切 割 线 定 理定 理切 割 线 定 理 ： 从 圆 外 一 点 引 圆 的 切 线 和 割 线 ， 切 线 长 是 这 点 到 割 线 与圆 交 点 的 两 条 线 段 长 的 比 例 中 项 是 圆 幂 定 理 的 一 种 几 何 语 言 ： ∵ PT 切 ⊙ O 于 点 T， PBA 是 ⊙ O 的 割 线 ∴ PT 的 平 方 =PA·PB（ 切 割 线 定 理 ） 推 论 ： 从 圆 外 一 点 引 圆 的 两 条 割 线 ， 这 一 点 到 每 条 割 线 与 圆 的 交 点 的 两 条 线 段长 的 积 相 等 几 何 语 言 ： ∵ PBA， PDC 是 ⊙ O 的 割 线 ∴ PD·PC=PA·PB（ 切 割 线 定 理 推 论 ） (割 线 定 理 ） 由 上 可 知 :PT 的 平 方 =PA·PB=PC·PD 编 辑 本 段证 明切 割 线 定 理 证 明 : 设 ABP 是 ⊙ O 的 一 条 割 线 ， PT 是 ⊙ O 的 一 条 切 线 ， 切 点 为 T， 则PT²=PA·PB 证 明 ： 连 接 AT, BT ∵ ∠ PTB=∠ PAT(弦 切 角 定 理 ) ∠ P=∠ P(公 共 角 ) ∴ △ PBT∽ △ PTA(两 角 对 应 相 等 ,两 三 角 形 相 似 ) 则 PB： PT=PT： AP 即 ： PT²=PB·PA 编 辑 本 段比 较切 割 线 定 理 与 割 线 定 理 ， 相 交 弦 定 理 统 称 为 圆 幂 定 理 ！ ！ ！一. 教学内容：相交弦定理和切割线定理二. 重点、难点：1. 相交弦定理的使用特征。
2. 切割线定理的使用特征典型例题】[例 1] 已知 P 为⊙O 内一点， ，⊙O 半径为 ，过 P 任作一弦 AB，设， ，则 关于 的函数关系式为 解：由相交弦定理得 ，即 ，其中[例 2] 如图，AC=BD，CE、DF 切⊙O 于 E、F 两点，连 EF，求证：CM=MD证明：作 DN∥EC，交 MF 于 N，则 ∠1= ∠2，∠C= ∠4由弦切角定理得：∠3=∠1 ∴ ∠2=∠3 ∴ DN=DF由切割线定理， ∵ AC=DB ∴ CB=DA ∴ CE=DF∴ CE=DN 又 ∵ ∠5= ∠6 ∴ （AAS） ∴ CM=MD[例 3] 已知 PT 切⊙O 于 T，PBA 为割线，交 OC 于 D，CT 为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求 PB 长解：设 TD= ，BP= ，由相交弦定理得：即 ， （舍）由切割线定理， 由勾股定理，∴ ∴ ∴ [例 4] 两圆交于 A、B，AC、AD 切两圆于 A，交两圆于 C、D，连 CB，延长交 AD 于E，圆于 F，若 BC=9，AE=6，DE=2，求 AC 长解：连 AB，DF ∵ ∴ ∠1=∠F ∵ AD 与⊙O 相切∴ ∠1=∠C ∴ ∠C= ∠F ∴ AC∥DF∴ 设 BE= ，EF= ，则 ①由相交弦定理得 ② 由①、②解得： ，由切割线定理得：∴ AC=12[例 5] P 为弦 AB 上一点，C 在圆 O 上，OP⊥PC，求证：（1）（2）若 CM=MO=3，OP=4，求 AP证明：（1）延长 CP 交⊙O 于 D，∵ OP⊥CD ∴ PC=PD由相交弦定理， ∴ 解：（2）易知 ，设 ，由相交弦定理， ，即 ① 由垂径定理，CP=PD，故在 中有∴ 由（1）结论， ②由①—②得： 代②得，∴ ， （舍负）∴ AP 长为[例 6] 如图，AB 切⊙O 于 B，OB 交割线 ACD 于 E，AC=CE=3，OE= ，求 AB 长。
解：设⊙O 半径为 ，DE= ，延长 BO 交⊙O 于 K由相交弦定理， ，故 ①由 AB 切⊙O 于 B 知 ，故∴ ②由②—①得： ， ， （舍）∴ ，AB=[例 7] 如图，⊙O 中直径 AE⊥BF，M 为 OE 中点，BM 延长交⊙O 于 C，连 AC，求中三个内角的正切值解：易知 ∴ 连 CF、 CE ∵ BF 为直径 ∴ 又 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 作 MH⊥AC 于 H 点 则 [例 8] 如图，已知 中 ，以 C 为圆心，作圆与 AB 相切于点 D，且AD=9， BD=16（1）求⊙C 的半径（2）求 的值解：连 CD、ED，则 CD⊥AB，（1）由射影定理，∴ ∴ EF=24 ∴ ⊙C 半径为 12（2）由弦切角定理， ，故∴ 设 ，由 得： ，故， （舍） ∴ 【模拟试题】（答题时间：45 分钟）一. 选择题：1. 如图，PT 切⊙O 于 T，PBA、PDC 为⊙O 的割线，则下列等式成立的是（ ）A. B. C. D. 2. 已知 PA 切⊙O 于 A，PBC 交⊙O 于 B、C ，且 PB=BC，若 PA=6，则 PB 长为（ ）A. B. C. 3 D. 3. PAB 为⊙O 的割线，PO 交⊙O 于 C，若 PC=CO，则 PA=4，AB=5，则 OC=（ ）A. B. C. D. 64. 如图，PA、PB 切⊙O 于 A、B，AO 延长线与 PB 延长线相交于 C，若⊙O 半径为3，BC=4 ，则 （ ）A. B. C. D. 5. 已知 PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于 B，若 PA= cm，PB=5cm ，那么⊙O 半径为（ ）A. 15cm B. 10cm C. 5cm D. cm二. 填空题：1. 已知⊙O 的弦 AB 与 CD 交于 P 点，AP=3cm，BP=6cm，CD=11cm，则 CP= cm。
2. 半径为 5 的⊙O 内有点 A，OA=2，过 A 点的弦 CD 恰被 A 点平分，则 AC= 3. 已知⊙O 和不在⊙O 上的一点 P，过 P 的直线交⊙O 于A、B， ，OP=5 ，则⊙O 半径长为 4. 如图，若⊙O 的半径为 OA=5，P 在 OA 上，PA=2 ，MN 过 P 点，使 ，则弦心距 OQ 的长为 5. 如图，在 中，两条直角边 AC=6cm，BC=8cm，以 AC 为直径的圆与斜边AB 交于点 D，OE 为弦心距，则 OE= cm 三. 解答题：1. 如图，BG 切⊙O 于 B，弦 CD∥AB，交 BG 于 G 点，PA、PB 交 CD 于 E、F，求证：2. MN 切⊙O 于 A，AC 平分 ，若 NB=4，AN=6，求 AB 长。