用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的 根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x ,y )、B(x , y ),将这两点代入圆锥曲线1 1 2 2 的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量我 们称这种代点作差的方法为“点差法”本文用这种方法作一些解题的探索一、以定点为中点的弦所在直线的方程x2 y 2例1、过椭圆J6 + 丁 =1内一点M(2,1)引一条弦, 使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程y + y 二 212x 2 + 4 y 2 = 1622解：设直线与椭圆的交点为A(x ,y )、B(x , y )1 1 2 2M(2,1)为 AB 的中点x + x 二 412•又A、B两点在椭圆上，则x12 + 4y12二16，两式相减得(x1于是(曽叮(x1）+ 4（y12 - y2）+ 4（冒 y2）（y1 - y2）= 0即kAB4（ y1 + y2）2，故所求直线的方程为y 一】=一 2(x - 2)，即x+2 y 一 4 = 0。
例2、已知双曲线x2 -琴=1，经过点M(1,1)能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B，且点M是线段AB的中点若存在这样的直线l，求出它的方程，若不存在，说明理由策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件 本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理解：设存在被点M平分的弦AB，且A(x , y )、B(x , y )1 1 2 2则 x + x = 2 y + y = 21 2 ， 1 2S' -牛二两式相减，得（x2）（X 一 x2）一 |（人+ y2）（人- y2）= 0.kAB故直线 AB: y 一 1 = 2（x 一 1）[y -1 = 2（ x 一 1）x2 一琴=1消去 y,得 2 x2 一 4 x + 3 = 0.&二(-4)2 — 4 x 2 x 3 = —8 < 0 这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线/评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心由此题可看到中点弦 问题中判断点的M位置非常重要1)若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦一般存在；(2)若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。
二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹=1的一条弦的斜率为3,它与直线x = 2的交点恰为这条弦的中点M，求y 2 x2例3、已知椭圆75+~25点 M 的坐标Q(x , y )，弦PQ 的中点M(x , y )，则 xo =2 2 0 0 0 2 y + y =2y1 2 0y 2 丄 x 2 [2 + 1 = 175 25解：设弦端点P(x , y )、11x + x = 2 x = 1 ，1 2 0y 2 x2又上—+ + = 1，75 25两式相减得 25(y + y )(y - y ) + 75(x + x )(x - x ) = 01 2 1 2y - y 31 亠=-—x - x11 2 1 2即 2y (y - y ) + 3(x - x ) = 00 1 2k 二 2^-2^ 二 3x - x12即 y o=-2 2 y02012•••点m的坐标为(2，-2)Q(x , y )，弦PQ 的中点M(x, y)，则22y + y = 2 y12y 2 丄 x 2 [75 251 2 1 2即y(y -y ) + 3x(x -x ) = 0,即1 2 1k 二 2^-2^ 二 3 x - x 12x + y = 0x 2 ，—+ ——=1 〔75 25•••点M在椭圆内得P(-学芈)Q卑5翦--)y 2 x2例4、已知椭圆75 + 25 = i,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
解：设弦端点p(叫,人)、x + x = 2 x，12y 2 x2又上―+亠=1，75 25两式相减得 25(y + y )(y — y ) + 75(x + x )(x - x ) = 01 2 1 2y - y 3 x1 2-x - x12•••它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为x + y = 0(- ^2^ < x <上!3)三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程_例5、已知中心在原点，一焦点为F(0^/50)的椭圆被直线l: y = 3x - 2截得的弦的中点的横坐标为12，求椭圆的方程y 2 x2解：设椭圆的方程为—+ ~ =1，则a2 -b2 = 50 ①a 2 b 2设弦端点P(x , y )、Q(x , y )，弦PQ的中点M(x , y )，1 1 2 2 0 0x = ， y = 3x 一 2 = - x + x = 2x = 1， y + y0 2 0 0 2 1 2 0 1 22...a2 = 3② b 2b 2 = 25y 2 x2 y 2 x 2又 d + —二 1，兰亠 + — = 1 a2 b2 a 2 b2两式相减得b2(y + y )(y - y ) + a2(x + x )(x - x )二 01 2 1 2 1 2 1 2即 一b2(y - y ) + a2(x -x ) = 01 2 1 y - y a 2.•・ 1 2 = -x - x b 212 联立①②解得a2 = 75 ,y2y 2 x2•••所求椭圆的方程是75+25 = 1四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题x2 y 2例6、已知椭圆〒+二-=1，试确定的m取值范围，使得对于直线y = 4x + m，椭圆上总有不同 43的两点关于该直线对称。
解：设P(x , y )，P (x , y )为椭圆上关于直线y = 4x + m的对称两点，P(x, y)为弦PP的中点,1 1 1 2 2 2 1 2贝 y 3 x 2 + 4 y 2 = 12， 3 x 2 + 4 y 2 = 121 1 2 2两式相减得， 3(x2—x 2)+4(y21-y 2)=01 2 1 2—x ) + 4(y + y )(y — y ) = 02 1 2 1 2y - y 1y + y = 2 y， ——=—-1 2 x - x 412••• y = 3x 这就是弦pp中点p轨迹方程12它与直线y = 4x + m的交点必须在椭圆内f y = 3x f x = —m 3联立，得｛ - 则必须满足y2 < 3 — x2,[y = 4 x + m [ y = —3m 4即(3m)2 < 3 — — m2，解得-2、13 < m < 2、134 13 13即 3(x + x )(x1 2 1x + x = 2x ，12五、注意的问题(1)双曲线的中点弦存在性问题；(2)弦中点的轨迹应在曲线内利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且 应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴 趣。