2022年高中数学 2.3 变换的复合与矩阵的乘法教案 苏教版选修4-22．3.1矩阵乘法的概念2．3.2矩阵乘法的简单性质课标解读1.熟练掌握两个矩阵的乘法法则，并能从变换的角度理解它们．2．会从几何变换的角度求MN的乘积矩阵．3．通过具体的几何图形变换，理解矩阵乘法不满足交换律.1．矩阵的乘法一般地，对于矩阵M＝，N＝，规定乘法法则如下：MN＝＝.2．矩阵乘法的几何意义(1)变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵．(2)矩阵乘法的几何意义：矩阵乘法MN的几何意义为：对向量α＝连续实施的两次几何变换(先TN后TM)的复合变换．(3)当连续对向量实施(n＞1且n∈N*)次变换TM时，对应地我们记Mn＝M·M·…·M.3．矩阵乘法的运算性质(1)矩阵乘法不满足交换律对于二阶矩阵A、B来说，尽管AB、BA均有意义，但可能AB≠BA.(2)矩阵乘法满足结合律设M、N、P均为二阶矩阵，则一定有(MN)P＝M(NP)．(3)矩阵乘法不满足消去律设A、B、C为二阶矩阵，当AB＝AC时，可能B≠C.1．矩阵的乘法与实数的乘法有什么异同？【提示】 (1)运算条件不同，任何两个实数均可作乘法，而两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同时，才能作乘法．(2)从运算律上看，实数的乘法满足交换律、结合律及消去律，而矩阵的乘法只满足结合律．2．矩阵的乘法与变换的复合有什么关系？简单变换与复合变换有什么关系？【提示】 矩阵的乘法对应着变换的复合，这样使得若干个简单变换可以复合成较为复杂的变换；反过来较为复杂的变换可以分解成若干个简单的变换．3．矩阵乘法MN与NM的几何意义一致吗？为什么？【提示】 不一致；因为前一个对应着先TN后TM的两次几何变换，而后者对应着先TM后TN的两次几何变换.矩阵的乘法运算 (1)已知A＝，B＝，计算AB.(2)已知A＝，B＝，计算AB，BA.(3)已知A＝，B＝，计算A2、B2.【思路探究】 利用矩阵乘法法则计算，根据矩阵乘法的几何意义说明．【自主解答】 (1)AB＝＝＝.(2)AB＝＝＝，BA＝＝＝.(3)A2＝＝，B2＝＝.这些计算只需利用矩阵的乘法公式即可，但对揭示矩阵乘法的性质却有着重要的意义．(1)中尽管A、B均为非零矩阵，但它们的乘积却是零矩阵；(2)中AB≠BA；(3)中尽管B≠C，但有AB＝AC，这与一般数乘有着本质的区别；(4)中A2＝A，B2＝0，这里0是一个二阶零矩阵．证明下列等式并从几何变换的角度给予解释．＝【解】 ∵左＝＝，右＝＝，∴左＝右．对应的变换将平面上的点垂直投影到x轴，而x轴上的点沿x轴的切变变换是不动点.，均为沿x轴的切变变换，自然有等式成立.矩阵乘法的简单性质 已知正方形ABCD，点A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)、D(0,0)，变换T1所对应的矩阵M＝，变换T2所对应的矩阵N＝，计算MN、NM，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释．【思路探究】 利用具体的几何变换验证．【自主解答】 MN＝＝，NM＝＝.故MN≠NM.从几何变换的角度来看，矩阵M表示T1为向x轴压缩为一半的变换，矩阵N表示T2为逆时针旋转90°的变换．这样MN表示矩阵ABCD先经T2，再经T1的变换，变换结果如图所示：而NM表示矩形ABCD先经T1，再经T2的变换，变换结果如图．(2)从图(1)以及图(2)可知，MN和NM表示的不是同一个变换．一个旋转变换与一个伸压变换的乘积一般不满足交换律．但两个旋转变换、两个反射变换满足交换律．算式＝表示AB＝AC，但A≠0且有B≠C，请通过计算验证这个结果，并从几何上给予解释．【解】 左边＝＝右边＝＝.∴左边＝右边．表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再往x轴上投影．表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，再往x轴上投影.变换的复合问题 已知圆C：x2＋y2＝1，先将圆C作关于矩阵P＝的伸压变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°，求所得曲线的方程．【思路探究】 先求出旋转90°的矩阵Q，进而求QP，再求曲线方程．【自主解答】 绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q＝，则M＝QP＝＝. 4分设A(x0，y0)为圆C上的任意一点，在TM变换下变为另一点A′(x′0，y′0)，则＝，即所以又因为点A(x0，y0)在曲线x2＋y2＝1上，所以(y′0)2＋2＝1.故所得曲线的方程为＋y2＝1.矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒．若将本例中两次变换的顺序交换，则曲线的方程如何？【解】 绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q＝，则M＝PQ＝＝.设A(x0，y0)为圆C上的任意一点，在TM变换下变为另一点A′(x′0，y′0)，则＝，即所以又因为点A(x0，y0)在曲线x2＋y2＝1上，所以2＋(－x′0)2＝1.故所得曲线的方程为x2＋＝1. (教材第47页习题2.3第5题)已知△ABC，A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，对它先作M＝对应的变换，再作N＝对应的变换，试研究变换作用后的结果，并用一个矩阵来表示这两次变换． (xx·南京模拟)已知曲线C1：x2＋y2＝1，对它先作矩阵A＝对应的变换，再作矩阵B＝对应的变换，得到曲线C2：＋y2＝1.求实数b的值．【命题意图】 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力．【解】 从曲线C1变到曲线C2的变换对应的矩阵为BA＝＝.在曲线C1上任意选一点P(x0，y0)，设它在矩阵BA对应的变换作用下变为P′(x′，y′)，则有＝，即＝.故解得代入曲线C1方程得，y′2＋(x′)2＝1.即曲线C2方程为：()2x2＋y2＝1.与已知的曲线C2的方程＋y2＝1比较得(2b)2＝4.所以b＝±1.1．若A＝，B＝，则AB＝________，BA＝________.【解析】 AB＝＝＝，BA＝＝＝.【答案】 2．若A＝，B＝，C＝，则AB＝________，AC＝________.【解析】 AB＝＝，AC＝＝.【答案】 3．若A＝，则A2＝________.【解析】 A2＝＝＝.【答案】 4．矩阵乘法的几何意义是________．【解析】 几何意义是先施以沿y轴方向的伸压变换，再施以原点为中心的反射变换．【答案】 先施以沿y轴方向的伸压变换，再施以原点为中心的反射变换1．已知A＝，B＝，C＝，计算AB、AC.【解】 AB＝＝，AC＝＝.2．计算.【解】 原式＝＝＝.3．已知M＝，W＝，试求满足MZ＝W的二阶矩阵Z. 【解】 设Z＝，则MZ＝＝.又因为MZ＝W，且W＝，所以＝，所以解得故Z＝.4．验证下列等式，并说明其几何意义(结合法从右到左进行)．(1)＝；(2)＝.【解】 (1)右边＝＝＝＝左边．故等式成立．从几何变换上说，矩阵把点P(x，y)切变到点P1(y，x＋y)；矩阵把点P1(y，x＋y)切变到点P2(x＋2y，x＋y)；矩阵把点P2(x＋2y，x＋y)垂直于x轴伸长2倍变成点P3(x＋2y,2x＋2y)；矩阵把点P3(x＋2y,2x＋2y)向y轴正向切变到点P4(x＋2y,3x＋4y)．这样连续实施以上四次变换的结果与用矩阵直接把点P(x，y)变到点P4(x＋2y,3x＋4y)是一致的．(2)右边＝＝＝左边．故等式成立．从几何上看，矩阵把点A(x，y)以直线y＝x为对称轴，反射到其点A1(y，x)；而把点A1(y，x)平行于x轴切变到点A2(y＋kx，x)；矩阵把点A2(y＋kx，x)以直线y＝x为对称轴，反射到对称点A3(x，y＋kx)．这样连续三次变换的结果与用矩阵直接把点A(x，y)沿y轴切变到A3(x，y＋kx)是一致的．5．试求曲线y＝sin x在矩阵MW变换下的函数解析式，其中M＝，W＝.【解】 MW＝＝＝.设(x′，y′)是曲线y＝sin x上任意一点，变换后曲线上与之对应的点为(x，y)，则有＝，即＝，所以即所以y＝sin 2x，即y＝2sin 2x.故曲线y＝sin x在矩阵MW变换下的函数解析式为y＝2sin 2x.6．求曲线2x2－2xy＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M＝，N＝.【解】 MN＝＝，设P(x′，y′)是曲线2x2－2xy＋1＝0上任意一点，点P在矩阵MN对应的变换下变为点P′(x，y)，则有＝＝于是x′＝x，y′＝x＋.代入2x′2－2x′y′＋1＝0得xy＝1，所以曲线2x2－2xy＋1＝0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy＝1.7．已知晴天和阴天的转移矩阵A，及表示今天天气晴、阴的概率α分别为A＝明天，α＝今天(1)计算A2、A3，并分别说明A2、A3的实际意义；(2)请用矩阵A与向量α表示出明天，后天与再后天的天气晴、阴的概率．【解】 (1)A2＝，A3＝，它们分别表示A2＝后天，A3＝再后天.(2)明天天气晴、阴概率Aα＝；后天天气晴、阴概率A2α＝；再后天天气晴、阴概率A3α＝.教师备选8．设TA是绕原点旋转且旋转60°的旋转变换，TB是以直线x＋y＝0为轴的反射变换，求先进行TA变换后进行TB变换的复合变换对应的矩阵．【解】 若逆时针方向旋转，则TA，TB对应的矩阵分别为A＝＝，B＝，故所求矩阵为BA＝＝.若顺时针方向旋转，则TA，TB对应的矩阵分别为A＝＝，B＝，故所求矩阵为BA＝＝.综上所述，所求矩阵为或.一、矩阵的乘法运算矩阵与矩阵的乘法运算是高考考查本章知识的一个重要考点． 已知二阶矩阵M满足M＝，M＝，求M2.【解】 设M＝，由M＝得＝，所以a＝1，c＝0.由M＝得＝，所以b＝1，d＝2.所以M＝.所以M2＝＝.所以M2＝＝.二、矩阵的乘法与变换的复合问题以矩阵乘法为载体考查矩阵变换的有关知识是高考考查的热点． 在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O(0,0)，A(2,0)，B(1，)，求 △OAB在矩阵MN的作用变换下所得图形的面积，其中M＝，N＝.【解】 MN＝＝＝.又因为＝，＝，＝，所以O，A，B三点在矩阵MN的作用变换下所得点分别为O′(0,0)，A′(2,0)，B′(2，－1)，所以S△O′A′B′＝×2×1＝1.故△OAB在矩阵MN的作用变换下所得图形的面积为1. 已知矩阵A＝，B＝，求抛物线y2＝x经过矩阵AB作用下变换得到的曲线方程．【解】 AB＝＝.在曲线y2＝x上任取一点P(x，y)，它在矩阵AB对应的变换作用下变为P′(x′，y′)，则有＝，即即代入y2＝x，得y′＝x′2，所以曲线y2＝x经过矩阵AB作用下变换得到的曲线方程为y＝。
