解析几何常规题型及方法（1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数 典型例题 给定双曲线过A（2，1）的直线与双曲线交于两点 及，求线段的中点P的轨迹方程 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥 典型例题 设P(x,y)为椭圆上任一点，，为焦点，， （1）求证离心率； （2）求的最值 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法典型例题 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。
典型例题已知抛物线y2=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值 (2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：（5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决典型例题已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程2．曲线的形状未知-----求轨迹方程典型例题MNQO已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=|MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M点坐标代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.当=1时它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。
这种方法叫做直接法6） 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）典型例题 已知椭圆C的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同两点关于直线对称 分析：椭圆上两点，，代入方程，相减得 又，，，代入得 又由解得交点 交点在椭圆内，则有，得7）两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理或用向量的坐标运算来处理典型例题 已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线C有两个不同的交点（如图） （1）求的取值范围；（2）直线的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直分析：（1）直线代入抛物线方程得， 由，得 （2）由上面方程得， ，焦点为由，得，或B:解题的技巧方面 在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量下面举例说明：（1）充分利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。
典型例题 设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值 解： 圆过原点，并且， 是圆的直径，圆心的坐标为 又在直线上， 即为所求 评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且，PQ是圆的直径，圆心在直线上，而是设再由和韦达定理求，将会增大运算量 评注：此题若不能挖掘利用几何条件，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到典型例题 已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，，求此椭圆方程 解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P、两点 由方程组消去后得 由，得 （1） 又P、Q在直线上， 把（1）代入，得， 即 化简后，得 （4） 由，得 把（2）代入，得，解得或 代入（4）后，解得或 由，得 所求椭圆方程为 评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。
三. 充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算典型例题 求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：上的圆的方程解：设所求圆的方程为： 即， 其圆心为C（） 又C在直线上，，解得，代入所设圆的方程得为所求 评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算四、充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法典型例题 P为椭圆上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标五、线段长的几种简便计算方法① 充分利用现成结果，减少运算过程 一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，，判别式为△，则，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程 例 求直线被椭圆所截得的线段AB的长② 结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算 例 、是椭圆的两个焦点，AB是经过的弦，若，求值③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 点A（3，2）为定点，点F是抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，若取得最小值，求点P的坐标。