数 学 模 型 Mathematical Modeling任课老师：刘利刚 ligangliu@ /MathematicalModeling_2005-2006 数学模型导论数学？n数学有没有用？n数学不是没有用，而是不够用n现有的数学工具不能解决所有实际问题n我在专业研究中遇到很多数学问题而受阻n怎么用？n解决实际问题n数学模型 数学模型与数学建模Ø数学模型（Mathematical Model）是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客观 现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象 的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略 Ø 数学建模（Mathematical Modeling）应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程数学模型早就知n我们从小就接触过数学模型：n应用题n“甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需 30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问航速 ，水速若干？”n物体n“从平静湖面的小船上仍一块石头至水中，湖面 是上涨还是下降？”n数学竞赛n…数学模型无所不在n日常生活n投资n决策n各行各业n经济n金融n专业研究领域n物理n计算机研究例1. 卡的选择n已知：入网卡每分钟0.4元，每月25 元租金；神州行卡每分钟0.6元，不用月 租金n问：选择哪种卡比较省钱？例2.打水问题n每天晚上5:00 至 5:30 之间开水房的拥 塞想必让每一个人都深有感触吧，偏偏 这种时候还有一些人喜欢一个人占好几 个龙头，不得不让人怒火中烧。
对每个 人来讲，最好的办法当然是在不违反排 队顺序的前提下尽可能早地接触龙头 事实上大家也基本上是这样做的在高 峰时期霸占多个龙头的人就算不遭到语 言的谴责也会遭到目光的谴责n假设现在有 2个水龙头，10 个人来打水，每个人拎着两个壶，每 打一壶要 1分钟，这是一种很常见的情况n方法 A：经验方法这样，当有两人等待时，两个人各用一个龙 头，为将10个人打满，总共的等待时间是： 2*(2+4+6+8+10)=60 分钟n方法 B：每次分配水龙头时都优先满足最前面的人这样，当有 两人等待时，第一个人先用两个龙头，等他打完了第二个人再用 这种方法下总的等待时间是： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 分钟n结果后一个方法被证明是更有效率的也就是说，这个看起来有 些自私的方案，这个常常被我们谴责的方案，事实上是一个更合 理的方案n相同任务量的并行服务队列例3.银行问题n去中国工商银行存取钱对每个人来说都 决不是一次愉快的经历我平均每次去 取钱都至少要花上半个小时的时间，这 促使我考虑是否有办法在现有窗口的情 况下提高整个系统的效率n不同任务量的串行服务队列例4.万有引力定律的发现n开普勒三大定律n行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上 。
n行星在单位时间内扫过的面积不变n行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方，比 例系数不随行星而改变（绝对常数）n牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微 积分方法推导出牛顿第三定律即万有引力定律 Proof数学建模的一般步骤n了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要 的数据资料n在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资 料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必要的精 炼、简化，提出若干符合客观实际的假设n在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各 变量之间的关系，建立相应的数学结构 ——即建立数 学模型 n模型求解 n模型的分析与检验 实体信 息(数据)假设建模求解验证应用数学模型的分类分类标准分类标准具体类别具体类别对某个实际问题 了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特 征连续连续 型模型、离散型模型或确定性模 型、随机型模型等 建模中所用的数 学方法初等模型、微分方程模型、差分方程 模型、优优化模型等 研究课题的实际 范畴人口模型、生 态态系统统模型 、交通 流模型、经经 济济模型、 基因模型等能力的培养n能力上的 锻炼n观察能力、分析能力、归纳能力和数据处理 能力n在尽可能短的时间内查到并学会我想应用的知 识的本领nGooglen图书馆n创新的能力一些简单实例•例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然 然后他妻子开车接他回家。
有一天，他比平时提早 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他 比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时 间？ §1.5§1.5 一些简单实例一些简单实例似乎条件不够哦 换一种想法，问题就迎刃而 解了假如他的妻子遇到他后仍 载着他开往会合地点，那么这一 天他就不会提前回家了提前的 十分钟时间从何而来？显然是由于节省了从相遇点到 会合点，又从会合点返回相遇点这一 段路的缘故，故由相遇点到会合点需 开5分钟而此人提前了三十分钟到 达会合点，故相遇时他已步行了二十 五分钟 请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设 ？例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地问：在什么条件下 ，可以保证途中至少存在一地，此人在两 天中的同一时间到达该地分析分析 本题多少本题多少 有点象有点象 数学中数学中 解的存在解的存在 性条件性条件 及证明，当及证明，当然然 ，这里的情况要简单得多这里的情况要简单得多 假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同 一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中 相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到 达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。
（请自己据此给出严格证明） •例3 交通灯在绿灯转换成红灯时，有 一个过渡状态——亮一段时间的黄灯 请分析黄灯应当亮多久设想一下黄灯的作用是什么，不难看 出，黄灯起的是警告的作用，意思是 马上要转红灯了，假如你能停住，请 立即停车停车是需要时间的，在这 段时间内，车辆仍将向前行驶一段距 离 L这就是说，在离街口距离为 L处 存在着一条停车线（尽管它没被画在 地上），见图1-4对于那些黄灯亮时 已过线的车辆，则应当保证它们仍能 穿过马路 马路的宽度 D是容易测得 的，问题的关键在 于L 的确定为确定 L，还应当将 L划分为两段：L1 和L2，其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹 车的反应时间内驶过的路程 ，L2为刹车制动后 车辆驶过的路程L1较容易计算，交通部门对司 机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过长 将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也是 交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大， 可另建模型研究，从而 L1=v*t1刹车距离 L2 既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定 律计算出来 （ 留作习题） 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。
第 一步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机 停得住车第二步，黄灯亮的时间应当让已过线 的车顺利穿过马路，即T 至少应当达到 （L+D） /v D L例4 餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便 ，某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗 洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高 ，否则会烫手，但也不能太低，否则不干净 由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热 水到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析 一下这一问题盘子有大小吗 ?是什么样的盘子 ？盘子是怎样洗的 ? ……… 不 妨假设我们了解到：盘子大小相 同，均为瓷质菜盘，洗涤时先将 一叠盘子浸泡在热水中，然后 一清洗 不难看出，是水 的温度在决 定 洗盘子的数量 盘子是先用冷水 洗过的，其后可能还会再用清水 冲洗，更换热水并非因为水太脏 了，而是因为 水不够热了 那么热水为什么会变冷呢？假如 你想建一个较精细的模型，你当 然应当把水池、空气等吸热的因 素都考虑进去，但餐馆老板的原 意只是想了解一下一池热水平均 大约可以洗多少盘子， 杀鸡 焉用牛刀？ 不妨可以提出以下 简化假设： （1）水池、空气吸热不计，只考虑 盘子吸热，盘子的大小、材料相同 （2）盘子初始温度与气温相同，洗 完后的温度与水温相同 （3）水池中的水量为常数，开始温 度为T1，最终换水时的温度为 T2 （4）每个盘子的洗涤时间 △T是一个 常数。
这一假设甚至可以去掉 不 要）根据上述简化假设，利用热量守 衡定律，餐馆老板的问题就很容 易回答了，当然，你还应当调查 一下一池水的质量是多少，查一 下瓷盘的吸热系数和质量等 可见 ，假设条件 的提出不 仅和你 研的 问题 有关，还和 你准备利用哪些知 识 、准备建立什么样的模型以及你准 备 研究的深入程度有关，即在你提出假设 时，你建模的框架已经基本搭好了 例5 将形状质量相同的砖块一一向右往外 叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可 以延伸多大距离设砖块是均质的，长度与重量均 为1，其 重 心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导 Zn(n－1)n(n＋1)由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有：1/2-Zn= (n－1) Zn 故Zn =1/(2n)，从而上面 n块砖向右推出的 总距离为 ，故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至 任意远任意远 ，这一结果多少，这一结果多少 有点出人意料有点出人意料 例6 某人住在某公交线附近，该公交线路 为在A、B两地间运行，每隔 10分钟A、B两 地各发出一班车，此人常在离家最近的 C 点等车，他发现了一个令他感到奇怪的现 象：在绝大多数情况下，先到站的总是由 B去A的车，难道由 B去A的车次多些吗？请 你帮助他找一下原因ABAB发出车次显然是一样多的，发出车次显然是一样多的， 否则一处的车辆将会越积越多。
否则一处的车辆将会越积越多 由于距离不同，设 A到C行驶31分 钟，B到C要行驶 30分钟，考察一 个时间长度 为10分钟的区间，例 如，可以从 A方向来的车驶 离C站 时开始，在其后的 9分钟内到达的 乘客见到先来的车均为 B开往A的 ，仅有最 后1分钟到达的乘客才见 到 由A来的车先到由此可见，如 果此人 到C站等车的时间是随机的 ，则他先遇 上B方向来的车的概率 为 90% 例4 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射 出某种射线为了搞清失事原因，人们必须 尽快找回匣子确定黑匣子的位置，必须确 定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑 匣子的方法由于要确定两个参数，至少要 用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发 射射线的强度方法一点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的 距离 的平方成反比，即 黑匣子所在 方向很容易确定，关键在于确定 距离 设在 同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和I2， 两测量点间的距离为 a，则有方法二在方法一中，两检测点与黑匣子 位于一直线上，这一点比较容易 做到，主要缺点是结果对照度测 量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很 大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在 A 点测得黑匣子方向后 ，到B点再测方向 ，AB 距 离为a ，∠BAC=α，∠ABC=β，利用正弦定理得 出 d = asinα/sin (α+β) 。
需要指出的是，当 黑匣子位于较远处而 α又较小时，α+β可能非 常接近π（∠ACB接近于0），而sin（α+β）又 恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会 很大，为了使结果较好，应使a也相对较大BACaαβCourse Goalsn让同学们真正能n提高发现问题和解决问题的能力n运用知识和寻找知识。