高等代数论文-n维线性空间的线性变换的核与值域的性质及应用

数统学院数学与应用数学系“高等代数”课程论文题目： n n 维线性空间的线性变换的核与值域的性质及应用维线性空间的线性变换的核与值域的性质及应用 姓名： 郑某某学号：xxx数统学院数学与应用数学系数学与应用数学专业 2011 级2013 年 2 月 26 日摘要摘要：本文先从 n 维线性空间上的线线变换的核与值域出发，引出它们的一些性质通过几种类型的例题来加深对这些性质的理解由解题的过程，可以总 结出解决 n 维线新空间的线新变幻的核与值域的一般方法与思想关键词：关键词：n 维线新空间 线新变换 值域 核一．相关定义及性质文[1][2]给出了具体的关于 n 维线性空间的线性变换的相关定义及性质 下面是性质的一个补充我们知道：若的 n 维线性空间 V 的线性变换，则（V）和是1(0)的不变子空间若也是 V 的一个线性变换，且与可交换，那么的 值域和核是不是也是的不变子空间？命题一：若线性变换是 n 维线性空间 V 的线性变换，且，可交换，, 则的核和值域都是-子[3]空间证明：，则有 1(0)（（） ） =（）=（0）=0（）1(0)（），( )V（（） ）=（（） ）( )V也是 A-子空间。

)V二．有关核与值域的维数问题例一：设 F 为数域，V=，证明：nF1）T()=()是线性空间 V 的一个线性变换，且12,,,nx xxL1210,,,,nx xxL=0nT 2）求 T 的核与值域 TV 的维数证明：设=（）（）12nL,V12nLVT()=(0,)112211,,,nn L=()+()=T+T1210,,,,n L1210,,,,n L,kF 则 T（）=（）=（）=，k1210,,,,nkkkLk1210,,,,n LkTT 为线性空间 V 的线性变换又由于（）=T（）=（）2T12,,,nx xxL1210,,,,nx xxL1220,0,,,,nx xxL（）=（）3T12,,,nx xxL1230,0,,,,nx xxLM0nT 2)由 T（）=（）=012,,,nx xxL1210,,,,nx xxL则可得：=0121nxxxL即：为由一切向量（）所作成的子空间1(0)T0,0,,0,nxL它是一维的又 r()+r(TV)=n1(0)Tr(TV)=n-1 小结：通过本题的解答，我们知道了如何求解核与值域的维数（[4]） 。

例二：（兰州大学 2006 年硕士研究生入学考试试题）设是 n 维线性空间 V 的线性变换，，分别是的1VV2V 1(0)值域与核，是是一组基，设 是的原像，12,,,r L1V12,,,r L12,,,r L令 W=L（） ，证明：12,,,r L1）的秩+的零度=n2）V=W2V证明：设是零度为 t，且是它的一组基，则可扩充为 V 的一组基12,,,t L，，且=0，12,,,t L12,,,ttnL1()i1,2,itL从而（V）=L（，）1V 12(),(),,()t   L12(),(),,()ttn   L=L（）12(),(),,()ttn   L下证是（V）的一组基12,,,ttnL令=01122ttttnnxxxL（）=01122ttttnnxxxL即：1nii i tx 1(0)=1nii i tx  1tii iy-=01nii i tx  1tii iy又线性无关，可得=012,,,n L12nxxxL是（V）的一 组基。

12,,,ttnL的秩+的零度=n-t+t=n.2)依题意得：，()ii1,2,irL由线性无关，则也线性无关12,,,r L12,,,r LdimW=dim(L())= r =秩（）=的秩12,,,r L1V又 dim=的零度，dimW+dim2V2Vn,则有，且（）=02WV 1122rryyyL（）=01122rryyyL=0 1122rryyyL120ryyyL即：0V=W2V小结：例二深入的探讨了有关的秩，的零度的关系问题，并和直和相 合，其中要明确的是基的作用三：幂等变换下线性变换的核与值域问题例三（2004 年苏州大学硕士学位研究生入学考试试题）设是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的一个线性变换，，证明：21）=1(0){( )|}V 2）V=1(0)( )V3）如果是 V 的线性变换，，都是的不变子空间，1(0)( )V 证明：1），则 1(0)2(( ))( )( )0   ( ) 1(0)设，则，1(0)( )0 ( ) =1(0){( )|}V 2），V++( ) ( ) 1(0)( )VV=+1(0)( )V设，则，1(0)( )V( )0 ,V s t( ) 2( )( )( )0  ={0}1(0)( )V即：V=1(0)( )V3 ）设和都在下不变，，1(0)( )VV由 2） ，则，，使 1(0)( )V，( ) 1(0)( )( )V ( ( ))( )0   使,V ( )( )  2( ( ))( ( ))( )( )( )      ( ( ))( ( ))( )( )      又，1(0)( )V，使，( )0 ,V ( ) 2( )( ( ))( )( )    ( )( )( )( )    ( )( )  因此：小结：例三在幂等的情况下讨论线性变换的核与值域问题。

而且在这样 的情况下，一中的命题一的逆命题也是成立的在解这类的题目中，明确 核与值域中元素的性质，巧妙的利用幂等关系是解题的关键N 维欧氏空间中线性变换的核与值域问题例四：（苏州大学 2004 年硕士学位研究生入学考试试题） ．设是 n 维欧氏空间 V 的线性变换，对任意的，都有, ,V ，证明：的核等于的值域的正交补 ( ),)( , ( ))   证明： 证法一：设（实矩阵） ，为线性方程组的解空间，即,n nA BR0Ax ( )N A0Ax ；为的列空间，因此( ){ |0}nN Ax AxR( )R AA){|}TTnnR AyA xxRR 因为 对，总有1()TTyA xR A ( )xN A ，11()()0TTTTy xA xxxAx可知与是正交的，注意到，()TR A( )N Adim()TTR ArankArankA这说明dim( )N AnrankA， 是的正交补， （1）()( )TnR AN AR()TR A( )N An nAR2 设是 n 维欧氏空间 V 的标准正交基，且12{ ,,,}n L，； （2）1212( ,,,)( ,,,)nnA   LLn nAR，； （3）1212( ,,,)( ,,,)nnB   LLn nBR， ； （4）12( ,,,)nx L12( ,,,)ny L,nx yR这样由（2） ， （3） ， （4）， 。

（5）12( )( ,,,)nAx  L12( )( ,,,)nBy  L根据标准正交基的性质，应用（4）和（5） ，从已知( ( ),)(, )TAx yy Ax ，( , ( ))( ,)()TTTx ByByxy B x  ,nx yR这说明， （6）()0TTyABx,nx yR从（6）可知 TAB （7）从（2）和(3)可得， （8）( )KerN AIm( )R B这样由（1）和（8） ， 是的正交补，再应用（7）可的结论：()( )TR BR A( )N A的核等于的值域的正交补 证法二：下证：的核和的值域的正交补是互为包含的KerIm(Im )对，，由已知Ker( )Im ( ( ),)(0,)0( , ( ))   得，即。

Im )(Im )Ker对，，由已知，这样当(Im )( )Im ( , ( ))0( ( ),)   取时，有( ) ，( , ( ( )))0( ( ),( ))      这说明，因此，即 )0 Ker(Im )Ker小结：本题给出了两种从不同的角度出发的证法理解欧氏空间的内积性质，知道同一线性变换在不同标准正交基的矩阵的性质，是证法一的关键相 对的证法二比较简单，理解值域与核中元素的性质，知道正交补的概念，通过 相互包含来解题五．已知象求相应的线性变换例五：在中，,，，求以4R11021         21 1 0 0   30 1 2 1         43 1 4 2  L()为值域的上的线性变换1234，，，4R解：是的一个极大线性无关组，则有12，1234，，，L（）=L()12，1234，，，记，T（，） ，由于，从而可将3400 00 10 01               ，12，34，0T 扩充为的一个基，。

12，4R12，34，取，则可确定线性变换，1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0B          （，）=（，）B 为以 L()12，34，12，34，1234，，，为值域的线性变换 小结：在文[5]中有具体的关与已知象求相应的线性变换的方法，在本例中 只是给出了一个实例参考文献：参考文献： [1] 李师正李师正 主编主编 高等代数解题方法于技巧高等代数解题方法于技巧 高等教育出版社高等教育出版社 [2] 北京大学数学系与代数教研室代数小编北京大学数学系与代数教研室代数小编 高等代数（第二版）高等代数（第二版） 高等教育出版社高等教育出版社 。