第六章第六章 圆圆第第 21 讲讲 与圆有关的计算与圆有关的计算 考点梳理考点梳理过关过关过关过关考点考点考点考点1 1 正多边形与圆正多边形与圆1 1．正多边形的相关概念圆内接正圆内接正n n边形边形把圆分成n n(n≥3n≥3)等份，依次连接①各等分点所得的多边形中心中心正多边形的②外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心半径半径③外接圆的半径叫做正多边形的半径边心距边心距中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距中心角中心角正多边形每一边所对的④圆心角都相等，这个⑤圆心角叫做正多边形的中心角 2.正n边形的有关计算正n边形的边长为a，半径为R，边心距为r，中心角为α，外角为β.(1)正n边形的边数n与其外角β的关系：n＝⑥ ． (2)R和边组成n个全等的⑦等腰_三角形，R，r和边的一半组成2n个全等的⑧直角三角形．(3)可以通过勾股定理或三角函数表示R，r，a，α之间的数量关系． 3．等分圆周圆周圆周n n等等分分以中心角为所对的弦长，依次截取圆周，即可把圆n等分 提示►正n边形的对称性：正n边形是轴对称图形，有n条对称轴；当n是偶数时，正n边形也是中心对称图形，当n是奇数时，正n边形不是中心对称图形圆周四等圆周四等分分两条互相垂直的⑨直径即可把圆四等分圆周六等圆周六等分分在半径为R的圆上，依次截取等于⑩R的弦，即可把圆六等分 考点考点考点考点2 2 2 2 弧长与扇形弧长与扇形 6 6年年5 5考考弧长公式弧长公式在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C＝2πR，所以n°圆心角所对的弧长l＝ 扇形面积扇形面积公式公式在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积等于圆面积S＝πR2，所以n°圆心角所对的扇形面积S＝ 考点考点考点考点3 3 3 3 圆柱与圆锥圆柱与圆锥圆柱与圆锥圆柱与圆锥 6 6 6 6年年年年1 1 1 1考考考考 圆柱圆柱 圆锥圆锥 圆柱的展开图圆柱的侧面积与全面积圆锥的展开图圆锥的侧面积与全面积 典型例题运用典型例题运用 类型类型1 正多边形的计算正多边形的计算【例1 1】 [2017·株洲中考]下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( A ) A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形A A ∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°，正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°，正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°，正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°，∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形． 变式运用►如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R，周长P和面积S. 类型类型2 2 弧长和扇形面积的计算弧长和扇形面积的计算【例2 2】 如图所示，在平面直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的面积为( C ) 变式运用►[2017·咸宁中考]如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则 的长为( C )A．π B. π C．2π D．3πC C 已知四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形对角互补可得∠BCD＋∠A＝180°，由圆周角定理可得∠BOD＝2∠A，再由∠BOD＝∠BCD可得2∠A＋∠A＝180°，所以∠A＝60°，即可得∠BOD＝120°，所以 . 类型类型3 3 圆锥的计算圆锥的计算 【例3 3】 [2017·宁波模拟]已知圆形纸片⊙O的直径为2，将其沿着两条互相垂直的直径折叠，得到四层的扇形，将最上的一层“撑”开来，“鼓”成一个无底的圆锥，则这个圆锥的高是( C )A. B. C. D．1C C 由题意知，该无底圆锥是由半圆O围成的，其半径为1，折叠后扇形的弧长为π，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝π，解得r＝ ，∴圆锥的高为 . 变式运用►[2017·闵行区质检]阅读材料：将一个Rt△AOB(及其内部)绕其一条直角边AO所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥．圆锥的底面是以OB为半径的一个圆形．圆锥的侧面展开是一个以A为圆心，斜边AB的长为半径的扇形，Rt△AOB的斜边AB称为圆锥的一条母线，扇形的弧长就是圆锥底面的周长(如图所示)．圆锥表面积＝S圆锥的侧面＋S圆锥的底面．阅读后，请解答下面的问题：从卡纸上剪下半径是30cm(母线l＝30cm)的扇形，做一个圆锥纸盒，圆锥的底面圆O直径是20cm(如图所示)． (1)求圆锥的底面圆O的周长；(2)求剪下的扇形的圆心角；(3)求圆锥的表面积． 六年真题全练六年真题全练命题点命题点1 1 弧长和扇形面积弧长和扇形面积 1 1．[2013·德州]如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为( C ) 2 2．[2017·德州，17，4分]某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E为上切点)，与左右两边相交(F，G为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，根据设计要求，若∠EOF＝45°，则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面积的比值)为 ． 3 3．[2016·德州]如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的是 ． 4 4．[2014·德州]如图，正△ABC的边长为2，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是 ． 5．[2012·德州]如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于__π__． 命题点命题点2 2圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图6．[2015·德州]如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4∶5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为( A ) A．288° B．144° C．216° D．120°A A 设底面半径是4a，则母线长是5a，利用底面周长＝展开图的弧长，得2π·4a＝ ，解得n＝288，∴所需扇形铁皮的圆心角为288°. 猜押预测►如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是( B ) A．10π B．15π C．20π D．30π B B 由三视图可知此几何体为圆锥，∴圆锥的底面半径为3，母线长为5，∴圆锥的侧面积＝πrl＝π×3×5＝15π. 。