数学思想方法在数列解题中的应用摘 要数学教学包含数学思想方法的教学，数学思想方法的教学是优化数学课堂的一种方式．学生解决数学问题时，如果以恰当的数学思想方法作指导，加之熟练掌握数学知识结构，就可以使得各类数学问题迎刃而解．实际中，解决各类数学问题均需要有相应的数学思想方法作指导，而学生不一定注重数学思想方法的学习和应用．论文就解决数列问题的常用数学思想方法，包括方程思想、函数思想、整体思想、化归思想、分类讨论思想、归纳与递推思想、对称思想、特殊化思想、数形结合思想、极限思想及建模思想作探讨．旨在帮助学生认识到数学思想方法的重要性，并能以数学思想方法为指导解决数列问题．关键词：数学思想方法；数列；应用 The Application of the Mathematical Thought and Method in the Solution of Sequence of NumberAbstract: Mathematical teaching includes the teaching of mathematical thought and method, which is a kind of way of optimizing the mathematical class. When students solve mathematical problems，if they are guided by proper mathematical thought and method, in addition to grasp the mathematical knowledge structure skillfully, then the various kinds of mathematical problems will be readily solved. In daily study, solving different kinds of mathematical problems needs the corresponding mathematical thought and method to be the guidance. However, students don’t always pay much attention to the study of mathematical thought and method. Therefore, this paper discusses the commonly used mathematical thought and method in solving the problems of the sequence of number, which including the thought of equation, the functional thought, the whole thought, the transformation thought, the thought of classification discussion, the thought of induction and recursion, the symmetrical thought, the thought of the combination of number and form, the limit thought and the thought of modeling. Through these discussions, this thesis aims to help students to know the importance of the mathematical thought and method, and enables them to solve the problems of the sequence of number under the guidance of the mathematical thought and method.Keywords: the mathematical thought and method; sequence of number; application 目 录 1 引言 12 文献综述 12.1 国内外研究现状 12.2 国内外研究现状评价 22.3 提出问题 23 数学思想方法在数列解题中的应用 23.1 方程思想在数列解题中的应用 23.2 函数思想在数列解题中的应用 53.3 整体思想在数列解题中的应用 123.4 化归转化思想在数列解题中的应用 153.5 分类讨论思想在数列解题中的应用 183.6 归纳、递推思想在数列解题中的应用 233.7 对称思想在数列解题中的应用 253.8 特殊化思想在数列解题中的应用 273.9 数形结合思想在数列解题中的应用 273.10 极限思想在数列解题中的应用 283.11 建模思想在数列解题中的应用 294 结论 304.1 主要发现 304.2 启示 314.3 局限性 314.4 努力方向 31参考文献 321 引言现在的中学生虽然能够记住大量的数学公式， 能说出课本上出现的诸多定义、定理， 也做了不少数学习题， 可是一旦遇到一个看起来比较新颖的习题时， 还是会有许多学生感到束手无策， 不知从何解起．出现这种现象的原因就在于学生平时只知道一味地做题， 很少注意体会在解题过程中用过的思想方法．事实上“数学解题就是命题的连续变换， 而命题的连续变换就是数学基本思想方法反复运用的过程”．如果缺乏必要的数学思想方法做指导，学生在解题时只能一会儿用这个公式套套， 一会儿用那个定理试试， 盲目地乱撞， 这样做是很难达到解题目的．可见， 数学思想方法是解决数学问题的指南．要想提高学生的解题能力， 就必须帮助学生掌握最基本的数学思想方法[1]． 数学思想是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，它不仅体现着数学理论内部所固有的规律，还反映了人们在对数学知识本质认识的不断深化[2]．数列是高中数学中的重要内容，也是初等数学与高等数学的衔接点之一，是高考必考内容，数列部分的内容蕴含着丰富的数学思想，如化纳思想、方程思想、函数思想、转化思想等，特别是数学思想方法的考查在高考中逐年在加大份量，因此在数列解题中要重视充分挖掘题材中的数学思想，培养运用数学思想去分析、解决问题的意识和能力．下文通过典型实例，揭示了几种重要的数学思想方法在数列解题中的应用，旨在拓宽人们分析问题的思路，提高人们解决实际问题的能力．2 文献综述2.1国内外研究现状 现查阅到的参考文献中，分别就数学各种思想方法在解决数列问题中的应用做出说明．其中隋澈在文献[1]中强调数学思想对解决数学问题的重要性，强调只有注重学生数学思想的培养才能让学生在遇到陌生问题时有法可寻．范治顺在文献[2]中较详尽的对解决数列问题的常用数学思想方法列举说明．赵春祥在文献[3]中仅针对数列中的四种常用数学思想举例说明其用途．王卫华、刘玉芳、李会煜、佟建铭在文献[4、5]中针对数列中的数学思想方法展开论述，文献中常用数学思想方法列举全面，举例说明详尽．李晶在文献[6]中针对整体思想展开描述，并举例说明整体思想在解决数列问题中的应用．文献[8]中，张弦、赵丹举例说明“数形结合”思想方法在解决数列问题中的应用．文献[10-12]中作者应用各类数学思想方法解决数学问题举例说明．黄俊峰在文献[14]中提出特殊化思想可方便快捷地解决数列中的一些问题．田照亮在文献[15]中提出针对某些实际问题可利用数学建模思想结合数列知识解决． 2.2国内外研究现状评价 文献[1-10]分别就数学思想方法的重要性及数学思想方法在数列解题中的意义举例作了说明，文献中主要阐述一种或几种思想方法在数列解题中的应用，没有全面地介绍常用数学思想方法在数列解题中的应用．而且文献中对怎样应用数学思想解决数列问题提及甚少，对学生在应用中存在的问题也未给出详细深入的说明．2.3提出问题 部分高中生已具备较强的学习能力，数学学习过程中会根据教师的指导，除学好基础知识外，还体会数学思想方法，总结概括以指导方便快捷地解决问题．但对于普通高中多数学生，要较好地掌握高中数学基础知识尚且困难，更谈不上留心体会解决问题过程中所涉及的数学思想方法．因此，除对解决问题的过程中应用的数学思想方法作介绍外，还需对应用数学思想方法过程中学生可能遇到的难点及解决办法作探讨，包括对使用这些方法的目的、作用作阐述．3 数学思想方法在数列解题中的应用3.1方程思想在数列解题中的应用用方程思想处理数列问题，就是将原问题归结为确定待定未知数的值，而这些未知数的确定又通过建立方程组求解来完成． 例 1 是否存在这样的等差数列，使它的首项为1，公差不为0，且前3n项中， 前n项的和与后2n项的和的比值对于任意自然数都等于常数？若存在，请求出数列的通项公式及该常数；若不存在，请说明理由．解：若存在这样的等差数列，其公差为d， 前n项的和记为，则其后2n项的和为．由题意得：记(为常数) 将其变形得： （1）将和代入（1）得化简整理得： （2）要使（2）成为恒等式的充要条件是 解方程组得：又故存在这样的等差数列，其通项公式为常数评注：将问题归结为对未知数的确定，运用待定系数法和通过对方程组的求解来完成．为了求出数列中的某些量，有时要将已知量、未知量置于方程之中，求出我们关心的量，进而使问题得以解决．这也是方程思想在数列解题中的应用． 例2设数列的各项均为正数，且满足；是满足的数列．(l)求满足的值；(2)又若，对于恒成立，且，数列的前10项之和为20，求的值．解：（1）依题意代入得当时，且当时，（2）由，对于恒成立可知数列为常数数列．所以化简得：又知从而解此方程组得：评注：该题明显需应用方程思想求解，要求学生能熟练应用数列及对数的性质．例 3 设，，求证：对于不可能有某一正整数，使能被1998整除．证明：由 （1）得 所以 由（1）平方整理得： （2）进而有这说明是二次方程的两个根，根据韦达定理有假定存在，满足1998整除，由3整除1998知3整除，而，故3整除．仿此类推3整除，3整除，…，3整除，3整除，这与矛盾．在求等差数列、等比数列中的有关量时，利用方程思想可以方便地解决数列中的计算问题． 例4 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求此四个数．解:设所求的四个数分别为，，，．则 解得： 或 所以所求四个数为：0，4，8，16 或 15，9，3，1．评注：该题解决过程中设未知数应使未知量个数尽量少，之后应用方程思想列方程组求解．。
