数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射 动态几何形成的函数关系和图象问题是动态几何中的基本问题，其考点包括单动点形成的函数关系和图象问题，双（多）动点形成的函数关系和图象问题，线动形成的函数关系和图象问题，面动形成的函数关系和图象问题在中考中，动态几何形成的函数关系和图象问题命题形式主要有选择题和解答题其考点类型主要有两类，一是根据条件求出函数关系式，由函数关系式判断函数图象或求相应变量的值；二是根据条件研究动元素的变化趋势（特殊位置）来判断函数图象。
动点变化的载体可以是三角形、特殊四边形或圆等平面图形，也可以是直线、双曲线或抛物线等函数图象动态几何形成的函数关系和图象问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类一. 单动点形成的函数关系和图象问题例1（根据条件求出函数关系式，由函数关系式判断函数图象）真题显示：（2013年河北省3分）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE = EF = FB = 5，DE = 12，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t秒，y = S△EPF，则y与t的函数图象大致是【 】 A． B． C． D．思路点拨：从点P的运动轨迹分析，分三段考虑，①点P在AD上运动，②点P在DC上运动，③点P在BC上运动，分别求出y与t的函数表达式，继而可得出函数图象 考点分析：本题应用了数形结合思想和分类思想对动点问题的函数图象进行探究，根据梯形的性质，应用勾股定理和锐角三角函数定义求出y与t的函数关系，根据一次函数（正比例函数）的图象作出判断拓展延伸：改变已知条件，可使问题得到变形或延伸，如：变形1：将题干中的等腰梯形变形为同一底上的两底角为特殊角的梯形，把应用勾股定理求两腰长变成应用等腰直角三角形和含30度角的直角坐标三角形的性质求两腰长：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE = EF =DE =5 ， FB =，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t秒，y = S△EPF，则y与t的函数关系式为 ▲ 。
变形2：将题干中的y = S△EPF变形为y = S△APF：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE = EF = FB = 5，DE = 12，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t秒，y = S△APF，则y与t的函数关系式为 ▲ 例2（根据条件研究动点的变化趋势或特殊位置来判断函数图象）真题显示：（2013年北京市4分） 如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是【 】A. B. C. D. 思路点拨：由所给的四个选项分析，应用特殊元素法，根据当AP=x=1时，△APO的面积y的值来对选项作出选择满分答题：如图，∵当AP=x=1时，△APO为等边三角形，它的面积y＝，∴此时，点（1，）应在y=的一半与之间，只有A选项符合考点分析：本题应用了数形结合思想和特殊元素法对动点问题的函数图象进行探究，根据等边三角形的判定和性质，应用点的坐标所在位置作出判断拓展延伸：不改变已知条件，改变问题的所求可使问题得到延伸，如：变形1：不改变已知条件，求使y最大时，x的取值：如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则使y最大时，x的取值是【 】A. B. C. 1 D. 变形2：不改变已知条件，求使y等于一个值时，x的取值：如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则当y=时，x的取值是【 】A. 1 B. C. 1或 D. 例3（以直线、双曲线或抛物线等函数图象为载体，根据条件求函数关系式）真题显示：（ 2013年广西贵港11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，若经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由．思路点拨：（1）略。
2）当点P在MP之间时，如答图所示，作辅助线构造梯形，利用求出S关于x的表达式；同理可得当点P在CM之间时，利用求出S关于x的表达式求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，得到自变量的取值范围考点分析：应用分类思想，作辅助线，构造梯形，应用转换思想将所求面积转换为梯形面积与两个直角三角形面积的关系来建立函数关系式；根据曲线上点的坐标与方程的关系，构造并解一元二次方程，求出自变量的取值范围拓展延伸：改变载体的范围，可使问题得到拓展和延伸，如：变形1：设点P（x，y）是该抛物线上的一个动点，求S关于x的函数关系式：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交y轴于点C，对称轴与x轴交于点D， 设点P（x，y）是该抛物线上的一个动点（与点C不重合），△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围变形2：设点P（x，y）是该抛物线在x轴上方的一个动点，求S关于x的函数关系式并求S的最大值：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交y轴于点C，对称轴与x轴交于点D， 设点P（x，y）是该抛物线在x轴上方的一个动点（与点C不重合），△PCD的面积为S，（1）求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）问x为何值时，S取得的最大值，并求出最大值。
二. 双（多）动点形成的函数关系和图象问题例4（已知函数图象，根据图象探讨动点在运动过程中的性质）真题显示：（2013年四川南充3分） 如图（1），点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图形如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5cm；②当0＜t≤5时，；③直线NH的解析式为；④若△ABE与△QBP相似，则t=秒其中正确的结论个数为【 】A. 4 B. 3 C. 2 D. 1思路点拨：①从图（2）可知，在点M时△BPQ的面积开始达到最大，此时两动点运动了5秒钟，对应图（1），点P、Q分别运动到点E、C处，结合速度都是1cm/秒，得到BC=BE=5cm，而根据矩形对边相等的性质即可得出①正确的结论 ②当0＜t≤5时，就是点P在BC上运动，从而根据锐角三角函数定义把△BPQ的高PF用t来表示，即可根据三角形面积公式求出△BPQ的面积为y关于t的函数关系式，从而得出②正确的结论。
③求出图（2）中点N、C的坐标，应用待定系数法求出直线NH的解析式，从而得出③错误的结论 ④当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，根据相似比列式即可求得t的值，从而得出④正确的结论满分答题：①根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C， ∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC=BE=5cm∴AD=BE=5，故结论①正确②如图1，过点P作PF⊥BC于点F，根据面积不变时△BPQ的面积为10，可得AB=4∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF∴PF=PBsin∠PBF=t∴当0＜t≤5时，故结论②正确③根据5～7秒面积不变，可得ED=2，当点P运动到点C时，面积变为0，此时点P走过的路程为BE+ED+DC=11，∴点H的坐标为（11，0）设直线NH的解析式为y=kx+b，将点H（11，0），点N（7，10）代入可得：，解得：∴直线NH的解析式为：故结论③错误④如图2，当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，∵tan∠PBQ=tan∠ABE=，∴，即解得：t=故结论④正确综上所述，①②④正确，共3个考点分析：对双动点问题的函数图象的分析，准确使用分类思想，根据矩形的性质、锐角三角函数定义、相似三角形的性质和曲线上点的坐标与方程的关系，应用待定系数法和上述几何性质求函数关系式，对各选项作出判断。
拓展延伸：改变条件和结论，或改变研究的载体，可使问题得到变形和延伸，如：变形1：改变条件和结论，求y与t的函数关系式并探究相似三角形的存在性：如图，点E为矩形ABCD边AD上一点，AB=4cm，AD=BE=5cm，ED=2 cm，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，求y与t的函数关系式变形2：改变研究的载体，根据图形进行探究：如图（1），点E为等腰梯形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图形如图（2）（曲线OM、NH均为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=3cm；②；③当0＜t≤5时，；④点P运动的距离为其中正确的结论个数为【 】A. 4 B. 3 C. 2 D. 1例5（已知函数图象，根据已知探讨双动点在运动过程中形成的性质，并求函数关系式）真题显示：（2013年江苏连云港12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为点C、D，连结CD、QC．（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系，并求S的最大值？（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围。
思路点拨：（1）根据点A、B的坐标求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，根据点Q的速度表示出OQ，然后求出AQ，再根据直。