热烈欢迎各位朋友使用该课件！广州大学数学与信息科学学院1 工科高等数学工科高等数学 广州大学袁文俊、邓小成、尚亚东广州大学袁文俊、邓小成、尚亚东2 一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分三、小结三、小结3 一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分规定：规定：简单地说，柱面坐标就是简单地说，柱面坐标就是xoy 面上的极坐标面上的极坐标 + + z 坐标坐标4 柱面坐标与直角坐标的柱面坐标与直角坐标的关系为关系为如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面．面．5 如图，柱面坐标系中的如图，柱面坐标系中的体积元素为体积元素为于是，于是，再根据再根据 中中 z，，r，， 的关系，化为三次积分的关系，化为三次积分一般，先对一般，先对 z 积分，再对积分，再对 r ，最后对，最后对 积分6 例例1 利用柱面坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积分其中其中 解解(1) 画画 图图(2) 确定确定 z，，r，， 的上下限的上下限将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得或或过过 (r, )∈∈D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得7 即即过过 (r, )∈∈D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得于是，于是，8 9 解解求交线：求交线：将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得或或10 即即过过 (r, )∈∈D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得或或11 例例3 计算三重积分计算三重积分其中其中 是由曲是由曲解解将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得或或过过 (r, )∈∈D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得12 即即或或过过 (r, )∈∈D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得13 即即14 二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分规定：规定：15 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面．．球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为16 球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为如图，如图，再根据再再根据再 中中 r，， ，， 的关系，化为三次积分。
的关系，化为三次积分一般，先对一般，先对 r 积分，再对积分，再对 ，，最后对最后对 积分17 例例4 用球面坐标计算用球面坐标计算其中其中解解画画 图确定确定 r，， ，， 的上下限的上下限1) 将将 向向 xoy 面投影，面投影，得得(2) 任取一任取一过过 z 轴作半平面，得轴作半平面，得(3) 在半平面上，任取一在半平面上，任取一过过原点作原点作射线，得射线，得18 (3) 在半平面上，任取一在半平面上，任取一过过原点作原点作射线，得射线，得即即19 20 例例5 计算计算其中其中 由曲面由曲面和和围围成将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得 任取一任取一过过 z在半平面上，任取一在半平面上，任取一过过原点作射线，得原点作射线，得解解轴作半平面，得轴作半平面，得21 即即在半平面上，任取一在半平面上，任取一过过原点作射线，得原点作射线，得22 解解由由三重积分的性质，有三重积分的性质，有23 解解由由三重积分的性质，有三重积分的性质，有24 柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标 三、小结三、小结25 广州大学广州大学 袁文俊、邓小成、尚亚东袁文俊、邓小成、尚亚东26 。