占的面积为荒地面积的一半．小明的设计方案如图甲所示，其中花园四周小路的宽度都相等．小明通过列方程，并解方程，得到小路的宽为2.5 m或22.5 m．小亮的设计方案如图乙所示，其中花园每个角上的扇形〔四分之一圆弧〕都一样．解答如下问题：〔1〕小明的结果对吗？为什么？〔2〕请你帮小亮求出图乙中的x ？〔3〕你还有其他设计方案吗？20 m30 mx20 m30 m20 m30 m甲 乙解 〔1〕小明的设计方案：由于花园四周小路的宽度相等，设其宽为x米．如此根据题意，列出方程，得 ，即 x2－25x + 75 = 0，解得x =或x =．由于矩形荒地的宽是20 m，故舍去x =，得花园四周小路宽为m，所以小明的结果不对．〔2〕小亮的设计方案：由于其中花园的四个角上均为一样的扇形，所以设扇形的半径为x米，列方程得 ，所以m．〔3〕略．23.1 图形的旋转题目 如图，△ABD，△AEC都是等边三角形．BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？〔人教课本P679题〕BCDAE解∵△ABD是等边三角形，∴AB = AD，∠BAD = 60°．同理AE = AC，∠EAC = 60°．∴以点A为旋转中心将△ABE顺时针旋转60° 就得到△CAD，∴△ABE≌△ADC，从而 BE = DC．另法∵△ABD，△AEC都是等边三角形，∴AB = AD，AE = AC，∠BAD =∠EAC = 60°，于是∠CAD =∠CAB +∠BAD =∠CAB +∠EAC =∠EAB．从而有△CAD≌△EAB，∴DC = BE．点评 由于旋转是刚体运动，旋转前、后的图形全等，所以藉此可以在较复杂的图形中发现等量〔或全等〕关系，或通过旋转〔割补〕图形，把分散的量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．CBAED演变变式1 如图，△ABC。