2022年10月04184自学考试线性代数试卷及答案 ?1??0??0101000001??001?a? .....??001011?a0??00011?a00???.....7分 从 ??0001?A?1??001?a????01?a0???1?a00??? ......9分18.解 由AX?E?A3?X,得(A?E)X?A3?E ......2分?1?11??101??0?1又由A?E???110????1??????010???101?可?011????001????010??逆 ......5分由(A?E)X?A3?E,可得(A?E)X?(A?E)(A2?A?E) 两边左乘(A?E)?1,得到?X?A2?A?E??0?12??1?11??101??2?201?????110?????010?????3??121????011????001????1 ......9分19解 x1?1?x2?2?x3?3??， ...2分该线性方程组的增广矩阵为而 ?23?21??33??设 ... ?1???1A??1k?1k2?1??1??211??0???1k?1k2?1??21?k?k?2? ?11k10?1?k??11k?11???0???000?k2??? ......6分??由于?能有1,?2,?3线性表出，则必有r(A)?r(A)?3 此时k?0，方程组有唯一解x1?1,x2?x3?0 表示式???1 ..9分20.解 方程组的增广矩阵??11110??10?1?A???01221????1?1??01221?? ??12331????00000??....2分 ?可知r(A)?r(A)?2＜＜4，方程组有无穷解 ......4分由同解方程组??x1??1?x3?x4?x2?1?2x3?2x4求出方程组的一个特解?*?(?1,1,0,0)T, 导出组的一个基础解系?1?(1,?2,1,0)T,?2?(1,?2,0,1)T ......7分从而方程组的通解为?*?cT1?1?c2?2?(?1,1,0,0)T?c1(1,?2,1,0)T?c2(1,?2,0,1)(c1,c2为任意数） ......9分为.... .. 多为常 21.解 由条件可知矩阵 A的特征值为?1?1,?2??3?2 ......2分0 由1?11?x?1?00，得E?A??1?2?x?1x?1 ......4分对于?1?1，由线性方程组(E?A)x?0求得一个特征向量为?1?(?1,1,1)T对于?2??3?2，由线性方程组(2E?A)x?0求得两个线性无关的特征向量为?2?(1,0,1)T,?3?(0,1,1)T??110???P?(?1,?2,?3)??101??111???令,则P?1AP?B ......9分22.解 二次型的矩阵?101???A??020? ......2分?101?????1由?E?A?0?10?(??2)2??0??1特征值为0?1??20的故A?1??2?2,?3?0 ......4分对于?1??2?2，求解齐次线性方程组(?A)x?0，得到基础解系 将 ?3?(?1,0,1)T其单位化，得?3?(?12,0,12)T ......7分?0?令P?(?1,?2,?3)??1??0?10122?1?2?0?,则P为正交矩阵，?1?2??x1???经正交变换?x2???x??3??y1???P?y2?，化二次型为标准形?y??3?2 ......9分 2y12?2y2四、证明题（本题7分）23.证 由于向量组?1,?2,?3线性相关，故存在不全为零的常数k1,k2,k3，使得 k1?1?k2?2?k3?3?0 ......2分其中必有k1?0。
否则，假如k1?0，则上式化为k2?2?k3?3?0 其中k2,k3不全为零，由此推出?2,?3线性相关，与向量组中随意两个向量都线性无关的条件冲突 ......5分 类似地，可证明k2?0,k3?0 ........7分 2022年10月高等教化自学考试全国统一命题考试04184线性代数（经管类）试卷本试卷共8页，满分101分，考试时间150分钟说明：本试卷中，A表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，T*E是单位矩阵，A表示方阵A的行列式，r?A?表示矩阵A的秩一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内错选、多选或未选均无分a111.设3阶行列式a21a12a221a13a23=2，若元素aij的代数余子公式为Aij11（i,j=1,2,3)，则A31?A32?A33? 【 】 A.?1 B.0 C.1 D.2 2.设A为3阶矩阵，将A的第3行乘以?则A=【 】 A.?2 B.?1得到单位矩阵E， 211 C. D.2 223.设向量组?1,?2,?3的秩为2，则?1,?2,?3中 【 】 A.必有一个零向量B. B.随意两个向量都线性无关C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出?1?33???4.设3阶矩阵A??3?53?,则下列向量中是A的属于特征值?2的特?6?64???征向量为 【 】?1???1??1??1?????????A.??1? B.?0? C.?0? D.?1? ?0??1??2??2?????????2225.二次型f(x1,x2,x3)?x1 ?x2?x3?4x1x2的正惯性指数为 【 】A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错误、不填均无分、 6.设f(x)?2?x?131，则方程f(x)?0的根是7.设矩阵A????01?*A?,则= ??20?1?1,则行列式(2A)= 28.设A为3阶矩阵，A??9.设矩阵B????12??10???,,若矩阵A满意PA?B,则A= P??????34??02?TT10.设向量?1?(?1,4),?2?(1,2),?3?(4,2)T,则?3由?1,?2线性表出 的表示式为 11.设向量组?1?(3,1,1)T,?2?(4,1,0)T,?3?(1,0,k)T线性相关， 则数k? 12.3元齐次线性方程组?为13.设3阶矩阵A满意3E?2A?0，则A必有一个特征值为 14.设2阶实对称矩阵A的特征值分别为?1和1，则A? 15.设二次型f(x1,x2)?tx1?x2?2tx1x2正定， 则实数t的取值范围是222?x1?x2?0的基础解系中所含解向量的个数?x2?x3?0三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）3101131016.计算4阶行列式D?的值。
01310113?a3?2?a17.已知矩阵A???a?1?a2a10a1??10??1?，求A 00?00???1?11???318.设矩阵A??110?,且矩阵X满意AX?E?A?X,求X011???19.设向量?1?(1,1,1,1)T,?2?(1,2,1,1)T,?3?(k?1,1,k,k?1)T,??(k2?1,1,1,1)T,试确定当k取何值时?能由?1,?2,?3线性表出，并写出表示式x1?x2?x3?x4?0?20.求线性方程组?x2?2x3?2x4?1的通解（要求用其一个特解和导?x?2x?3x?3x?1234?1出组的基础解系表示） ?1?11??101?????21.设矩阵A??13?1?与对角矩阵B??020?相像，求数x与?x1?002?1?????可逆矩阵P，使得PAP?B 22222.用正交变换将二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?x3?2x1x3化为标准?1形，写出标准形和所作的正交变换四、证明题（本题7分）23.设向量组?1,?2,?3线性相关，且其中随意两个向量都线性无关证明：存在全不为零的常数k1,k2,k3使得k1?1?k2?2?k3?3?0。
．．．．2022年10月高等教化自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码04184）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1.D 2.A 3.C 4.B 5.C二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 6. 5 7. ??8. ??0?1??? ?20??1 4??12?9. ?3? ?22??10. ?3???1?3?2 11. ?1 12. 1 13. ?32 14. E15. 0＜t＜1三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分） 16.解31011310。