垂径定理的实际应用

垂径定理的实际应用垂径定理是《圆》中的一个十分重要的定理，利用垂径定理可解决一些实际问题.现举例 予以说明.一、判断说理题例1某地方有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现由一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这 里，此货船能顺利通过这座拱形桥吗？分析：判断货船能否通过这座拱桥，关键是看船舱顶部两角是 否会被拱桥顶部挡住.用表示拱桥，画出如图1的图形，实际问 题就转化为求FN的长度.解：设圆心为0,连接OA. 0B，作ODXAB于D，交圆于点C， 交MN于点H,由垂径定理可知，D为AB的中点.设 OA=r，贝I」OD=OC-DC=r-2.4，AD = 1 AB = 3.6，2在 RtAAOD 中，OA2=AD2+OD2，即 r2=3.62+ (r-2.4) 2，解得 r=3.9,在 RtAOHN 中，OH =7 ON 2 — NH 2 = v 3.9 2 —1.5 2 = 3.6 .所以 FN=DH=OH-OD=3.6- (3.924) =2.1，因为2.1 米＞2米.所以货船可以通过这座拱桥.二、测量计算题例2 工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径.假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图2所示，则这 个小孔的直径AB是 毫米.分析：利用垂直于弦的直径定理将半径、弦长及弦心距转化到一个直角三角形中，从而使 问题获解.解：连接OA,因为OC=9 —6 = 3,在Rt^AOC中,AC = \OA 2 — OC 2 = 7‘62 — 32 = 3、：3 .根据垂径定理，得AB = 2 AC = 6* 3 .例3今有一圆木砌入壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯 道长一尺.问径几何？分析：如图4,将实物图(图3)转化为几何图形，则BE表示 锯道，CD表示锯深，求GO的直径是多少？解：如图4,设圆木的半径OB=x寸，贝I」OC= (x-1)寸，BC = 1 BE = 5 寸，2在RtAOCB中，由勾股定理得x2= (x-1) 2+52，解得x=13.所以圆木半径是13寸，直径为26寸.三、动手操作题例4 如图5,有一木制圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面 两耳连线中点D处打一小孔.现在只有一块无刻度单位的直角三角板(斜边大于工艺品的直径），请你确定点D的位置（画出图形表示），并且分别说明理由.图5 图6分析：本题是一道设计新颖独特的开放性作图题，用“无刻度单位的直角三角板”作弦的 中点，又把问题放到一个有趣的脸谱中，去找两耳连线的中点D,增强了题目的趣味性.解：如图6,画TH的垂线l交TH于D,则点D就是TH的中点.依据是垂径定理（学 习了后面的知识，你还会找到其它方法）.。