单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,主要内容,典型例题,第十章微分方程与差分方程,习 题,课,基本概念,一阶方程,类 型,1.,直接积分法,2.,可分离变量,3.,齐次方程,4.,线性方程,可降阶方程,线性方程,解的结构,相关定理,二阶常系数线性,方程解的结构,特征方程的根,及其对应项,f(x),的形式及其,特解形式,高阶方程,待定系数法,特征方程法,一、主要内容,微分方程,微分方程解题思路,一阶方程,高阶方程,分离变量法,变量代换法,常数变易法,特征方程法,待定系数法,降阶,作变换,基本概念,一阶方程,n,阶常系数线性,方程,二阶方程,一、主要内容,差分方程,特征方程的根,及其对应项,f(x),的形式,及特解形式,代入法,特征 根法,待定系数法,线性方程,解的结构,相关定理,特征方程的根,及其对应项,f(x),的形式,及特解形式,特征方程法,待定系数法,差分方程解题思路,一阶方程,二阶方程,代入法,特征根法,特征方程法,待定系数法,1.,微分基本概念,微分方程,凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,微分方程的阶,微分方程中出现的未知函数的最,高阶导数的阶数称为微分方程的阶,微分方程的解,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解,通解,如果,微分方程的解中含有独立的任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解,特解,确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解,初始条件,用来确定任意常数的条件,.,初值问题,求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题,(1),可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,2.,一阶微分方程的解法,(2),齐次方程,解法,作变量代换,(3),一阶线性微分方程,上述方程称为齐次的,上述方程称为非齐次的,.,齐次方程的通解为,（用分离变量法）,非齐次微分方程的通解为,（用常数变易法）,3.,可降阶的高阶微分方程的解法,解法,特点,型,接连积分,n,次，得通解,型,解法,代入原方程,得,特点,型,解法,代入原方程,得,.,线性微分方程解的结构,（,1,）二阶齐次方程解的结构,:,（,2,）二阶非齐次线性方程解的结构,:,.,二阶常系数齐次线性方程解法,n,阶常系数线性微分方程,二阶常系数齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,解法,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为,特征方程法,.,特征方程为,.,二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数非齐次线性方程,解法,待定系数法,.,差分的定义,7.,差分方程基本概念,差分方程与差分方程的阶,定义,1,定义,2,差分方程的解,含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的,阶数相同的差分方程的解,.,差分方程的通解,为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附加的条件,.,通解中任意常数被初始条件确定后的解,.,初始条件,差分方程的特解,n,阶常系数齐次线性差分方程的标准形式,n,阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式,8.,常系数线性差分方程解的结构,n,阶常系数齐次线性差分方程解的结构,（是任意常数）,9.,一阶常系数齐次线性差分方程的求解,特征方程,特征根,10.,一阶常系数非齐次线性差分方程的求解,(1),(2),综上讨论,(1),(2),11.,二,阶常系数齐次线性差分方程的求解,(2),第二种情形,(1),第一种情形,(3),第三种情形,12.,二阶常系数非齐次线性差分方程的求解,二、典型例题,例1,解,原方程可化为,代入原方程得,分离变量,两边积分,所求通解为,例2,解,原式可化为,原式变为,对应齐次方通解为,一阶线性非齐次方程,伯努利方程,代入非齐次方程得,原方程的通解为,利用常数变易法,例3,解,代入方程，得,故方程的通解为,例4,解,特征方程,特征根,对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,原方程的一个特解为,故原方程的通解为,由,解得,所以原方程满足初始条件的特解为,例5,解,特征方程,特征根,对应的齐方的通解为,设原方程的特解为,由,解得,故原方程的通解为,由,即,例6,解,（,）由题设可得：,解此方程组，得,（,）原方程为,由解的结构定理得方程的通解为,测 验 题,测验题答案,。