第十二章 卷积码主要内容和重点n基本概念n卷积码的图解表示n树状图n网格图n状态图和状态转移图n卷积码的解析表示n延时算子多项式表示n半无限矩阵表示12.1 基本概念 n按照信息码元和监督码元之间的约束方式不同分为n(n, k)分组码：每个码组的(n-k)个校验位仅与本码组的k个信息位有 关，而与其他码组无关n为了达到一定的纠错能力和编码效率（Rc=k/n），n通常较大， 编译码时存储信息码产生的时延随n增大而线性增加n(n, k, N)卷积码：在任何一段规定时间内产生的n个码元，不仅取 决于这段时间中的k个信息位，而且取决于前(N-1)段时间内的信息 位n也是把k个信息比特编成n个比特，但k和n很小，延时小n编码过程中相互关联的码元为Nn个n纠错能力随N的增加而增大在编码器复杂性相同的情况下， 卷积码的性能优于分组码n未有严格的数学手段有规律地联系纠错性能和码的构成，采用 计算机搜索好码nN（或Nn）定义为卷积码的约束长度n编码效率Rc=k/n12.1 基本概念 n表示方法：n解析法：延时算子多项式表示、半无限矩阵表示n图解法：树状图、网格图、状态图n译码方法：n门限译码：即大数逻辑译码n性能最差，但硬件简单nViterbi（维特比）译码：属最大似然译码n具最佳性能，但硬件实现复杂n序列（序贯）译码：属最大似然译码n在性能和硬件方面介于两者之间12.1 基本概念 n卷积码编码器的一般形式nN段组成的输入移位寄存器，每段k级，共Nk位寄存器nn个模2和相加器nn级组成的输出移位寄存器12.1 基本概念 n卷积码编码器的一般形式（续）n由图可知：n个输出比特不但与当前k个输入比 特有关，而且与以前的(N-1)k个输入信息比特 有关n整个编码过程可看成：输入信息序列与移位寄 存器和模2和连接方式所决定的另一个序列的卷 积12.2 卷积码的图解表示n主要内容n树状图n网格图n状态图和状态转移图12.2 卷积码的图解表示n树状图n(2, 1, 3)卷积编码器：输出移位寄 存器用转换开关代替，每输入1 个信息比特经编码产生2个输出 比特n设移位寄存器初始状态为全0n第1个输入比特：为0，输出比特=00 ；为1，输出比特=11n第2个比特输入，第1个比特右移1位 ，输出比特同时受当前输入比特和 前一个输入比特的影响n第3个比特输入，第1、2个比特各右 移1位，输出比特同时由这3位移位 寄存器存储的比同决定n第4个比特输入，第1个比特移出移 位寄存器，不对后续编码产生影响12.2 卷积码的图解表示n树状图（续） ：(2, 1, 3)卷积编码器n移位过程可用树状图表示n用a、b、c、d表示移位寄存器mj-2mj-1的4种可 能状态：00、01、10和11n树状图用mj=0和mj-2mj-1=00作起点，即从a点出 发n随着移位寄存器和输入比特的不同，树状图陆 续分成4条支路，2上、2下。
上支路对应于输 入比特为0，下支路对应于输入比特为1n每条支路（树叉）上标注的码元为输出比特， 每个节点上标注的a、b、c、d为移位寄存器的 状态n对j个输入信息比特，有2j条支路，但在j=N≥3 时，树状图的节点自上而下开始重复出现4种 状态（相当于移位超过移位寄存器长度，状态 已重复出现）12.2 卷积码的图解表示n树状图（续）——树状图分析：n第1个输入比特m1=0时，输出比特x1,1x2,1=00； m1=1时x1,1x2,1=11即从a点出发有2条支路（ 树叉）可选：m1=0取上支路，下一节点mj-2mj-1=00（为a）；m1=1取下支路，下一节点mj-2mj-1=01（即b）12.2 卷积码的图解表示n树状图（续）——(2, 1, 3)卷积编码器树状图分析：n输入第2个比特，移位寄存器右移1位后，上支路情况下移 位寄存器状态mj-2mj-1仍为00，即a，下支路mj-2mj-1=01，即 bn对a，mj-2mj-1=00若m1=0时，x1,1x2,1=00，下一节点mj-2mj-1=00（ 为a） ； m1=1时x1,1x2,1=11，下一节点mj-2mj-1=01（为b）n对b，mj-2mj-1=01。
若m1=0时，x1,1x2,1=10，下一节点mj-2mj-1=10（ 为c） ； m1=1时x1,1x2,1=01，下一节点mj-2mj-1=11（为d）n输入第3个比特（ a、b的情况重复，故可不考虑）n对c，mj-2mj-1=10若m1=0时，x1,1x2,1=11，下一节点mj-2mj-1=00（ 为a） ； m1=1时x1,1x2,1=00，下一节点mj-2mj-1=01（为b）n对d，mj-2mj-1=11若m1=0时，x1,1x2,1=01，下一节点mj-2mj-1=10（ 为c） ； m1=1时x1,1x2,1=10，下一节点mj-2mj-1=11（为d）12.2 卷积码的图解表示n网格图n按照码树中的重复性，可得一种更为紧凑的图形表示n把码树中具有相同状态的节点合并在一起12.2 卷积码的图解表示n网格图（续）n码树中的上支路（对应输入比特0）用实线表示，下支路（ 对应输入比特1）用虚线表示12.2 卷积码的图解表示n网格图（续）n支路上标注的 码元为输出比 特，自上而下 4行节点分别 表示a、b、c 、d四种状态 通常有2N-1 种状态，从第 N节开始，图 形开始重复而 完全相同12.2 卷积码的图解表示n状态图和状态转移图n取出已达到稳定状态的一节网格，可得到状态图n再把目前状态与下一行状态重叠起来，可得到反映状 态转移的状态转移图12.2 卷积码的图解表示n例：对上述(2, 1, 3)卷积编码器，若起始状态为a，输入序列为1101 1100 1000，求输出序列和状态变化路径n解：由该卷积码的网格图表示，找出编码时网格图中的路径如图所示 ，由此可得到输出序列和状态变化路径，画在同一图中12.2 卷积码的图解表示n对于(n, k, N)卷积码的一般情况，有如下结论n对应于每组k个输入比特，编码后产生n个输出比特n树状图中每个节点引出2k条支路n网格图和状态图（状态转移图）都有2k(N-1)种可能的状 态。
每个状态引出2k条支路，同时也有2k条支路从其它 状态或本状态引入12.3 卷积码的解析表示n主要内容n延时算子多项式表示n半无限矩阵表示12.3 卷积码的解析表示n延时算子多项式表示n将编码器中移位寄存与模2和的连接关系以及输入 、输出序列都表示为延时算子D的多项式n如输入序列1101110…表示为M(D)=1+D+D3+D4+D5+… n哑变量D的幂次等于相对于时间起点的单位延时数目， 时间起点通常选在第1个输出比特n通常，输入序列可表示为M(D)=m1+m2D+m3D2+m4D3+…n其中，m1、m2、m3、m4…为输入比特的二进制表示（1 或0）12.3 卷积码的解析表示n延时算子多项式表示n用D算子多项式表示移 位寄存器各级与各模2和 连接关系时，若某级寄 存器与某模2和相连，则 多项式中相应项的系数 为1，否则为0（表示无 连接线）n(2, 1, 3)卷积码编码器中， 左、右两个模2和与寄存 器各级的连接关系可表示 为G1(D)=1+D+D2G2(D)=1+D212.3 卷积码的解析表示n延时算子多项式表示（续）n把表示移位寄存器与模2和连接关系的多项式称为生成多项 式n由生成多项式用多项式相乘可计算出输出序列n以输入序列1101110…为例，可得x1(D)=G1(D) ×M(D)=(1+D+D2)(1+D+D3+D4+D5+…)=1+D5+D7+… x2(D)=G2(D)M(D)=(1+D2)(1+D+D3+D4+D5+…)= 1+D+D2+D4+D6+D7+…)n由此，输出序列x1=(x1,1, x1,2, x1,3, …)=10000101…x2=(x2,1, x2,2, x2,3, …)=11101011…x= =(x1,1, x2,1, x1,2 , x2,2, x1,3 , x2,3, …)=11 01 01 00 01 10 01 11…n结果与前面图解法所得结果相同12.3 卷积码的解析表示n延时算子多项式表示（续）n常用二进制或八进制序列表示生成多项式。
如上例 ：G1(D)=1+D+D2 g1=(111)=(7)8G2(D)=1+D2 g2=(101)=(5)8n这种表示主要是为了方便12.3 卷积码的解析表示n半无限矩阵表示n输入信息序列和输出序列都用半无限矢量表示n以(2, 1, 3)卷积码为例，有M=[m1 m2 m3 …]X=[x1,1 x2,1 x1,2 x2,2 x1,3 x2,3 …]n当第1个信息比特输入时，若移位寄存器起始状态为全0，两个输 出比特为nx1,1=m1 x2,1=m1n当第2个信息比特输入时，移位寄存器右移1位，输出为nx1,2=m2+m1 x2,2=m2n当第3个信息比特输入时，有nx1,3=m3+m2+m1 x2,3=m3+m112.3 卷积码的解析表示n半无限矩阵表示n当第j个信息比特输入时，输出为nx1,j=mj+mj-1+mj-2 x2,j=mj+mj-2n上式写成矩阵形式，即n[mj mj-1 mj-2]A=[x1,j x2,j]n其中 12.3 卷积码的解析表示n半无限矩阵表示n当第1、2信息比特输入时存在过渡过程[m1 0 0]T1=[x1,1 x2,1][m1 m2 0]T2=[x1,2 x2,2]n其中，12.3 卷积码的解析表示n半无限矩阵表示n把上述编码过程综合起来，可得矩阵表示如下X= MGn其中，G为生成矩阵（半无限，矩阵的空白区元素均为0 ）12.3 卷积码的解析表示n半无限矩阵表示n生成矩阵和生成多项式之间存在确定关系n已知(2, 1, 3)卷积码的生成序列为g1=(111)=(g11 g12 g13) g2=(101)=(g21 g22 g23) n把生成序列g1 、 g2按如下方法交错排列，即可得生成矩 阵12.3 卷积码的解析表示n半无限矩阵表示n生成矩阵和生成多项式之间存在确定关系（续）n结果与前面表示的生成矩阵相同，上式可表示为其中，每个子矩阵Gi（i=1, 2, 3）由一行二列组成：G1=(g11 g21) G2=(g12 g22) G3=(g13 g23) 12.3 卷积码的解析表示n半无限矩阵表示n推广：对于(n, k, N)码，有X= MGn其中，M=[m1,1 m2,1 m3,1 … mk, 1 m1,2 m2,2 m3,2 … mk, 2 …]X=[x1,1 x2,1 x3,1 … xn, 1 x1,2 x2,2 x3,2 … xn, 2 …]n已知该码的生成序列一般表达式为gi, j=(gi,j1 gi,j2 … gi,jl … gi,jN) i=1, 2,…, k; j=1, 2, …, n; l=1, 2, …, Nn其中gi,jl表示了每组k个输入比特中第i个比特经l-1组延迟后的输出与 每组n个输出比特中第j个模2和的输入端的连接关系， gi,jl =1表示有 连线，gi,jl=0表示无连线n则生成矩阵的一般形式为12.3 卷积码的解析表示n半无限矩阵表示n 式中，Gl（l=1, 2, …, N）是k行n列子矩阵，有差错控制编码复习－思考题n在通信系统中采用差错控制的目的是什么？n什么是随机信道？什么是突发信道？什么是混合信道？n常用的差错控制方法有哪些？试比较其优缺点。
n什么试分组码？其构成有何特点？n试述码重、码距、编码效率的定义、n一种编码的最小码距与其检错和纠错能力有什么关系？n什么是奇偶监督码？其检错能力如何？n什么是线性码？它具有哪些重。