单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,2,章 拉普拉斯变换及其应用,2.1,拉氏变换的概念,2.2,拉氏变换的运算定理,2.3,拉氏反变换,2.4,拉氏变换应用举例,2.1,拉氏变换的概念,本章简要叙述拉氏变换（和拉氏反变换）的概念、拉氏变换的运算定理和应用拉氏变换求解微分方程的基本方法，并通过拉氏变换应用举例，介绍了典型一、二阶系统的单位阶跃函数和典型一阶系统的单位斜坡响应拉普拉斯变换（,The Laplace,Transfrom,）（简称拉氏变换）是一种函数的变换，经变换后，可将微分方程式变换成代数方程，并且在变换的同时即将初始条件引入，避免了经典解法中求积分常数的麻烦，因此这种方法可以使微分方程求解题的过程大为简化在经典自动控制理论中，自动控制系统的数学模型是建立在传递函数基础之上的，而传递函数的概念又是建立在拉氏变换的基础上的，因此，拉氏变换是经典控制理论的数学基础下一页,返回,2.1,拉氏变换的概念,若将实变量的函数，乘以指数函数,(,其中，是一个复变数,),，再在,0,到之间对进行积分，就得到一个新的函数称为拉氏变换式，并可用符号 表示。
上式称为拉氏变换的定义式为了保证式中等号右边的积分存在（收敛），应满足下列条件：,当 ，；,当 ，分段连续；,当 ，较 衰减得更快上一页,下一页,返回,（,2.1,）,2.1,拉氏变换的概念,由于 是一个定积分，,t,将在新函数中消失因此，只取决于,s,，它是复变数,s,的函数拉氏变换将原来的实变量函数 转化为复变量函数 拉氏变换是一种单值变换和 之间具有一一对应的关系通常前者称为原函数，后者为象函数由拉氏变换的定义式，可以从已知的原函数求取对应的象函数例如,例一：求单位阶跃函数（,Unit Step Function,）的象函数在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当一个开关的闭合,(,或断开,),在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义式,上一页,下一页,返回,2.1,拉氏变换的概念,见,图,2-1,（,a,）,则单位阶跃函数,1,（,t,）定义为 见,图,2-1,（,b,）,所以,在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作用信号由式,(2.1),有,上一页,下一页,返回,2.1,拉氏变换的概念,例二：求单位脉冲函数,(Unit,Puise,Fuction,),的象函数。
设函数,函数的特点是,单位脉冲函数 定义为：,在 时及在 时为,0,，在,t=0,时，由 ；又由 但对时间的积分为,1,即,上一页,下一页,返回,见,图,2-2,（,a,）,见,图,2-2,（,b,）,（,2.2,）,2.1,拉氏变换的概念,在自动控制系统中，单位脉冲函数相当一个瞬时的扰动信号它的变换式由式（,2.1,）有,上一页,下一页,返回,(2.3),2.1,拉氏变换的概念,例三：求 与 间的关系,由以上两例可见，在区间（,0,，）里 ，而 ，所以,由上式有,上一页,下一页,返回,（,2.4,）,2.1,拉氏变换的概念,由上式有 （,2.5,）,由式（,2.4,）和式,(2.5),可知：单位阶跃函数对时间的导数即为单位脉冲函数反之，单位脉冲函数对时间的积分即为单位阶跃函数例四：求斜坡函数（,Ramp Function,）的象函数斜坡函数的定义式为：,在自动控制原理中，斜坡函数是一个对时间作均匀变化的信号在研究随动系统时，常以斜坡信号作为典型的输入信号同理，根据拉氏变换的定义式有：,上一页,下一页,返回,式中,k,为常数,2.1,拉氏变换的概念,若式,K=1,，即单位斜坡函数,上一页,下一页,返回,（,2.6,）,2.1,拉氏变换的概念,例五：求指数函数（,Exponential Function,）的象函数。
由式（,2.1,）有,例六,.,求正弦函数（,Sinusoidal Function,）的象函数上一页,下一页,返回,（,2.7,）,2.1,拉氏变换的概念,实用上，常把原函数与象函数之间的对应关系列成对照表的形式通过查表，就能够知道原函数的象函数，或象函数的原函数，十分方便上一页,返回,(2.8),2.2,拉氏变换的运算定理,在应用拉氏变换时，常需要借助于拉氏变换运算定理，这些运算定理都可通过拉氏变换定义式加以证明，现分别叙述如下：,一、叠加定理,两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和即,证,下一页,返回,2.2,拉氏变换的运算定理,二、比例定理,K,倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的,K,倍即,上一页,下一页,返回,（,2.10,）,2.2,拉氏变换的运算定理,三、微分定理,及在零初始条件下,上一页,下一页,返回,（,2.11,）,2.2,拉氏变换的运算定理,当初始条件 时，,同理，可求得,若具有零初始条件，,即,则,上一页,下一页,返回,2.2,拉氏变换的运算定理,上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的阶导数的拉氏式等于其象函数乘以这使函数的微分运算变得十分简单。
它是拉氏变换能将微分运算转换成代数运算的依据因此微分定理是,个十分重要的运算定理四、积分定理,上一页,下一页,返回,（,2.13,）,（,2.14,）,2.2,拉氏变换的运算定理,上一页,下一页,返回,2.2,拉氏变换的运算定理,当初始条件 时，由上式有,同理，可以证明在零初始条件下有,上一页,下一页,返回,2.2,拉氏变换的运算定理,上式同样表明，在零初始条件下，原函数的重积分的拉氏式等于其象函数除以它是微分的逆运算，与微分定理同样是十分重要的运算定理五、位移定理,上式表明，原函数 乘以因子 时，它的象函数只需把 中的用,s,代替,s+a,即可也就是将 平移了位置,a,上一页,下一页,返回,2.2,拉氏变换的运算定理,六、延迟定理,原函数 延迟,t,时间，即成为 ，参见,图,2-3,由图,2-3,可见，当 时，,以新变量置换，设 ，既 ，当,t,由 时，则,x,由 ，代入上式，可得,上一页,下一页,返回,（,2.16,）,2.2,拉氏变换的运算定理,上式表明，当原函数 延迟 ，即成为 时，相应的象函数 应乘以因子 七、相似定理,（,2.17,）,证,对上式进行变量置换，令 ，则 ，于是上式可写为,上一页,下一页,返回,2.2,拉氏变换的运算定理,上式表明，当原函数 的自变量,t,变化,1/a,时，则它对应的象函数 及变量,s,将按比例变化,a,倍。
八、初值定理,证,由微分定理有,当 时，对上式左边取极限有 ，以此代入上式有,即 （证毕）,上一页,下一页,返回,（,2.18,）,2.2,拉氏变换的运算定理,上式表明原函数 在,t=0,时的数值（初始值），可以通过将象函数乘以,s,后，再求 的极限值求得条件是当 和 时等式两边各有极限存在九、终值定理,由微分定理有,对上式两边取极限,由于当 时，所以等式左边可写成,上一页,下一页,返回,（,2.19,）,(2.20),2.2,拉氏变换的运算定理,以上式代入式,(2.20),两边消去,得,（证毕）,上式表明原函数在 时的数值,(,稳态值,),可以通过将象函数乘以,s,后,再求 的极限值来求得,.,条件是当 和 时,等式两边各有极限存在终值定理在分析研究系统的稳态性能时,(,例如分析系统的稳态误差求取系统输出量的稳态值等,),有着很多的应用因此终值定理也是一个经常用到的运算定理由于拉氏变换具有上述这些简明的运算定理，使拉氏变换的应用更加方便上一页,返回,2.3,拉氏反变换,由象函数求取原函数的运算称为拉氏反变换,Inverse Laplace Transform),拉氏反变换常用下式表示,拉氏变换和反变换是一一对应的，所以，通常可以通过查表来求取原函数。
在自动控制理论中常遇到的象函数是的有理分式，即,这种形式的原函数,般不能直接由拉氏变换对照表中查得，因此，要用部分分式展开法先将 化为一些简单分式之和这些分式的原函数可以由查表得到则所求原函数就等于各分式原函数之和下一页,返回,2.3,拉氏反变换,展开部分分式的方法是先求出方程 的根,s,1,，,s,2,，,，,s,n,于是，可以写为如下形式,再将上式展开成部分分式,式中,c,1,，,c,2,，,，,c,n,为待定系数求待定系数有多种方法，这里仅作简单介绍上一页,下一页,返回,（,2.20,）,2.3,拉氏反变换,1,、无重根,这时可将 换写为,n,个部分分式之和，每个分式分母都是的一个 因式，即,如果确定了每个部分分式中的待定系数,c,1,，则由拉氏变换表即可查得 的反变换如求,c,1,时，用 乘以式,(2.20),，并令,s=s,1,，即：,上一页,下一页,返回,（,2.21,）,2.3,拉氏反变换,在上式中，当,s=s,1,时，,(s-s,1,)=0,，所以方括号中的各项将为零于是，,同理，其余系数可由下式求出：,全部待定系数求出后，运用线性性质，并参照式,(2.7),，即可求得,上一页,下一页,返回,（,2.22,）,（,2.23,）,2.3,拉氏反变换,2,、有重根,设 时，在,s=s,1,处有,r,个重根，这时 可展开成如下部分分式之和,式中，为在,s=s,1,处不等于零的函数。
将式（,2.24,）乘以 ，得,当 ，上式含 的项均为零，于是有,上一页,下一页,返回,（,2.24,）,（,2.25,）,（,2.26,）,2.3,拉氏反变换,若将式（,2.25,）对,s,求导数得,同理，当 时，上式含 的项均为零，于是有,依次类推，可得：,上一页,下一页,返回,2.3,拉氏反变换,将已求得的各待定系数,A,r,、,A,(r-1),、,、,A,1,代入 ，再根据表,2,1,（如第,6,行）求得各对应项的拉氏反变换式（即各原函数项），于是原函数,f(t,),为：,在上式中，由 式（,2.23,）可求得当然，对比较简单的象函数，除应用上述方法外，也可用直接通分的方法来求取待定系数上一页,返回,（,2.27,）,2.4,拉氏变换应用举例,例一：求典型一阶系统的单位阶跃响应设典型一阶系统的微分方程为：,式中，,r,（,t,）为输入信号；,c,（,t,）为输出信号；,T,为时间常数，其初始条件为零解 对微分方程两边进行拉氏变换有,由于 ，则 ，代入上式有：,下一页,返回,（,2.28,）,2.4,拉氏变换应用举例,由上式,用待定系数法可求得,A=1,，,B=-T,，代人上式有：,对上式进行拉氏反变换由表,2,1,可查得,由式（,2.29,）所表达的响应曲线如,图,2,4,所示。
上一页,下一页,返回,（,2.29,）,2.4,拉氏变换应用举例,由式,(2.29),和图,2,4,可知，它是一根按指数规律上升的曲线由于典型一阶系统在自动控制系统中是经常遇到的，所以对它的单位阶跃响应曲线应再作进一步的分析：,响应曲线起点的斜率,m,为,由上式可知，响应曲线在起点的斜率,m,为时间常数,T,的倒数，,T,愈大，,m,愈小，上升过程愈慢过渡过程时间由图,24,可见，在经历,T,、,2T,、,3T,、,4T,和,5T,的时间后，其相应的输出分别为稳态值的,63.2,、,86.5,、,95,、,98.2,和,99.3,由此可见，对典型,阶系统，它的过渡过程时间大约为（,35,）,T,；到达稳态值的,95,99,3,上一页,下一页,返回,（,2.30,）,2.4,拉氏变换应用举例,例二：求典型,阶系统的单位斜坡响应,典型一阶系统的微分方程为,上式的拉氏式为,由于为单位斜坡输入,r,（,t,）,=t,，因此，代人上式有,由上式有,上一页,下一页,返回,（,2.31,）,（,2.32,）,2.4,拉氏变换应用举例,应用通分的方法，可求得待定系数,A=1,，,B=-T,，以待定系数代入式,(2.32),有,对上式进行拉氏反变换，由表,2,1,可查得各分式对应。