基于交易费用最优比例再保险及投资最大化边界红利内容摘要：本文在固定分红边界下，研究了最大化期望折 现红利下的最优投资和再保险策略本文假设保险公司可以 通过再保险来减小风险，假设保险公司可以在金融市场上投 资，金融市场由一个无风险资产和n风险资产组成，在买卖 风险资产时，考虑交易费用，通过解决相应的HJB方程，得 到了最优投资和再保险策略及最优期望折现红利关键词：投资再保险交易费用HJB方程随机控制在保险实务中，由于竞争激烈，当保险公司的盈余达到 一定水平时，保险公司将降低保费或将盈余的一部分作为红 利分给保单持有者因此为了更好地描述保险公司的现金 流，需在保险风险模型中考虑分红De Finetti (1957)首 次提出具有分红策略的保险风险模型，Asmussen S and Taksar M (1997)研究了扩散风险模型下保险公司的最优红 利分配Hojgaard B and Taksar M (1999)研究了 扩散模 型下的最优再保险和红利分配问题，在分红额有限制和分红 额无限制两种情形下，得到了最优再保险策略和最优红利， 且通过数值计算讨论了再保险对红利的影响特别感兴趣的是两种依赖盈余的红利策略。
一种是常数 边界分红策略，对于常数边界分红策略，当盈余低于一个常 数边界时没有分红；当盈余高于这个常数边界时，髙出部分 全部作为红利分出另一种分红策略是阀值分红策略，当盈 余低于一个常数边界时没有分红；当盈余高于这个常数边界 时，只是把盈余的一部分作为红利分出杨鹏(2010)研究了扩散风险模型下再保险和投资对红 利的影响但是他们没有考虑交易费用本文不但考虑了再 保险和投资，而且当在金融市场上投资时考虑了交易费用 本文在Xu G. L. and Shreve S. E (1992)研究的辅助结果上, 求得了最优投资和再保险策略及最优期望折现红利模型构建 假设所有的随机过程和随机变量都定义在完备的概率空间(Q，F, P)上，并且有一满足通常条件的o-流｛Ft, t^O｝,即Ft右连续且P完备允许连续交易，不考虑交易 费用和税收，且所有资产都是无穷可分的考虑如下的跳- 扩散风险模型：dR (t)二cdt+BdWO (t) (1)其中，c, B为常数，｛WO(t) : t20｝是标准布朗运动本文对式(1)考虑比例再保险，比例再保险的水平为(l-a),即保险公司的自留额为OWaWl,分出为(1-a), 即在每次理赔时保险公司支付100a%,同时再保险公司支付 剩余的100 (1-a) %o则式(1)变为：dR (t, a) =acdt+a P dWO (t) (2)考虑一个金融市场，由n+1个金融资产组成，其中一个 是无风险资产(债券)，时刻t的价格｛Bt, 120｝；另外n 个为风险资产，时刻t的价格为｛Si (t), t20, i=l, 2, n｝ oBt满足以下方程：dBt=rOBtdt其中，r0>0为无风险利率。
Si (t)满足以下方程：? i二1， 2，・・・，n其中,ri^rO, o ij>0 为常数，Wj, j=l, 2,…，n 是 标准布朗运动，Wi, Wj, i, j=0, 1,…，n, iHj相互独立买卖风险资产都需要交易费用，设0b=[9bl,◎ b2,…，9 bn] 和 9 s=[ 9 si, 9 s2, . . . , 0 sn] 分别 为买卖风险资产的交易费用，即买一个单位的风险资产i将 花费(l+0bi) Si (t)的资金，卖一个单位的风险资产i 将得到(1+Bsi) Si (t)的现金设"b、ns分别为买和 卖风险资产的资金，其中Ji b= ("bl, "b2, Ji bn),ns=(nsl, “s2, Ji sn)o因为不能同时买卖风险资产，所以有“ b • Ji s=0o比例再保险水平at和在风险资产上的投资"b、ns作 为控制变量在任意时刻t20, Ji b= Ji b (t), Jis=ns (t) 和比例再保险水平a二a (t)由保险公司选择，记兀(•)=(a ( • ), n b ( • ), ns ( • ))o 一旦 n ( •)被选择了， 则保险公司的财富过程为：(3)其中，I是n维单位列向量，定理 1: 一个策略 n (・)=(a ( • ), n b ( • ), ns(・))称为可行的，如果口(・)关于流｛Ft｝是可料的， 且对于每个t》0过程兀(・)满足以下的条件：a. e.对所 有TO来控制。
当盈余低于b时没有红利支付；当盈余高于b 时，高出的部分全部作为红利支付对t0,设D (t)为 到时刻t为止支付的总的红利，则支付红利后，在时刻t, 保险公司的盈余Xt 口变为：(4)破产时刻定义为：(5)设>0是红利贴现率，D Ji x, b为在初始盈余为x,控 制策略为口时，到破产时刻Tb为止所有红利现值，即：(6)对于x20,则用V" (x, b)表示Dnx, b的期望，即:(7)投资和再保险的目的是使期望红利最大，即找到最优的 值函数：(8)以及最优的策略n*使得：Vn* (x, b) =V (x, b)o由Fleming W. H. Soner H. M (1993)的研究容易得到以下定理定理2：假设V (x, b)由式(7)定义，是在R+上二次连续可微函数，则V (x, b)满足以下HJB方程：(9)V (x； b)二x—b+V (b, b), x>b (10)边界条件(11)其中，Vt,Vx, Vxx分别为V关于t的一阶导数，关于x的一阶导数和关于x的二阶导数，且Bl= (r-rO- 0 bl, r2-r0- 0 b2, •••rn-rO- 0 bn)B2= (r+rO- 0 si, r2+r0- 0 s2, •••rn+rO- 0 sn)由Fleming W. H. Soner H. M. (1993)的研究得到以下的 检验定理。
定理3：设WeC2是一凹函数是HJB方程(9)和(10) 的解，满足边界条件(11),则(7)给出的期望财富指数效 用V恰好等于W进一步，若使得：(12)W (x； b)二x-b+W (b, b), x>b (13)则JI * ( •)是最优的策略，也就是W (t, x) =V (t, x)二Vn* (t, x)o最优投资比例和再保险策略本文求解满足式(9)和式(11)的解假设有一解W(x, b),满足Wx〉O和Wxx<0,根据杨鹏和林祥(2011)中 的引理，则有：所以有：(14)把式(14)代入式(9),得到：(15)求解方程式(15)从式(15)有：(16)(一)当0 在这种情况下，最优再保险策略为把 a* (x)代入式(15)得到：(17)从式(17)中得到：(18)其中：(19)满足(二)当 a0 (x) W0 时在这种情况下，最优再保险策略为a* (x) =0,把a* (x)=0代入式(15)得到:(20)从式(20)得到:其中:(22)满足(三)当aO (x)三1时在这种情况下，最优再保险策略为a*(x)=l,把a* (x) =1代入式(15)得到：(23)上式没有显示解，因此求它的数值解。
设，，u (x) =Wx则方程式(23)变为：(24)为了求解式(24),设，把它代入式(24)得到：(25)两边同时对X求导数，然后两边再同时除以U(X),得 到：(26)所以，(27)且 Q (0)二0本文进一步求解式(27)记Q (nh) =Qn,则式(27) 可离散化为：(28)Q0 二 0因为，所以，设un二u (nh),贝•］：(29)设 Wn二W (nh； b),则:(30)定理4：对于盈余过程式(4)最优的策略兀祐，n*s, a*和最优期望折现红利V (x, b)分别为：当0 其中，Y1满足式(19)当 a0 (x) W0 时，a* (x) =0,,,, 0