院、系领导审批并签名 Ａ卷广州大学--第二学期考试卷高等数学Ⅱ2（A卷）(５4学时）参照答案与评分原则题次一二三四五六七总分评卷人分数1５1518１８1888评分一． 填空题（本题15分,每题3分)1. 设,则 ２. ３．已知,则4.若级数收敛,则5.微分方程的通解为 二． 单选题(本题1５分，每题3分）1.函数在点处偏导数存在是它在该点持续的【 D 】 (A）充足非必要条件 （B）必要非充足条件 (C)充足必要条件 (Ｄ）既非充足又非必要条件2．由曲线,直线和所围成的平面图形的面积为【 Ｂ 】 (A) （B） (C） （Ｄ）３. 设为持续函数,改换二次积分顺序【 D 】 (Ａ) (B） (Ｃ) (D）4．设级数，则【 B 】（A)当时,级数绝对收敛 (Ｂ）当时,级数条件收敛 （C)当时,级数绝对收敛 （D）当时，级数条件收敛5.微分方程待定的特解为【 C 】（A） (B) (Ｃ) （Ｄ）三．解答下列各题（本题18分,每题6分) １.设函数具有一阶持续偏导数,,求和解:设 则 ┅┅┅┅┅ 3分 ┅┅┅ 6分2.设函数由方程所拟定，求解:令 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 ┅┅┅┅ ６分3．求微分方程的通解 解：该方程为一阶线性微分方程 由常数变易公式，所求通解为 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分四.解答下列积分（本题18分，每题６分） 1．计算 解：令 则 时 时 原式 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ４分 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ６分２.计算,其中由与所围成的闭区域解： 原式 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ５分 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分３．设为持续函数，化为极坐标形式的二次积分解:记 在极坐标下, 区域 原式 ┅┅┅ 2分 ┅┅┅┅┅┅┅ 6分五. 解答下列级数（本题１8分,每题6分) 1.判断级数的敛散性 解: ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分因此原级数收敛 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ６分2．求幂级数的收敛半径和收敛域解： 收敛半径 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分当时，级数收敛 当时,级数发散收敛域为 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ６分3.在区间内,求幂级数的和函数解：记 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分求导得 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ６分六.(本题８分）求函数的极值解:由 得驻点， ┅┅┅┅ 2分 ┅┅┅┅┅ ４分在点处,故函数在点处不取极值 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ６分在点处,，又故函数在点处取极小值 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分七．(本题8分）当陨石穿过大气层向地面高速坠落时,陨石表面与空气磨擦所产生的高热使陨石燃烧并不断挥发。
实验表白,陨石体积减少的速率与陨石的表面积成正比既有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球体形状,若它在进入大气层开始燃烧的前3秒内，其体积减少了，问此陨石完全燃烧尽需要多长时间?（注:球的体积,球的表面积)解：设秒时，陨石的半径为,记陨石开始燃烧时半径 由 得 根据题意 为常数 ┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 于是 即 得 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分由得 得时，陨石体积为由题设得 得令，得,陨石完全燃烧尽需要秒 ┅┅┅┅┅┅ 8分。