一个重要极限的简单推广及运用1900字 摘要：第二个重要极限在极限计算中占有很重要的地位，它是解决未定型极限的一个重要工具但它形式变化多样，在学习和使用中不易把握，是学生学习中的一个重点和难点本文在分析了limx→∞(1+1x)x=e及其常用推广公式的共同特征后，对其解决00型未定式求极限中作了进一步的推广，得到简易公式，并给出相应运用 关键词：第二个重要极限;00型未定式;公式推广;运用 一、第二个重要极限limx→∞(1+1x)x=e的特征 在高等数学课本中，一般都有第二个重要极限limx→∞(1+1x)x=e的简单推广公式： limx→∞(1+1口)口=e， limx→0(1+x)1x=e， limx→0(1+口)1口=e，方框"□";代表任意形式下的同一变量 如limx→∞(1+1f(x))f(x)=e limx→0(1+f(x))1f(x)=e.它们的共同特征是： 1.都是1∞型的未定式; 2.求极限的函数都是幂指函数(幂指函数是指数形式，但底和指数部分都是函数)，其形式皆为底函数为两项之和，且第一项必须为1，第二项与指数函数互为倒函数; 3.底函数的第二项在趋向下极限为0。
但是对于形式不是幂指函数的函数，如对1∞型的未定式取对数，1∞型就变成了0“∞型，0“∞型又可变化为01∞，即00型转化后的0“∞型和00型表现形式都不再是幂指形式但其极限的求法仍需要用第二个重要极限来求 下面我们给出几个00型未定式极限的推广公式 二、第二个重要极限的推广 推广1： limx→0loga(1+x)x=logae(00型未定式) 证明：limx→0loga(1+x)x =limx→0loga(1+x)1x 由复合函数求极限法则 loga(limx→0(1+x)1x)=logae. 特别当a=e时 即得limx→0ln(1+x)x=1 推广2： limx→0ax-1x=lna(00型未定式) 证明：变量代换，令t=ax-1， 则x=loga(1+t)，且当x→0时，t→0. 故limx→0ax-1x=limt→0tloga(1+t) 由推广1得： limx→0ax-1x=1logae=lna 特别当a=e时即得limx→0ex-1x=1; 当x=1n时， 有limn→∞a1n-11n=limn→∞n(na-1)=lna. 推广3： limx→0(1+x)a-1x=a(a∈R)(00型未定式) 证明：limx→0(1+x)a-1x =limx→0ealn(1+x)-1aln(1+x)“a“ln(1+x)x =alimx→0ealn(1+x)-1aln(1+x)“limx→0ln(1+x)x 由推广2的结论可得 limx→0(1+x)a-1x=a 在求函数极限时，有些时候会化成上述的几种极限形式，而上面几种极限形式的推广式使用起来简单方便，易于理解。
三、推广公式的应用 例1.求limx→01-cosaxx2 解：limx→01-cosaxx2 =limx→0(1+(cosx-1))a-1cosx-1“1-cosxx2 由推广式3可知 limx→0(1+(cosx-1))a-1cosx-1=a 所以limx→01-cosaxx2=a2 例2求limx→0(ax+bx+cx2)1x(a,b,c>0) 解：原式 limx→0(1+ax+bx+cx-22)2ax+bx+cx“12(ax-1x+bx-1x+cx-1x) =elna+lnb+lnc2=abc。