一致连续性的判定定理及性质

安庆师范学院数学与计算科学学院 2008 届毕业论文第 1 页 共 12 页 1一致连续性的判定定理及性质作者：朱肖红 指导老师：张海摘 要 函数的一致 连续性是数学分析课程中的一个重要概念,在分析问题中起着十分重要的作用.它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础,而且与随后的含参量积分,函数项级数等概念都有着密切的联系.因此,判定函数的一致连续性是数学分析的一项重要内容.本文对函数的一致连续性的概念进行了深入分析,对判定函数一致连续性的充分条件,充要条件作了简要概括,并给出了闭区间和开区间上函数一致连续性的判别方法.包括无穷区间上函数一致连续性的判定,并分别给出了这些定理的证明.同时,本文也总结了一致连续性的几个性质及它的应用.关键词 连续函数 极限 有界函数 一致连续 非一致连续1 引言弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键.数学分析教材中只给出了一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的Cator 定理,内容篇幅少,但实际运用时,这些远远不够.本文将给出函数在区间上一致连续性的几个充分条件,充要条件及性质与运用.这几种方法为教科书所忽视,但比较实用且应用面广泛,有必要加以详细讨论.2 一致连续性的概念定义 2.1 设函数 在区间 I 上有定义.若 只要xf ,,0,21Ix都有 ,称函数 在 上一致连续.,21x21xf xf对函数一致连续性概念的掌握,应注意以下三个方面的问题：（1）要注意函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系比较函数在区间的连续性和一致连续性可知：前者的 不仅和 有关,而且还和点 有关,即0x对于不同的 ,一般来说 是不同的,这表明只要函数在区间内每一点都连续,函数就在区间连0x续；后者的 仅与 有关,与 无关,即对不同的 , 是相同的.这表明函数在区间的一致连0x0x续性,不仅要求函数在这个区间的每一点都连续,而且要求函数在区间上的连续是“一致”的.（即连续可对一点来讲,而且对于某一点 , 取决于 和 ,而一致连续必须以区间为对象, 00只取决于 ,与点 的值无关.）0x在区间 上一致连续的函数在这个区间一定是一致连续的,事实上,由一致连续性定义将I固定,令 变化,即知函数 在 连续,又 是 的任意一点,从而函数 在 1x2xf11xIxfI连续,但在区间 连续的函数在这区间上不一定一致连续,例如 在区间 就是I xf1,0如此.（2）函数一致连续性的实质,就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值的差,安庆师范学院数学与计算科学学院 2008 届毕业论文第 2 页 共 12 页 2就绝对值来说,可以任意小,即任意的 ,当 时,就有 .21x2121xff（3）要注意函数一致连续的否定叙述一 致 连 续 的 否 定 就 是 非 一 致 连 续,即 设 函 数 在 区 间 上 有 定 义 ,若 fI有 ,则称 在 上非一致21210 :,, xIx021xf)(xfI连续.总的来说,函数的连续性反映了函数的局部性质,而函数的一致连续性则反映了在整个区间上的整体性质.二者之间既有区别又有联系.3 一致连续性的判定定理判定函数一致连续性的几个充要条件定理 3.1 在 上一致连续的充要条件是 在 上连续.xfba, xfba,证明　［必要性］由定义直接可得.［充分性］采用反证法,假设 在 上非一致连续,xfba即 对 ,在区间 内至少存在两点 及 , 虽然0, 1x2,但 .21x0ff现取 ,那么在 内存在两点 及 . 虽然32,1nbanx1n2,但 .nxn210ff应用魏尔斯特拉斯定理,在有界数列 中存在一个收敛的子列 ,这里 1 kxkn01,再由于 , 所以bax0xn21,kknx21亦即 .因为 ,所以 ,kxkkn021 kn01 kxkn02并且 对一切 成立.另一方面,由于 在 连续,亦即0kkff f.00limxfx由函数极限与数列极限的关系,有 .而021li,xfff kk nknk .li2knf安庆师范学院数学与计算科学学院 2008 届毕业论文第 3 页 共 12 页 3这同 对一切 成立相矛盾.即假设不成立.即原命题成立.021kknnxff k定理 3.2 函数 在有限开区间 内一致连续的充要条件是 在 内ba, xfba,连续且极限 和 存在.xfalimxfbli证明　［充分性］令 bxfafxg),0(,)则 在 上连续,从而 在 上一致连续.)(xgba)(ba,［必要性］ 因为 在 内一致连续. 在 内连续,并且xf xfba,,当 时, 有21,0, 212xff于是当 时，有ax,,21.21xff根据柯西准则,极限 存在.同理可证 也存在 .xfalimbxlim定理 3.3 设函数 在区间 上有定义, 在 上一致连续的充要条件是对区间 上II I的任意两数列 与 ,当 时,　　　　　　有}{nxy0)(linny.lifxf证明　［必要性］因为 在 上一致连续,所以 ,fI Iyx,0,当 时有yx.)(yfx任取 上的两数列 与 并且满足I}{nxny.0)(limnyx则对 ,当 时有N0.0nyx安庆师范学院数学与计算科学学院 2008 届毕业论文第 4 页 共 12 页 4于是 ,即)(nnyfxf.0)]([limnnnyfxf［充分性］假设 在 上不一致连续 ,xfI则 ,但21210 :,, x.02ff特别,取 ,则 ,但)(NnnyxIynn1,,0)]([lim)(,0 nyfxffxf这与已知条件矛盾.所以原命题成立.判定函数一致连续性的几个充分条件定理 3.4 　若 在 内连续,且 都存在,则 在xf),()(li),(lixffxx xf上一致连续 .),(证明　 ,当 时,　有0,)(lim,0,1 bAfx,2x从而当 时, 有12121,,xb.Axfxfff )()()(212所以 在 上一致连续 .　同理可证当 时,有xf),[,21xff即知 在 上一致连续 .xf],(a又 在 上连续, 当 时，有b03321x,ff故 在 上一致连续 .　取 ,当 时便有xfa, },min{32121xxff即 在 上一致连续.xf),(安庆师范学院数学与计算科学学院 2008 届毕业论文第 5 页 共 12 页 5定理 3.5　 若函数 在区间 上的导数有界,则 在 上一致连续.)(xfI)(xfI推论 若函数 在 上单调增加,可导且其图形是上凸的,则 在区间[a )(xf上一致连续.),[a证明：由 可导且单增,从而 ,又曲线 向上凸,从而 在)(xf 0)('xf )(xfy)('xf上单减.所以),[,)('' afxf于是 在 上有界,由上定理知, 在 上一致连续 .)('xf)[a[定义 3.1 设函数 是区间 上的实值函数,如果任取 ,有)(xfI 10,Iyx )]}(1)()1([{1]1[ ffyxfyyxf  称是区间 上凸（下凸）函数.定义 3.2　若 在 有定义,且 的极限存在,则)(xf)(0xUhxffh )2()(lim00称 在 拟可导,记为)(xf0.hxfxfxDfh )2()(li)( 000 引理 3.1 凸函数在任意开区间（有限或无穷） 上连续.I引理 3.2 若函数 在 上连续,且对 ,有)(fIx21,,)()(21ffxf则 为下凸函数.)(xf定理 3.6 若函数 在区间 （有限或无穷）上单调,且 在 内处处存在且有)(xfI )(xDfI界,则函数 在开区间 上一致连续.)(xfI证明　不妨设 在开区间 上单调增加.)(fI因为 在 内处处存在,有界,即 ,有 .)(xDfI IxM,0Mxf)(下面证明：对 ,有Ix211安庆师范学院数学与计算科学学院 2008 届毕业论文第 6 页 共 12 页 6.)(2)(112xMxff 若不然, ,使11,baI.)()(111abaff令 ,则区间 和 中至少一个,记为 , 满足)(21c],[c][ ][2)(2)(2Mfbf 由此,利用归纳法可得到区间套 . ],[],[],[1 nbaa)(21)()11babMffnn n根据区间套定理,这些区间有惟一的公共点,记为 .由条件知, .所以, ,使当 ,且 时，有Df)(0hIh2,. (3)Mff)]()2([1因为 ,且 ,故存在正整数 N,使 .不妨设][1nbana 2Na.令 ,则 ,且N)(0Nbh0h.2220a故 000 )()()()2( Mhabfbfhff NN此与（3）矛盾,从而（1）试对 内任意两点都成立,因而可得 在区间 上一致连续.I xfI推论 1 若函数 是开区间 （有限或无穷）上的凸函数,且拟导数存在,有界,则)(xfI在区间 上一致连续.)(xfI证明　不妨设 为区间 上的下凸函数, .)(xfI因为 为凸函数,所以 在 上连续.若 在 上单调,由定理 3 知结论成立.若)(ff )(xfI在 上不单调,由 为区间 上的下凸函数可知,在 上至少存在三点xI)(xII安庆师范学院数学与计算科学学院 2008 届毕业论文第 7 页 共 12 页 7,有 ,且 .321x)(21xff)(32xff因为 在 上连续,故存在 ,使 .下证)(xf][3 30min],[031x.否则,若存在 ,且 .若 ,则 ,使 min0fIx][14xIx)(04ff 04x,从而 10,)1(41 ,矛盾.)()())( 040xffxff 同理 不成立.于是,由 为区间 上的下凸函数定义可证, 在 上递减,在04xI(f]0xa[ 上递增.故 在 与 上一致连续.而 在 上连续,故 在 上一),0b)(f],0xa[)b)(xfI)fI致连续.推论 2　若函数 在开区间 （有限或无穷）满足条件：)(fI,有Ix21,)( );2(2)11xfxf. 和 都存在)(,f)(f在 上处处拟可导,且拟导数有界.)3(I则函数 在区间 上一致连续.xfI证明　先证 在 上连续.对 ,下证 .因为 ,)(f Ix0 )()(00xff)()(00xff则不妨设，取 ,)()(00fxf,)()(41100ff，有 ,1:xI x,有 .0x)(0ff有}2,2)(min{,,01MxhMhxffffxfhxfxf )()()())()2()( 0000000 。