浅谈利用分类讨论解一元二次不等式 摘要：三个“二次”问题是高考的“常青树”.其中，利用导数工具解决含参数的函数的单调性、极值、最值等问题是高考的热点和难点，而解含参一元二次不等式是解决此类问题的关键，同时也是解题的难点，是高考试题中有较大区分度的题目.合理的对参数进行分类讨论是解题的关键.关键词：浅谈 分类讨论 一元二次不等式 含参一元二次不等式是由于不等式中含有参数字母，导致决定不等式解集的因素不确定，从而需要分类讨论.通过体验含参一元二次不等式的解题过程，能提高逻辑分析能力.在理解函数和不等式的关系时，需要借助直观的图像解决抽象问题，从而提高数形结合以及分类讨论的能力.因此规范的解答含参数的一元二次不等式，能进一步加强数形结合、分类讨论等数学思想方法的渗透.一、三个“二次”间的关系（）判别式x1x无根例1：解不等式 .解答：原不等式可化为 ，方程 的根为：.不等式的解集为 .方法归纳：通过三个二次的关系体会决定一元二次不等式的解集的三要素：（1）二次项系数的符号，（2） 判别式的符号，（3） 两实根的大小.二、解题初探含参一元二次不等式是由于决定解集的三要素不确定，导致需要分类讨论.首先应注意此类不等式的二次项系数是否为参数，若为参数应先对二次项系数为零和不为零分类讨论；若二次项系数为零则不等式为一元一次不等式，容易写出解集；若二次项系数不为零则不等式为含参一元二次不等式，含参一元二次不等式可分为两大类型：（一）“可因式分解”型例2：解关于 的不等式 . 分析:原不等式可因式分解为 ，对应方程 的两根分别为 ，此时，由于 与 的大小关系不确定，所以需按照 的大小关系分类；进而画出对应二次函数 的简图，画图应注意开口方向，根据图像写出解集.解答：原不等式可化为 ,令 得 .（1）若 ，即 则解集为Ｒ.（2）若 ，即 ，则：解集为 .3. 若 ，即 ，则：解集为 .综上所述：当 时，不等式的解集为 ;当 时，不等式的解集为 ;当 时，不等式的解集为 .方法归纳：此类含参一元二次不等式可因式分解（ ），因为不等式对应方程的根 含有参数，则需对两根分 ， , 三种情况从 的取值范围分类讨论，同时应注意二次项系数的符号，画出对应二次函数 的简图，画图时注意开口方向，根据图像写出解集.（二）“不可因式分解”型例3：解关于 的不等式 .分析：原不等式的二次项系数为参数 ，所以需对二次项系数a=0和a≠0两大类分类讨论.当二次项系数a=0时，原不等式是一元一次不等式 ，容易写出解集为 ；二次项系数a≠0时，原不等式为一元二次不等式，由于不可以因式分解，所以应围绕决定一元二次不等式的解集的三要素讨论.首先按a>0和a<0分类；其次在a>0和a<0的前提下 的符号也不确定，又需在a>0和a<0的前提下按 再分类讨论；再次在 时还需注意两根的大小关系.解答：（1）当 时，不等式的解集为 .（2）当 时，若 ，即 ,令 得：，不等式的解集为 .若 ，即 时，不等式的解集为 .（3）当 时，若 ，即 ,令 得：,不等式的解集为 .若 ，即 时，不等式的解集为 .若 ，即 时，不等式的解集为综上所述:时，不等式的解集为 ；时,不等式的解集为 ;时，不等式的解集为 ;时，不等式的解集为 ;时，不等式的解集为 ;时，不等式的解集为 .方法归纳: 首先应注意此类不等式的二次项系数为参数，所以应先对二次项系数为零和不为零讨论；其次，二次项系数不为零时，此一元二次不等式不可因式分解，应围绕决定解集的二次项系数、 判别式的符号和两根的大小三要素依次分类讨论.通过近三年的高考试题分析，含参不等式问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的问题往往与导数交织在一起，题型多以解答题出现，难度较大.例4：已知函数 ，求函数 的单调区间.分析：该题利用导数法求单调区间，定义域为 ，求导得 ，分别令 和 ，即令 和 得到单调递增区间和单调递减区间，也即解关于 的含参一元二次不等式.解答：定义域为 ,.,令 ，即 ，,得 .令 ，即 ，,得 .函数 在 上单调递增，在 上单调递减.三、探究总结通过以上分析研究,对于含有参数的一元二次不等式的求解，若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零;若二次项系数不为零应先考虑分解因式，若可因式分解则围绕两根的大小关系进行分类讨论，若不可因式分解则应围绕决定解集的三要素依次分类讨论.分类原则：二次项系数、 判别式的符号和两根的大小不定时需讨论.分类标准：二次项系数按 分类讨论； 判别式按 分类讨论；两根按 分类讨论.解题步骤：分类 画图写解集 整合解集解答含参一元二次不等式的关键和难点是合理的对参数进行分类讨论，对参数进行的讨论是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类讨论.只要做到解题时不随意下手，注意二次项系数、 判别式、(若 )两根的大小三要素是否确定，可以把含参一元二次不等式分为“可因式分解”型和“不可因式分解"两大类型，从而进行合理的分类必将轻松解答此类问题. -全文完-。