第三讲第三讲第三讲第三讲 秩亏自由网平差秩亏自由网平差秩亏自由网平差秩亏自由网平差2021/3/101授课：授课：XXX n上节广义最小二乘准则： 1、基本模型为：2、平差准则：u以上即为极大验后估计的等价解法！以上即为极大验后估计的等价解法！2021/3/102授课：授课：XXX 2021/3/103授课：授课：XXX 2021/3/104授课：授课：XXX n秩亏自由网平差n所介绍的秩亏自由网平差应用于：ü“自由网自由网”的平差；的平差；ü观测方程的系数阵是列亏的观测方程的系数阵是列亏的(即：不需假定必即：不需假定必要起算数据要起算数据)；；ü不考虑参数的先验统计特性不考虑参数的先验统计特性2021/3/105授课：授课：XXX 一、问题的提出Ø自由网：自由网： 当控制网中没有必要的起算数据时，通常称为自由网Ø附合网、独立网：附合网、独立网： 当控制网中除必要起算数据时外，还有多余的起算数据的网，称为附合网；等于必要起算数据，称独立网Ø自由网平差方法分为：自由网平差方法分为： 经典自由网平差和秩亏自由网平差两种v一些特殊用途的控制网，如变形观测网、沉降监测一些特殊用途的控制网，如变形观测网、沉降监测网等，一般为自由网。
网等，一般为自由网2021/3/106授课：授课：XXX 1、经典自由网平差、经典自由网平差例：2021/3/107授课：授课：XXX ü选定选定x3x3的高程为已知，则可列出误差方程的高程为已知，则可列出误差方程为：为：2021/3/108授课：授课：XXX ü法方程：ü 系数阵的行列式不为零，即R（N）=2，非奇异，方程有唯一解：u经典平差法的条件：经典平差法的条件： 是在控制网中必需设定设定足够的坐标起算数据；2021/3/109授课：授课：XXX u也可设定各点的高程近似值时，取x3的已知高程为近似值，但 即设一点的高程为已知）其函数模型为：u这就成为附有条件的间接平差了2021/3/1010授课：授课：XXX 2、秩亏自由网平差秩亏自由网平差ü如果不假设起始高程，设如果不假设起始高程，设网中全部待定点为参数，则网中全部待定点为参数，则误差方程为：误差方程为：2021/3/1011授课：授课：XXX ü组法方程：组法方程：ü法方程系数阵：法方程系数阵：ü可见，系数阵的行列式等于零可见，系数阵的行列式等于零, ,即是一个奇异阵，即是一个奇异阵，方程有无穷多组解。
方程有无穷多组解ü产生秩亏的原因：产生秩亏的原因：就是平差网形中缺少的必要起就是平差网形中缺少的必要起算数据个数算数据个数ü秩亏数秩亏数d d：：就是秩亏自由网中的基准亏损数，就是秩亏自由网中的基准亏损数， d=R'd=R'（（B B））-R-R（（B B））（（ R‘R‘（（B B）是）是B B的列满秩数，的列满秩数，R R（（B B）是实际秩数是实际秩数2021/3/1012授课：授课：XXX ü秩亏自由网平差：秩亏自由网平差： 如果网中不设起始数据或没有必要的起算数如果网中不设起始数据或没有必要的起算数据，而且又设所有网点坐标为参数，这样的平据，而且又设所有网点坐标为参数，这样的平差问题称为秩亏自由网平差差问题称为秩亏自由网平差2021/3/1013授课：授课：XXX 思考：思考：ü在没有起算数据的网中，秩亏数和什么个数在没有起算数据的网中，秩亏数和什么个数 相等？相等？ü水准网、测角网、测边网、边角网以及水准网、测角网、测边网、边角网以及GPSGPS网网的秩亏数各是多少？的秩亏数各是多少？2021/3/1014授课：授课：XXX 二、秩亏自由网平差原理二、秩亏自由网平差原理ü秩亏自由网平差的函数模型为秩亏自由网平差的函数模型为ü相应的误差方程为相应的误差方程为ü随机模型为随机模型为ü法方程为法方程为2021/3/1015授课：授课：XXX ü问题的提出问题的提出: :在秩亏自由网平差中在秩亏自由网平差中, ,如果像经典平差如果像经典平差平差那样平差那样, ,只要求遵循最小二乘原则求未知参数的解只要求遵循最小二乘原则求未知参数的解, ,将不可能取得唯一确定的估计量将不可能取得唯一确定的估计量; ;ü解决方法解决方法: :为了得唯一确定的估计量为了得唯一确定的估计量, ,需要在遵循最需要在遵循最小二乘原则基础上小二乘原则基础上附加另外条件附加另外条件; ;ü附加条件的前提附加条件的前提: :该条件的确定应保证所求得的未该条件的确定应保证所求得的未知数的估计量是最优的知数的估计量是最优的. .u这样的最优解是唯一存在的这样的最优解是唯一存在的, ,它就是法方程的它就是法方程的最小范最小范数解数解! !2021/3/1016授课：授课：XXX 1、秩亏法方程的最小范数解（直接解法）Ø 设满足法方程的一个解为设满足法方程的一个解为X,X,取其平方和的开方为取其平方和的开方为称为向量称为向量X X的范数的范数, ,几何意义是向量的长度。
几何意义是向量的长度Ø最小范数满足条件最小范数满足条件, ,称为最小范数条件称为最小范数条件, ,其表达式为其表达式为Ø法方程若有一解法方程若有一解X X满足其范数最小满足其范数最小, ,这个解就称为最小这个解就称为最小范数解2021/3/1017授课：授课：XXX Ø求最小范数的法方程解过程：求最小范数的法方程解过程：即求下列数学解：即求下列数学解：得：得：解：2021/3/1018授课：授课：XXX u广义逆矩阵的概念广义逆矩阵的概念1）广义逆）广义逆A-1、定义：、定义：设A的秩R（A）=r≤min(n,m)，满足下列矩阵方程的A-定义为A的广义逆2、广义逆、广义逆A-的计算的计算ØA是非奇异方阵，凯利逆A-1就是A的广义逆ØA是列满秩时ØA是行满秩时ØA是降秩矩阵时：秩分解法、降阶法2021/3/1019授课：授课：XXX u降阶法：降阶法：•在秩亏的方阵A中，删去d个某一行和相应的某一列降阶求逆，删去位置均以“0”代之，即得奇异方阵的广义逆A-•可见A-不唯一•例如：•可以验证：2021/3/1020授课：授课：XXX 2）广义逆）广义逆A+（（Moore-Penrose广义逆、伪逆）广义逆、伪逆）1、定义：满足下列四个条件，即、定义：满足下列四个条件，即2、、 A+的计算的计算 当当A为对称方阵时：为对称方阵时：2021/3/1021授课：授课：XXX u值得说明的是：值得说明的是：1）因广义逆不唯一，但可以证明，用不同的广义逆）因广义逆不唯一，但可以证明，用不同的广义逆（（NN））-代入上式后，求得的代入上式后，求得的X向量却是相同的，向量却是相同的，故故X有唯一解！有唯一解！2）以上解法又称为）以上解法又称为“直接解法直接解法”。
2021/3/1022授课：授课：XXX Ø精度估计精度估计参数估值的协因数阵：参数估值的协因数阵：单位权方差估值仍为：单位权方差估值仍为：R(A)=等于所选参数个数等于所选参数个数u-秩亏数秩亏数d2021/3/1023授课：授课：XXX 2 2、附加条件法（是一种实用算法）、附加条件法（是一种实用算法）ü自由网误差方程为自由网误差方程为ü为消除秩亏，附加条件为消除秩亏，附加条件ü按最小二乘原则，作函数按最小二乘原则，作函数ü得法方程得法方程ü解法方程，得解法方程，得X解解2021/3/1024授课：授课：XXX ü或者，整理得：或者，整理得：2021/3/1025授课：授课：XXX 3. 伪观测值法 数学模型数学模型:平差准则平差准则:2021/3/1026授课：授课：XXX ü按间接平差法求参数：按间接平差法求参数：1、合并、合并2、法方程：、法方程：3、解参数、解参数u可见，其与附加条件法解是等价的可见，其与附加条件法解是等价的2021/3/1027授课：授课：XXX z以上介绍可知：n直接算法需要求广义逆；直接算法需要求广义逆；n附加条件法附加条件法或或伪观测法伪观测法需要确定两项：需要确定两项：Px和和S。
2021/3/1028授课：授课：XXX n按平差基准不同可将自由网平差分为三类按平差基准不同可将自由网平差分为三类:1）以全部网点重心为基准(简称重心基准) 的秩亏自秩亏自由网平差由网平差；(PX=E）2）以网中部份相对稳定点重心为基准(简称拟稳基准) 的拟稳自由网平差拟稳自由网平差(简称拟稳平差，PX1=0,PX2=E,) ；3）即网中存在d 个起始数据, 这就是固定基准下的经经典自由网平差典自由网平差2021/3/1029授课：授课：XXX ü秩亏问题解决：秩亏问题解决：经典平差（附加固定的基准条件）和伪逆平差（直接利用广义逆求解 ）；ü优缺点优缺点：解法简捷 ，但没考虑到解法物理意义，不能反映真实情况ü提出提出：拟稳平差理论ü“拟稳平差拟稳平差”的基本思想的基本思想：考虑到监测网中的点，处于不同的地质构造和地球物理环境，随着时间的延伸，都可能发生变动，但是总存在相对变化小的，即相对稳定的点 2021/3/1030授课：授课：XXX 4 4、自由网拟稳平差、自由网拟稳平差p我我国周江文研究员针对变形监测网提出了一种所国周江文研究员针对变形监测网提出了一种所谓拟稳平差的自由网平差方法。
谓拟稳平差的自由网平差方法1、自由网拟稳平差原理、自由网拟稳平差原理ü设不稳定未知数X1，稳定未知数为X2，则误差方程为u注意：注意：u u2 2大于大于d d，若，若u u2 2=d=d，则拟稳平差转化为经典，则拟稳平差转化为经典自由网平差自由网平差2021/3/1031授课：授课：XXX u值得注意的是：值得注意的是：1）在拟稳平差中，稳定点未知数需满足：如：水准网稳定未知数大于1，测边网大于等于4等2）如取 ，就是秩亏自由网平差；3）如取 ，就为经典自由网平差2021/3/1032授课：授课：XXX ü附加基准条件附加基准条件即：只对相对稳定的拟稳点施以最小范数条件，以达到即：只对相对稳定的拟稳点施以最小范数条件，以达到消除秩亏，求解未知量的目的！消除秩亏，求解未知量的目的！ü附加基准即为：附加基准即为：2021/3/1033授课：授课：XXX ü按最小二乘原则得G是是S标准化矩阵标准化矩阵.2021/3/1034授课：授课：XXX p可见，自由网平差的方法分为可见，自由网平差的方法分为（（1））经典自由网平差；经典自由网平差；（（2 2）重心基准的秩亏自由网）重心基准的秩亏自由网; ; (3) (3)拟稳平差拟稳平差。
所遵循的原则是所遵循的原则是: :u随着所选取基准随着所选取基准PX不同，平差准则也会变化不同，平差准则也会变化2021/3/1035授课：授课：XXX u一般地一般地, 自由网平差模型可概括为自由网平差模型可概括为: 1、式中PX 为基准权, 它不是X的先验权, X为非随机参数2、对于重心基准, PX = E(单位阵) , 3、对于拟稳基准,PX2 = E4、 对于固定基准, PX = 02021/3/1036授课：授课：XXX 5 5、自由网、自由网S S的具体形式的具体形式n附加矩阵附加矩阵S S是根据保证消除秩亏前提计算的，即满足是根据保证消除秩亏前提计算的，即满足也就是求法方程系数阵地零特征值对应的特征向量也就是求法方程系数阵地零特征值对应的特征向量1 1、水准网情况（ｄ、水准网情况（ｄ=1=1））Ø附加矩阵即为：附加矩阵即为：2021/3/1037授课：授课：XXX 2 2、测边网情况（ｄ、测边网情况（ｄ=3,m=3,m为网中三角点数目）为网中三角点数目）（（X X0 0,Y,Y0 0为点的近似坐标）为点的近似坐标）p详细的附加条件为：详细的附加条件为：2021/3/1038授课：授课：XXX 3 3、测角网情况（ｄ、测角网情况（ｄ=4=4））Ø附加条件句体形式为：附加条件句体形式为：2021/3/1039授课：授课：XXX 4 4、边角网情况（ｄ、边角网情况（ｄ=3=3）） 边角自由网与测边网的边角自由网与测边网的S S完全相同。
完全相同5 5、、GPSGPS网情况（ｄ网情况（ｄ=3=3）（与水准网情况类似））（与水准网情况类似）2021/3/1040授课：授课：XXX 例：在下图水准网中，观测高差、距离和各待定点高程例：在下图水准网中，观测高差、距离和各待定点高程近似值见表，分别进行下列自由网平差：近似值见表，分别进行下列自由网平差：（（1 1）以）以6 6号点为固定点的经典自由网平差；号点为固定点的经典自由网平差；（（2 2）以重心基准的自由网平差（）以重心基准的自由网平差（P Pχχ=E=E）；）；（（3 3）以）以1 1，，2 2，，5 5，，6 6四个点为拟稳基准的拟稳平差，四个点为拟稳基准的拟稳平差， （（P Pχχ=diag[1 1 0 0 1 1]).=diag[1 1 0 0 1 1]).2021/3/1041授课：授课：XXX 已知数据如下：2021/3/1042授课：授课：XXX 三种不同的自由网平差方法结果：三种不同的自由网平差方法结果：u说明：说明：1 1））最小二乘准则与未知参数附加的基准约束无关，最小二乘准则与未知参数附加的基准约束无关，即平差该证数即平差该证数V V不因所取基准约束变化。
不因所取基准约束变化2021/3/1043授课：授课：XXX u说明：说明：2 2）未知参数估值不同了；）未知参数估值不同了； 3 3）秩亏自由网平差参数范数比经典自由网平差范数小；）秩亏自由网平差参数范数比经典自由网平差范数小； 4 4））1 1，，2 2，，5 5，，6 6拟稳点的范数最小拟稳点的范数最小2021/3/1044授课：授课：XXX u说明：说明：5 5）自由网在重心基准下参数具有最小迹）自由网在重心基准下参数具有最小迹29.4029.40；拟稳；拟稳基准下仅拟稳点的参数估计具有最小迹基准下仅拟稳点的参数估计具有最小迹20.4720.472021/3/1045授课：授课：XXX u归纳：归纳：1)各种自由网平差的残差各种自由网平差的残差V 是不变量是不变量2)2) 带基准权的参数协因数阵的迹为最小；带基准权的参数协因数阵的迹为最小；（（说明自由网平差参数估计具有方差最小性，即是最优的说明自由网平差参数估计具有方差最小性，即是最优的3）估计量）估计量X是有偏的，但观测值的估计量是是有偏的，但观测值的估计量是最有无偏的最有无偏的。
2021/3/1046授课：授课：XXX 6 6、基准变换、基准变换——相似变换相似变换ü对于一个自由网对于一个自由网, , 选择固定基准有很多可能选择固定基准有很多可能例如水准网例如水准网, , 可选网中任一点高程为固定不变；可选网中任一点高程为固定不变；ü拟稳基准也一样拟稳基准也一样, , 可任选网中可任选网中t t2 2 ( (t t> > t t2 2> > d d ) ) 个坐个坐标为相对稳定点坐标；标为相对稳定点坐标；ü唯重心基准只有一个唯重心基准只有一个基准的选择按实际需要基准的选择按实际需要, , 如变形分析常用拟稳基准、了解如变形分析常用拟稳基准、了解GPSGPS网测量精度常用重心基准或固定基准等网测量精度常用重心基准或固定基准等n不同基准下的最小二乘解具有可变换的特性不同基准下的最小二乘解具有可变换的特性2021/3/1047授课：授课：XXX ü设X1、X2分别为不同基准下的两个解； 则有：ü相减：ü又因：ü故：D称为转换因子向量，可根据转换时约束条件求一阶导数求得！称为转换因子向量，可根据转换时约束条件求一阶导数求得！2021/3/1048授课：授课：XXX n如将最小二乘解 变换为具有基准 的最小二乘解则，由最小二乘解变换为最小二乘最小范数解的公式：2021/3/1049授课：授课：XXX 7 7、附有约束的自由网平差、附有约束的自由网平差ü自由网平差时自由网平差时,有时需要对参数进行部分约束有时需要对参数进行部分约束,如测角网如测角网\GPS网中固定一条基线长度网中固定一条基线长度,但这种约束数尚不足控但这种约束数尚不足控制网必要起始数据个数制网必要起始数据个数,称为称为:附有约束的自由网平差。
附有约束的自由网平差ü分为分为:附有约束的秩亏自由网平差附有约束的秩亏自由网平差; 附有约束的经典自由网平差附有约束的经典自由网平差(即：附有参数的间接平差）即：附有参数的间接平差） 附有约束的拟稳平差附有约束的拟稳平差2021/3/1050授课：授课：XXX •误差方程和约束条件：•最小二乘准则：•组法方程：•附加如下条件：u称为：附有约束的秩亏自由网平差的最小范数准则2021/3/1051授课：授课：XXX 另外：附有约束的拟稳平差最小范数准则：2021/3/1052授课：授课：XXX n结论：结论：1)自由网平差是附有一定基准条件的最小二乘平差自由网平差是附有一定基准条件的最小二乘平差, 固定基准固定基准是外基准是外基准, 而重心和拟稳均是内基准而重心和拟稳均是内基准2) 自由网平差可按广义逆理论自由网平差可按广义逆理论, 由平差模型出发由平差模型出发, 导出参数估计导出参数估计一般公式一般公式; 也可直接附加基准条件也可直接附加基准条件, 由平差模型由平差模型 出发出发, 按附按附有条件的间接平差推导有条件的间接平差推导,参数公式两种平差模型等价。
参数公式两种平差模型等价3) 不论什么基准的自由网平差不论什么基准的自由网平差, 其观测量的残差相同其观测量的残差相同, V 是不变是不变量量, 因而观测量平差值相同因而观测量平差值相同4) 由内基准所估坐标参数由内基准所估坐标参数X 是有偏的是有偏的, 得到参数估值方差得到参数估值方差 是内是内精度精度, 无绝对意义无绝对意义, 只有相对意义只有相对意义, 而这正是变形分析等应用而这正是变形分析等应用所需要的但观测量平差值是最优线性无偏估计所需要的但观测量平差值是最优线性无偏估计, 具有绝对具有绝对意义意义, 可用来检验观测质量可用来检验观测质量2021/3/1053授课：授课：XXX 5) 固定基准、重心基准和拟稳基准选择Ø如果自由网中存在不动点，采用固定基准最好；如果自由网中存在不动点，采用固定基准最好；（如滑坡观测，测站点相对变形点认为是完全不（如滑坡观测，测站点相对变形点认为是完全不动的）动的）Ø自由网中存在一部分点相对另一部分是稳定的，自由网中存在一部分点相对另一部分是稳定的，但实际他们不是固定不动的，则采用拟稳基准；但实际他们不是固定不动的，则采用拟稳基准；Ø如果自由网中各点都是变形点，采用重心基准。
如果自由网中各点都是变形点，采用重心基准2021/3/1054授课：授课：XXX n本章介绍了：1、秩亏自由网平差理论提出；2、秩亏自由网平差方法：最小范数、附加条件，拟稳平差等等3、基准变换；4、通过实例，说明秩亏自由网平差应用、比较了各种方法的性质或特点2021/3/1055授课：授课：XXX 中南大学信息物理工程学院中南大学信息物理工程学院2021/3/1056授课：授课：XXX 素材和资料部分来自素材和资料部分来自网络，如有帮助请下载网络，如有帮助请下载!•2021/3/10•57 。