中考压轴题汇编（一）——函数与几何综合的压轴题1.（2004 安徽芜湖） 如图①， 在平面直角坐标系中，AB、CD 都垂直于 x 轴，垂足分别为B、D 且 AD 与 B 相交于 E 点.已知： A(-2,-6), C(1,-3) (1) 求证： E 点在 y 轴上；(2) 如果有一抛物线经过A，E，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果 AB 位置不变， 再将 DC 水平向右移动k(k>0)个单位，此时 AD 与 BC 相交于 E′点，如图②，求△ AE′C 的面积 S关于 k 的函数解析式 . [解]（1） （本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过E 作 EO′ ⊥x 轴，垂足 O′ ∴AB∥EO′ ∥DC∴,EODOEOBOABDBCDDB又∵ DO′+ BO′= DB∴1EOEOABDC∵AB=6，DC=3，∴EO′=2又∵DOEODBAB，∴2316EODODBAB∴DO′= DO，即 O′ 与 O 重合， E 在 y 轴上方法二：由D（1，0） ，A（-2，-6） ，得 DA 直线方程： y=2x-2①再由 B（-2，0） ，C（1，-3） ，得 BC 直线方程： y=-x-2 ②联立①②得02xy∴E 点坐标（ 0，-2） ，即 E 点在 y 轴上（2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0) 过 A（-2，-6） ，C（ 1，-3）图①C（1，-3）A （2，-6）B D O x E y 图②C （1+k， -3）A （2，-6）B D O x E′y 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 32 页 - - - - - - - - - - E（0，-2）三点，得方程组42632abcabcc解得 a=-1,b=0,c=-2 ∴抛物线方程y=-x2-2 （3） （本小题给出三种方法，供参考）由（ 1）当 DC 水平向右平移k 后，过 AD 与 BC 的交点 E′ 作 E′ F⊥x 轴垂足为F。
同（ 1）可得：1E FE FABDC得：E′ F=2 方法一：又∵ E′ F∥ABE FDFABDB，∴13DFDBS△AE′ C= S△ADC- S△E′ DC=11122223DCDBDCDFDCDB=13DCDB=DB=3+ kS=3+k 为所求函数解析式方法二：∵ BA∥DC，∴ S△BCA=S△BDA∴S△AE′C= S△BDE′1132322BDE Fkk∴S=3+k 为所求函数解析式. 证法三： S△DE′ C∶S△AE′ C=DE′ ∶AE′= DC∶AB=1∶2 同理： S△DE′C∶S△DE′ B=1∶2,又∵ S△DE′ C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4 ∴2213992AE CABCDSSABCDBDk梯形∴S=3+k 为所求函数解析式. 2. （2004 广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为22的圆与 y 轴交于 A、D 两点 . （1）求点 A 的坐标；（2）设过点 A 的直线 y＝x＋b 与 x 轴交于点 B.探究：直线 AB 是否⊙ M 的切线？并对你的结论加以证明；（3）连接 BC，记△ ABC 的外接圆面积为S1、⊙ M 面积为 S2，若421hSS，抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过 B、M 两点，且它的顶点到x轴的距离为h.求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM ＝2，OM＝1，在 Rt△AOM 中，AO ＝122OMAM，∴点 A 的坐标为 A（0，1）（2）证：∵直线y＝x＋b 过点 A（0，1）∴ 1＝0＋b 即 b＝1∴y＝x＋ 1 令 y＝0 则 x＝－ 1∴B（—1，0） ，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 32 页 - - - - - - - - - - AB＝2112222AOBO在△ ABM 中， AB＝2，AM ＝2，BM ＝2 222224)2()2(BMAMAB∴△ ABM 是直角三角形，∠BAM ＝90∴直线 AB 是⊙M 的切线（3）解法一：由⑵得∠BAC ＝90 ，AB＝2，AC＝22，∴BC ＝10)22()2(2222ACAB∵∠ BAC ＝90 ∴△ ABC 的外接圆的直径为BC，∴25)210()2(221BCS而2)222()2(222ACS421hSS，5,4225hh 即 设经过点 B（—1，0） 、M（1，0）的抛物线的解析式为：y＝a（＋ 1） （x－1） ， （a≠0 ）即 y＝ax2－a，∴－ a＝ 5，∴ a＝ 5 ∴抛物线的解析式为y＝5x2－5 或 y＝－ 5x2＋5 解法二：（接上）求得∴ h＝5 由已知所求抛物线经过点B（—1，0） 、M （1、0） ，则抛物线的对称轴是 y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0， 5）∴抛物线的解析式为y＝a（x－0）2 5 又 B（－ 1,0） 、M（1,0）在抛物线上，∴a 5＝0， a＝ 5 ∴抛物线的解析式为y＝5x2－5 或 y＝－ 5x2＋5 解法三：（接上）求得∴h＝5 因为抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c（a≠0 ）由已知得5055c0b5544002cbaaabaccbacba 或 ＝－ 解得 ∴抛物线的解析式为y＝5x2－5 或 y＝－ 5x2＋5. A B C D x M y 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 3.(2004 湖北荆门 )如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心， 2 为半径作圆，交 x 轴于A、B 两点，抛物线)0(2acbxaxy过点 A、B，且顶点 C 在⊙P上. (1)求⊙P上劣弧⌒AB的长；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段 OC 与 PD 互相平分？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由 . [解]（1）如图，连结PB，过 P 作 PM⊥x 轴，垂足为M. 在 Rt△PMB 中，PB=2,PM=1, ∴∠ MPB＝60 ，∴∠ APB ＝120⌒AB的长＝342180120（2）在 Rt△PMB 中，PB=2,PM=1, 则 MB ＝MA ＝3. 又 OM=1 ，∴ A（1－3，0） ，B（1＋3，0） ，由抛物线及圆的对称性得知点C 在直线 PM 上，则 C(1，－ 3). 点 A、B、C 在抛物线上，则cbacbacba3)31 ()31 (0)31()31 (022解之得221cba抛物线解析式为222xxy（3）假设存在点D，使 OC 与 PD 互相平分，则四边形OPCD 为平行四边形，且PC∥ OD. 又 PC∥y 轴，∴点 D 在 y 轴上，∴ OD＝2，即 D（0，－ 2） . 又点 D（0，－ 2）在抛物线222xxy上，故存在点D（0，－ 2） ，使线段 OC 与 PD 互相平分 . 4.（2004 湖北襄樊） 如图， 在平面直角坐标系内，Rt△ABC 的直角顶点C（0，3）在y轴的正半轴上， A、B 是x轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以 OA、OB 为直径的圆分别交AC于点 E，交 BC 于点 F.直线 EF 交 OC 于点 Q. （1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）请猜想：直线EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想. （3）在△ AOC 中，设点 M 是 AC 边上的一个动点，过M 作 MN∥AB 交 OC 于点 N.试问：在x轴上是否存在点P，使得△ PMN 是一个以 MN 为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由. A B C O x y P （1，－1）A B C O x y P（1，－1）M A y x B E F O1Q O O2C 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 32 页 - - - - - - - - - - [解](1)在 Rt△ABC 中，OC⊥AB，∴△ AOC≌△COB. ∴OC2＝OA OB. ∵OA∶OB＝3∶1,C(0,3), ∴2( 3)3.OB OB∴OB＝1.∴OA＝3. ∴A(-3,0),B(1,0). 设抛物线的解析式为2.yaxbxc则930,0,3.abcabcc解之，得3,323,33.abc∴经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为23233.33yxx(2)EF 与⊙ O1、⊙ O2都相切 . 证明：连结O1E、OE、OF. ∵∠ E。